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在长方形纸片ABCD中，AB=6，AD=5，现将两张边长分别为a和b的正方形纸片按图①、图②两种方式放置（图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形ABCD中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为S₁，图②中阴影部分的面积为S₂，若S₂−S₁=3，则b=
3
；在上述条件下，在边长为a的大正方形纸片的左上角摆放一张边长为b的小正方形纸片，如图③，若S₁=8，则图③中阴影部分的面积S₃=$\frac{13}{2}$
。答案
3；$\frac{13}{2}$
解析
【分析】
要解决本题，第一步先分别用含a、b的代数式表示出S₁和S₂的面积，计算S₂−S₁时会发现a项抵消，可直接求出b的值；第二步将b的值和S₁=8代入S₁的表达式，解方程求出a的值；第三步分析图③阴影面积的构成，用两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积，代入a、b的值即可求出S₃。
【解析】
1. 求b的值：
长方形ABCD的面积为 $ AB× AD=6×5=30 $。
图①中阴影面积 $ S_1 = 30 - a^2 - b(6 - a) $，
图②中阴影面积 $ S_2 = 30 - a^2 - b(5 - a) $，
则 $ S_2 - S_1 = [30 - a^2 - b(5 - a)] - [30 - a^2 - b(6 - a)] $
化简得：$ S_2 - S_1 = -5b + ab + 6b - ab = b $
已知 $ S_2 - S_1=3 $，故 $ b=3 $。
2. 求S₃的值：
将 $ b=3 $、$ S_1=8 $代入 $ S_1 = 30 - a^2 - b(6 - a) $得：
$ 30 - a^2 - 3(6 - a) = 8 $
整理得：$ a^2 - 3a -4=0 $
因式分解得 $ (a-4)(a+1)=0 $，解得 $ a=4 $（边长为正，舍去 $ a=-1 $）。
图③中阴影面积 $ S_3 = a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a+b) $
代入 $ a=4,b=3 $：
$ S_3 = 16 +9 - \frac{1}{2}×16 - \frac{1}{2}×3×(4+3) = 25 - 8 - \frac{21}{2} = \frac{13}{2} $
【答案】
3；$\frac{13}{2}$
【知识点】
面积和差计算；整式的化简；一元二次方程的应用
【点评】
本题核心是通过代数式表示不规则阴影面积，利用整式加减消元简化计算，再结合方程求解未知量，解题的关键是准确拆分图形，正确列出面积表达式。
【难度系数】
0.6
要解决本题，第一步先分别用含a、b的代数式表示出S₁和S₂的面积，计算S₂−S₁时会发现a项抵消，可直接求出b的值；第二步将b的值和S₁=8代入S₁的表达式，解方程求出a的值；第三步分析图③阴影面积的构成，用两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积，代入a、b的值即可求出S₃。
【解析】
1. 求b的值：
长方形ABCD的面积为 $ AB× AD=6×5=30 $。
图①中阴影面积 $ S_1 = 30 - a^2 - b(6 - a) $，
图②中阴影面积 $ S_2 = 30 - a^2 - b(5 - a) $，
则 $ S_2 - S_1 = [30 - a^2 - b(5 - a)] - [30 - a^2 - b(6 - a)] $
化简得：$ S_2 - S_1 = -5b + ab + 6b - ab = b $
已知 $ S_2 - S_1=3 $，故 $ b=3 $。
2. 求S₃的值：
将 $ b=3 $、$ S_1=8 $代入 $ S_1 = 30 - a^2 - b(6 - a) $得：
$ 30 - a^2 - 3(6 - a) = 8 $
整理得：$ a^2 - 3a -4=0 $
因式分解得 $ (a-4)(a+1)=0 $，解得 $ a=4 $（边长为正，舍去 $ a=-1 $）。
图③中阴影面积 $ S_3 = a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a+b) $
代入 $ a=4,b=3 $：
$ S_3 = 16 +9 - \frac{1}{2}×16 - \frac{1}{2}×3×(4+3) = 25 - 8 - \frac{21}{2} = \frac{13}{2} $
【答案】
3；$\frac{13}{2}$
【知识点】
面积和差计算；整式的化简；一元二次方程的应用
【点评】
本题核心是通过代数式表示不规则阴影面积，利用整式加减消元简化计算，再结合方程求解未知量，解题的关键是准确拆分图形，正确列出面积表达式。
【难度系数】
0.6
1. 两个连续奇数的积是99，设较小的一个奇数为x，则可列方程为（
A.$x(x+1)=99$
B.$x(x+2)=99$
C.$x(x-1)=99$
D.$x(x-2)=99$
B
）A.$x(x+1)=99$
B.$x(x+2)=99$
C.$x(x-1)=99$
D.$x(x-2)=99$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先梳理题干已知条件：已知两个连续奇数的积为99，且设较小的奇数为x。首先明确连续奇数的性质：相邻两个奇数的差为2，因此较大的连续奇数比x大2，可表示为x+2。再根据“两数的积是99”这一等量关系，将两个奇数代入“较小数×较大数=99”的关系式中，即可列出对应的方程，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
设较小的奇数为x，
∵相邻两个连续奇数相差2，
∴较大的连续奇数为x+2，
又
∵两个连续奇数的积是99，
∴可列方程：$x(x+2)=99$，
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 连续奇数的特征
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是掌握连续奇数之间相差2的特点，结合题目给出的等量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题干已知条件：已知两个连续奇数的积为99，且设较小的奇数为x。首先明确连续奇数的性质：相邻两个奇数的差为2，因此较大的连续奇数比x大2，可表示为x+2。再根据“两数的积是99”这一等量关系，将两个奇数代入“较小数×较大数=99”的关系式中，即可列出对应的方程，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
设较小的奇数为x，
∵相邻两个连续奇数相差2，
∴较大的连续奇数为x+2，
又
∵两个连续奇数的积是99，
∴可列方程：$x(x+2)=99$，
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 连续奇数的特征
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是掌握连续奇数之间相差2的特点，结合题目给出的等量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
2. 有一个正两位数,如果个位上的数字比十位上的数字大1,并且十位上的数字的平方比个位上的数字大1,那么这个正两位数是
23
.答案
2. 23
解析
【分析】
要解决这个两位数问题，我们可以通过设未知数结合数位特征求解：首先设十位数字为未知数，利用“个位数字比十位数字大1”表示出个位数字；再根据“十位数字的平方比个位数字大1”的等量关系列一元二次方程；最后结合数位数字的取值范围（十位为1~9的正整数，个位为0~9的整数）舍去不符合实际的根，即可得到对应的两位数。
【解析】
设这个正两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+1$（$x$为正整数，且$1≤ x≤8$）。
根据题意可列方程：
$x^2=(x+1)+1$
整理得：
$x^2 - x - 2=0$
因式分解得：
$(x-2)(x+1)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
由于十位数字不能为负数，故舍去$x=-1$，即十位数字为2，个位数字为$2+1=3$，因此这个正两位数为$2×10+3=23$。
【答案】
23
【知识点】
一元二次方程的应用，数字问题建模，一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的方程应用类基础题，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意数位数字的实际意义，求解后需验证根是否符合要求，避免出现不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个两位数问题，我们可以通过设未知数结合数位特征求解：首先设十位数字为未知数，利用“个位数字比十位数字大1”表示出个位数字；再根据“十位数字的平方比个位数字大1”的等量关系列一元二次方程；最后结合数位数字的取值范围（十位为1~9的正整数，个位为0~9的整数）舍去不符合实际的根，即可得到对应的两位数。
【解析】
设这个正两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+1$（$x$为正整数，且$1≤ x≤8$）。
根据题意可列方程：
$x^2=(x+1)+1$
整理得：
$x^2 - x - 2=0$
因式分解得：
$(x-2)(x+1)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
由于十位数字不能为负数，故舍去$x=-1$，即十位数字为2，个位数字为$2+1=3$，因此这个正两位数为$2×10+3=23$。
【答案】
23
【知识点】
一元二次方程的应用，数字问题建模，一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的方程应用类基础题，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意数位数字的实际意义，求解后需验证根是否符合要求，避免出现不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
3. 一个直角三角形的两条直角边长相差3 cm，面积是9 cm². 设这个直角三角形较长的直角边长为x cm，依题意，可列方程为（
A.$x(x+3)=9$
B.$x(x-3)=9$
C.$\frac{1}{2}x(x+3)=9$
D.$\frac{1}{2}x(x-3)=9$
D
）A.$x(x+3)=9$
B.$x(x-3)=9$
C.$\frac{1}{2}x(x+3)=9$
D.$\frac{1}{2}x(x-3)=9$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：设较长直角边长为x cm，两条直角边相差3cm，因此较短直角边的长度可表示为(x-3)cm；再回忆直角三角形的面积计算公式：面积=1/2×两条直角边的乘积，已知面积为9cm²，将对应量代入公式即可列出方程，注意不要混淆长短边的数量关系，也不要遗漏面积公式中的1/2系数。
【解析】
第一步：表示较短直角边的长度
∵ 较长直角边长为x cm，两条直角边相差3 cm
∴ 较短直角边长为$(x - 3)\ \mathrm{cm}$
第二步：根据直角三角形面积公式列方程
直角三角形面积公式为：$S=\frac{1}{2} × 直角边\_\_\_\_\_\_1 × 直角边\_\_\_\_\_\_2$
已知面积$S=9\ \mathrm{cm}^2$，代入两条直角边的长度可得：
$\frac{1}{2}x(x-3)=9$
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形面积公式
2. 实际问题列一元二次方程
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对几何图形面积公式的掌握和根据题意准确表示未知量的能力，解题时需注意两个易错点：一是混淆长短边的数量关系，错将较短边写为(x+3)；二是遗漏面积公式中的1/2系数，避免错选B、C选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件：设较长直角边长为x cm，两条直角边相差3cm，因此较短直角边的长度可表示为(x-3)cm；再回忆直角三角形的面积计算公式：面积=1/2×两条直角边的乘积，已知面积为9cm²，将对应量代入公式即可列出方程，注意不要混淆长短边的数量关系，也不要遗漏面积公式中的1/2系数。
【解析】
第一步：表示较短直角边的长度
∵ 较长直角边长为x cm，两条直角边相差3 cm
∴ 较短直角边长为$(x - 3)\ \mathrm{cm}$
第二步：根据直角三角形面积公式列方程
直角三角形面积公式为：$S=\frac{1}{2} × 直角边\_\_\_\_\_\_1 × 直角边\_\_\_\_\_\_2$
已知面积$S=9\ \mathrm{cm}^2$，代入两条直角边的长度可得：
$\frac{1}{2}x(x-3)=9$
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形面积公式
2. 实际问题列一元二次方程
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对几何图形面积公式的掌握和根据题意准确表示未知量的能力，解题时需注意两个易错点：一是混淆长短边的数量关系，错将较短边写为(x+3)；二是遗漏面积公式中的1/2系数，避免错选B、C选项。
【难度系数】
0.8
4. 如图是一个矩形城门门洞ABCD,有一根竹竿比门洞的对角线长1 m. 将竹竿横放,竹竿比门洞的宽BC多3 m;将竹竿竖放,竹竿比门洞的高AB多2 m. 则竹竿的长为
6
m.答案
4. 6
解析
【分析】
本题可通过设未知数结合勾股定理解题：首先设竹竿的长度为x m，根据题意分别表示出门洞的高AB、宽BC、对角线AC的长度；再利用矩形的性质可知直角三角形ABC满足勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可得到结果。
【解析】
设竹竿的长为$ x \, \mathrm{m} $，根据题意可知：
门洞的高$ AB = (x-2) \, \mathrm{m} $，宽$ BC = (x-3) \, \mathrm{m} $，矩形对角线$ AC = (x-1) \, \mathrm{m} $。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $ ∠ B = 90° $，在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，由勾股定理得：
$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $
代入得：$ (x-2)^2 + (x-3)^2 = (x-1)^2 $
展开整理得：$ x^2 - 8x + 12 = 0 $
因式分解得：$ (x-2)(x-6) = 0 $
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 6 $
当$ x=2 $时，$ AB = x-2 = 0 $，不符合实际，舍去；
∴ $ x=6 $。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理的应用；一元二次方程的应用；矩形的性质
【点评】
本题属于几何与方程结合的实际应用题，解题的关键是找准等量关系列方程，求解后要注意验证解是否符合实际场景，排除不合理的解。
【难度系数】
0.7
本题可通过设未知数结合勾股定理解题：首先设竹竿的长度为x m，根据题意分别表示出门洞的高AB、宽BC、对角线AC的长度；再利用矩形的性质可知直角三角形ABC满足勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可得到结果。
【解析】
设竹竿的长为$ x \, \mathrm{m} $，根据题意可知：
门洞的高$ AB = (x-2) \, \mathrm{m} $，宽$ BC = (x-3) \, \mathrm{m} $，矩形对角线$ AC = (x-1) \, \mathrm{m} $。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $ ∠ B = 90° $，在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，由勾股定理得：
$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $
代入得：$ (x-2)^2 + (x-3)^2 = (x-1)^2 $
展开整理得：$ x^2 - 8x + 12 = 0 $
因式分解得：$ (x-2)(x-6) = 0 $
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 6 $
当$ x=2 $时，$ AB = x-2 = 0 $，不符合实际，舍去；
∴ $ x=6 $。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理的应用；一元二次方程的应用；矩形的性质
【点评】
本题属于几何与方程结合的实际应用题，解题的关键是找准等量关系列方程，求解后要注意验证解是否符合实际场景，排除不合理的解。
【难度系数】
0.7
5. 在一幅长 80 cm,宽 50 cm 的风景画的四周镶一条金色纸边(风景画四周的金色纸边宽度相同),制成一幅矩形挂图,如图,若要使整个挂图的面积是 5 400 cm²,设金色纸边的宽度为 x cm,则所列方程为
$(50+2x)(80+2x)=5\ 400$
.答案
5. $(50+2x)(80+2x)=5\ 400$
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先需要明确整个矩形挂图的长和宽。已知金色纸边宽度为x cm，风景画原本的长为80 cm、宽为50 cm，由于四周都镶纸边，因此挂图的长是在原长的基础上左右各加x，宽是在原宽的基础上上下各加x，再根据矩形面积=长×宽，结合总面积为5400 cm²即可列出方程。
【解析】
1. 求整个挂图的长：风景画左右两侧各有宽度为x cm的纸边，因此总长度为 $80+2x$ cm；
2. 求整个挂图的宽：风景画上下两侧各有宽度为x cm的纸边，因此总宽度为 $50+2x$ cm；
3. 根据矩形面积公式“面积=长×宽”，已知总面积为5400 cm²，代入可得方程：$(50+2x)(80+2x)=5400$。
【答案】
$(50+2x)(80+2x)=5\,400$
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于几何类列方程的基础题型，解题核心是准确表示出镶边后矩形的长和宽，再结合面积公式建立等量关系即可，考查学生的图形理解能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程，首先需要明确整个矩形挂图的长和宽。已知金色纸边宽度为x cm，风景画原本的长为80 cm、宽为50 cm，由于四周都镶纸边，因此挂图的长是在原长的基础上左右各加x，宽是在原宽的基础上上下各加x，再根据矩形面积=长×宽，结合总面积为5400 cm²即可列出方程。
【解析】
1. 求整个挂图的长：风景画左右两侧各有宽度为x cm的纸边，因此总长度为 $80+2x$ cm；
2. 求整个挂图的宽：风景画上下两侧各有宽度为x cm的纸边，因此总宽度为 $50+2x$ cm；
3. 根据矩形面积公式“面积=长×宽”，已知总面积为5400 cm²，代入可得方程：$(50+2x)(80+2x)=5400$。
【答案】
$(50+2x)(80+2x)=5\,400$
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于几何类列方程的基础题型，解题核心是准确表示出镶边后矩形的长和宽，再结合面积公式建立等量关系即可，考查学生的图形理解能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在一块长15 m,宽10 m的矩形空地上,修建同宽的两条相互垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,要使剩余部分的面积为126 m²,则修建的道路的宽为多少米? 
答案
6. 设修建的道路的宽为 x m.
根据题意,得$(15-x)(10-x)=126$.
解得$x_1=1,x_2=24$(不符合题意,舍去).
答:修建的道路的宽为 1 m.
根据题意,得$(15-x)(10-x)=126$.
解得$x_1=1,x_2=24$(不符合题意,舍去).
答:修建的道路的宽为 1 m.
解析
【分析】
这是利用一元二次方程解决几何面积的实际问题，解题思路如下：首先我们可以通过平移法，将两条相互垂直的道路分别移到矩形的边缘，此时剩余栽种花草的部分可拼成一个完整的新矩形，新矩形的长等于原矩形的长减去道路宽度，宽等于原矩形的宽减去道路宽度，再根据剩余面积为126m²列方程，求解后结合实际场景舍去不符合题意的根，即可得到道路的宽度。
【解析】
设修建的道路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
平移道路后，剩余栽种花草部分的长为$(15-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(10-x)\ \mathrm{m}$，根据剩余面积为126$\mathrm{m}^2$列方程：
$(15-x)(10-x)=126$
展开整理得：$x^2-25x+24=0$
因式分解得：$(x-1)(x-24)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=24$。
由于道路宽度不可能超过矩形的宽10m，因此$x=24$不符合实际意义，舍去。
答：修建的道路的宽为$1\ \mathrm{m}$。
【答案】
$1\ \mathrm{m}$
【知识点】
1.一元二次方程的应用
2.矩形面积计算
3.实际问题根的检验
【点评】
本题属于基础实际应用题，解题核心是通过平移法将分散的剩余面积转化为规则矩形的面积，降低计算难度，求解后要注意结合实际情况判断根的合理性。
【难度系数】
0.7
这是利用一元二次方程解决几何面积的实际问题，解题思路如下：首先我们可以通过平移法，将两条相互垂直的道路分别移到矩形的边缘，此时剩余栽种花草的部分可拼成一个完整的新矩形，新矩形的长等于原矩形的长减去道路宽度，宽等于原矩形的宽减去道路宽度，再根据剩余面积为126m²列方程，求解后结合实际场景舍去不符合题意的根，即可得到道路的宽度。
【解析】
设修建的道路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
平移道路后，剩余栽种花草部分的长为$(15-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(10-x)\ \mathrm{m}$，根据剩余面积为126$\mathrm{m}^2$列方程：
$(15-x)(10-x)=126$
展开整理得：$x^2-25x+24=0$
因式分解得：$(x-1)(x-24)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=24$。
由于道路宽度不可能超过矩形的宽10m，因此$x=24$不符合实际意义，舍去。
答：修建的道路的宽为$1\ \mathrm{m}$。
【答案】
$1\ \mathrm{m}$
【知识点】
1.一元二次方程的应用
2.矩形面积计算
3.实际问题根的检验
【点评】
本题属于基础实际应用题，解题核心是通过平移法将分散的剩余面积转化为规则矩形的面积，降低计算难度，求解后要注意结合实际情况判断根的合理性。
【难度系数】
0.7
