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例 某风景区统计了近三年国庆节的游客人数. 据统计,2023年国庆节游客人数约为3万,2025年国庆节游客人数约为4.32万.
(1)求2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率.
(2)已知该风景区有A,B两个景点,售票处出示的三种购票方式如下表所示:
据预测,2026年国庆节选择甲、乙、丙三种购票方式的游客各有2万人,当甲、乙两种门票的价格不变时,丙种门票价格每下降1元,将有400名原计划购买甲种门票的游客和600名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票.当丙种门票的价格下降多少元时,该风景区国庆节的门票总收入有最大值?最大值是多少万元?
解:(1)设2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为$x$,
由题意,得 $3(1+x)^2=4.32$.
$\therefore (1+x)^2=1.44$.
解得 $x_1=0.2,x_2=-2.2$(舍去).
答:2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为20%.
(2)设丙种门票价格下降$m$元,该风景区国庆节的门票总收入为$W$万元,
由题意,得 $W=80(2-0.04m)+60(2-0.06m)+(120-m)(2+0.04m+0.06m)$,
化简,得 $W=-0.1(m-16)^2+545.6$.
$\because -0.1＜0$,
$\therefore$ 当$m=16$时,$W$取得最大值,为545.6.
答:当丙种门票价格下降16元时,该风景区国庆节的门票总收入有最大值,最大值是545.6万元.
方法点拨 本题考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用.(1)设游客人数的年平均增长率为$x$,列方程求解;(2)设丙种门票价格下降$m$元,门票总收入为$W$万元,列出$W$与$m$的二次函数解析式求最大值.
(1)求2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率.
(2)已知该风景区有A,B两个景点,售票处出示的三种购票方式如下表所示:
据预测,2026年国庆节选择甲、乙、丙三种购票方式的游客各有2万人,当甲、乙两种门票的价格不变时,丙种门票价格每下降1元,将有400名原计划购买甲种门票的游客和600名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票.当丙种门票的价格下降多少元时,该风景区国庆节的门票总收入有最大值?最大值是多少万元?
解:(1)设2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为$x$,
由题意,得 $3(1+x)^2=4.32$.
$\therefore (1+x)^2=1.44$.
解得 $x_1=0.2,x_2=-2.2$(舍去).
答:2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为20%.
(2)设丙种门票价格下降$m$元,该风景区国庆节的门票总收入为$W$万元,
由题意,得 $W=80(2-0.04m)+60(2-0.06m)+(120-m)(2+0.04m+0.06m)$,
化简,得 $W=-0.1(m-16)^2+545.6$.
$\because -0.1＜0$,
$\therefore$ 当$m=16$时,$W$取得最大值,为545.6.
答:当丙种门票价格下降16元时,该风景区国庆节的门票总收入有最大值,最大值是545.6万元.
方法点拨 本题考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用.(1)设游客人数的年平均增长率为$x$,列方程求解;(2)设丙种门票价格下降$m$元,门票总收入为$W$万元,列出$W$与$m$的二次函数解析式求最大值.
答案
解：(1)设2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为$x$，
由题意，得 $3(1+x)^2=4.32$，
$\therefore (1+x)^2=1.44$，
解得 $x_1=0.2$，$x_2=-2.2$（不符合题意，舍去）。
答：2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为20%。
(2)设丙种门票价格下降$m$元，该风景区国庆节的门票总收入为$W$万元，
由题意，得
$\begin{aligned}W&=80(2-0.04m)+60(2-0.06m)+(120-m)(2+0.04m+0.06m)\\&=-0.1m^2+3.2m+540\\&=-0.1(m-16)^2+545.6\end{aligned}$
$\because -0.1＜0$，
$\therefore$ 当$m=16$时，$W$取得最大值，最大值为545.6。
答：当丙种门票价格下降16元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值，最大值是545.6万元。
由题意，得 $3(1+x)^2=4.32$，
$\therefore (1+x)^2=1.44$，
解得 $x_1=0.2$，$x_2=-2.2$（不符合题意，舍去）。
答：2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为20%。
(2)设丙种门票价格下降$m$元，该风景区国庆节的门票总收入为$W$万元，
由题意，得
$\begin{aligned}W&=80(2-0.04m)+60(2-0.06m)+(120-m)(2+0.04m+0.06m)\\&=-0.1m^2+3.2m+540\\&=-0.1(m-16)^2+545.6\end{aligned}$
$\because -0.1＜0$，
$\therefore$ 当$m=16$时，$W$取得最大值，最大值为545.6。
答：当丙种门票价格下降16元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值，最大值是545.6万元。
解析
【分析】
(1) 本问属于增长率类实际问题，解题思路为：先设年平均增长率为$x$，依据“初始量×(1+增长率)的增长年数次方=最终量”的通用等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到符合要求的增长率。
(2) 本问属于二次函数求最值的实际应用问题，解题思路为：首先设丙种门票价格下降$m$元，门票总收入为$W$万元，先统一单位：400人=0.04万人，600人=0.06万人；再分别确定降价后三种购票方式的人数和对应票价：甲票购票人数为$(2-0.04m)$万，单价80元/人；乙票购票人数为$(2-0.06m)$万，单价60元/人；丙票购票人数为$(2+0.04m+0.06m)$万，单价$(120-m)$元/人；最后根据“总收入=三种购票方式的收入之和”列$W$关于$m$的函数关系式，化简为二次函数顶点式后，结合抛物线开口方向即可求得最大值。
【解析】
(1) 设2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为$x$，
由题意，得 $3(1+x)^2=4.32$，
$\therefore (1+x)^2=1.44$，
解得 $x_1=0.2$，$x_2=-2.2$（不符合实际意义，舍去）。
(2) 设丙种门票价格下降$m$元，该风景区国庆节的门票总收入为$W$万元，
由题意，得
$\begin{aligned}W&=80(2-0.04m)+60(2-0.06m)+(120-m)(2+0.04m+0.06m)\\&=-0.1m^2+3.2m+540\\&=-0.1(m-16)^2+545.6\end{aligned}$
$\because -0.1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$m=16$时，$W$取得最大值，最大值为545.6。
【答案】
(1) 2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为20%；
(2) 当丙种门票价格下降16元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值，最大值是545.6万元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数的最值
【点评】
本题结合景区运营的实际场景命制，分别考查了增长率问题的方程建模和最值问题的二次函数建模，解题核心是找准等量关系，同时要注意单位统一，是代数应用题的高频考点，需要熟练掌握这类问题的建模和求解方法。
【难度系数】
0.65
(1) 本问属于增长率类实际问题，解题思路为：先设年平均增长率为$x$，依据“初始量×(1+增长率)的增长年数次方=最终量”的通用等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到符合要求的增长率。
(2) 本问属于二次函数求最值的实际应用问题，解题思路为：首先设丙种门票价格下降$m$元，门票总收入为$W$万元，先统一单位：400人=0.04万人，600人=0.06万人；再分别确定降价后三种购票方式的人数和对应票价：甲票购票人数为$(2-0.04m)$万，单价80元/人；乙票购票人数为$(2-0.06m)$万，单价60元/人；丙票购票人数为$(2+0.04m+0.06m)$万，单价$(120-m)$元/人；最后根据“总收入=三种购票方式的收入之和”列$W$关于$m$的函数关系式，化简为二次函数顶点式后，结合抛物线开口方向即可求得最大值。
【解析】
(1) 设2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为$x$，
由题意，得 $3(1+x)^2=4.32$，
$\therefore (1+x)^2=1.44$，
解得 $x_1=0.2$，$x_2=-2.2$（不符合实际意义，舍去）。
(2) 设丙种门票价格下降$m$元，该风景区国庆节的门票总收入为$W$万元，
由题意，得
$\begin{aligned}W&=80(2-0.04m)+60(2-0.06m)+(120-m)(2+0.04m+0.06m)\\&=-0.1m^2+3.2m+540\\&=-0.1(m-16)^2+545.6\end{aligned}$
$\because -0.1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$m=16$时，$W$取得最大值，最大值为545.6。
【答案】
(1) 2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为20%；
(2) 当丙种门票价格下降16元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值，最大值是545.6万元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数的最值
【点评】
本题结合景区运营的实际场景命制，分别考查了增长率问题的方程建模和最值问题的二次函数建模，解题核心是找准等量关系，同时要注意单位统一，是代数应用题的高频考点，需要熟练掌握这类问题的建模和求解方法。
【难度系数】
0.65
