1.观察下图中的金字塔，它的表面包含平面图形、，它整体对应的几何体为。

三角形、正方形，四棱锥。

2.悬索桥的主缆垂度$f$与主跨长度$L$的比值(垂跨比)是影响桥梁受力稳定性的关键参数.已知某悬索桥的主跨长度$L=1600\ \mathrm{m}$,垂跨比$\frac{f}{L}=\frac{1}{16}$,跨中最短吊杆长度为$6\ \mathrm{m}$,则主缆在跨中的垂度$f=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$,桥塔顶部高出桥面的高度为$\mathrm{m}$.

$\boldsymbol{100}$；$\boldsymbol{106}$

解：
由$\frac{f}{L}=\frac{1}{16}$，将$L=1600\ \mathrm{m}$代入得：
$f=\frac{1}{16}L=\frac{1}{16}×1600=100\ \mathrm{m}$。
桥塔顶部高出桥面的高度为垂度$f$与跨中最短吊杆长度之和：
$100+6=106\ \mathrm{m}$。

3. 提升题 我们把宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫作黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形,其中$AB=\sqrt{5}-1$,则该矩形的周长为.

解：分两种情况讨论：
1. 当$AB$为黄金矩形的长时，
矩形的宽为：
$AB·\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\sqrt{5}-1)×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{2}=3-\sqrt{5}$
此时矩形周长为：
$2×[(\sqrt{5}-1)+(3-\sqrt{5})]=2×2=4$
2. 当$AB$为黄金矩形的宽时，
由宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得矩形的长为：
$AB÷\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\sqrt{5}-1)×\frac{2}{\sqrt{5}-1}=2$
此时矩形周长为：
$2×[2+(\sqrt{5}-1)]=2\sqrt{5}+2$
综上，该矩形的周长为$4$或$2\sqrt{5}+2$。

4. 提升题 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代建筑中的榫卯结构，十分巧妙.图①是一种简单的鲁班锁，它是由三根完全相同的四棱柱木条挖去中间部分组成的十字形几何体，其内部凹凸啮合，外观严丝合缝，其上下、左右、前后分别对称.现计划对该鲁班锁的表面涂漆.

(1)鲁班锁的整体外观成对称、对称，这种对称不仅让造型美观、简洁、协调，也保证了结构受力的均匀性；
(2)图②是这个鲁班锁三视图的一部分，请将它们补充完整；
(3)若这些四棱柱木条的高为6，底面正方形的边长为2，求这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积；
(4)已知这些四棱柱木条的高为$3a$，底面正方形的边长为$a$，利用鲁班锁的特征求其需要涂漆的面积(用含$a$的式子表示).

解：
(1) 轴；中心
(2) 补全后的三视图：
主视图：在原有图形第二行的左侧补充一个与已有正方形大小相等的正方形，最终为中间竖列3个正方形、中间正方形左右各接1个正方形的十字形；
左视图：在原有图形第一行的中间位置补充一个与已有正方形大小相等的正方形，最终为中间横列3个正方形、中间正方形上下各接1个正方形的十字形；
俯视图：在原有图形第二行的左侧补充一个与已有正方形大小相等的正方形，最终为中间竖列3个正方形、中间正方形左右各接1个正方形的十字形。
(3) 从正面看得到的平面图形是由5个边长为2的正方形组成的十字形，
其面积为：
$5× 2× 2 = 20$
(4) 该鲁班锁前、后、左、右、上、下六个方向的正投影是全等的十字形，每个十字形的面积为$5× a× a=5a^2$，
因此需要涂漆的总面积为：
$6× 5a^2 = 30a^2$
答：(3) 从正面看得到的平面图形的面积为20；(4) 需要涂漆的面积为$30a^2$。