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1. 在同一平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=bx+c$的图象如图所示，则二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象可能是（
D
）答案
1.D
解析
【分析】
解题时先从已知的两个函数图象推导系数a、b、c的符号，再结合二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象性质（开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置）逐一排除错误选项。首先通过$y=ax^2$的开口方向确定a的符号，排除开口方向不符的选项；再通过一次函数的走势和与y轴交点确定b、c的符号，最后根据对称轴公式和与y轴交点的特征筛选出正确选项。
【解析】
1. 确定a的符号：已知二次函数$y=ax^2$图象开口向上，可得$\boxed{a＞0}$，因此目标二次函数$y=ax^2+bx+c$开口也向上，直接排除开口向下的选项A、B。
2. 确定b、c的符号：一次函数$y=bx+c$图象从左到右上升，说明斜率$\boxed{b＞0}$；一次函数与y轴交于负半轴，说明x=0时$y=c＜0$，即$\boxed{c＜0}$。
3. 分析目标二次函数的图象特征：
与y轴交点：x=0时$y=c＜0$，因此图象与y轴交于负半轴；
对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合a＞0、b＞0，可得$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧。
4. 筛选剩余选项：选项C对称轴在y轴右侧，不符合要求，排除；选项D满足开口向上、对称轴在y轴左侧、与y轴交于负半轴，符合所有特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质，一次函数图象与性质，二次函数系数与图象的关系
【点评】
本题核心是考察函数图象和系数的对应关系，需要熟练掌握一次函数、二次函数的图象特征，通过已知图象推导系数符号，再反向判断未知图象，是函数部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的两个函数图象推导系数a、b、c的符号，再结合二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象性质（开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置）逐一排除错误选项。首先通过$y=ax^2$的开口方向确定a的符号，排除开口方向不符的选项；再通过一次函数的走势和与y轴交点确定b、c的符号，最后根据对称轴公式和与y轴交点的特征筛选出正确选项。
【解析】
1. 确定a的符号：已知二次函数$y=ax^2$图象开口向上，可得$\boxed{a＞0}$，因此目标二次函数$y=ax^2+bx+c$开口也向上，直接排除开口向下的选项A、B。
2. 确定b、c的符号：一次函数$y=bx+c$图象从左到右上升，说明斜率$\boxed{b＞0}$；一次函数与y轴交于负半轴，说明x=0时$y=c＜0$，即$\boxed{c＜0}$。
3. 分析目标二次函数的图象特征：
与y轴交点：x=0时$y=c＜0$，因此图象与y轴交于负半轴；
对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合a＞0、b＞0，可得$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧。
4. 筛选剩余选项：选项C对称轴在y轴右侧，不符合要求，排除；选项D满足开口向上、对称轴在y轴左侧、与y轴交于负半轴，符合所有特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质，一次函数图象与性质，二次函数系数与图象的关系
【点评】
本题核心是考察函数图象和系数的对应关系，需要熟练掌握一次函数、二次函数的图象特征，通过已知图象推导系数符号，再反向判断未知图象，是函数部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
2. 已知二次函数$y=ax^2+(b-1)x+c+1$的图象如图所示，则在同一平面直角坐标系中，$y_1=ax^2+bx+1$与$y_2=x-c$的图象可能是（
A
）答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先建立已知二次函数和待判断两个函数的联系：对已知二次函数解析式变形，令$y=ax^2+(b-1)x+c+1=0$，移项可得$ax^2+bx+1=x-c$，说明已知二次函数与x轴交点的横坐标，就是$y_1=ax^2+bx+1$和$y_2=x-c$图象交点的横坐标。再从已知图象提取特征：1. 抛物线开口向上，得$a＞0$，因此$y_1$开口向上；2. 已知二次函数与x轴的两个交点都在x正半轴，且都小于2，说明$y_1$和$y_2$的交点横坐标都为正，且都在0~2之间；3. 一次函数$y_2=x-c$斜率为1，图象必为从左下向右上倾斜的直线。最后结合特征逐一排除错误选项即可。
【解析】
1. 建立函数联系：
令$ax^2+(b-1)x+c+1=0$，整理得$ax^2+bx+1 = x - c$，因此已知二次函数与x轴交点的横坐标，就是$y_1=ax^2+bx+1$和$y_2=x-c$的交点横坐标。
2. 结合已知图象特征排除错误选项：
由已知二次函数图象可得：
抛物线开口向上，故$a＞0$，四个选项中$y_1$均开口向上，暂时都符合；
已知二次函数与x轴的两个交点都在正半轴，且都小于2，说明$y_1$与$y_2$的两个交点横坐标都为正，且在0~2之间：
选项B的两个交点一正一负，不符合，排除；
选项C的右侧交点横坐标大于2，不符合，排除；
选项D的右侧交点横坐标大于2，不符合，排除；
3. 验证选项A：$y_2$斜率为1，倾斜方向符合，两个交点均在0~2之间，完全符合特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；一次函数的图象；函数交点与方程的关系
【点评】
本题巧妙通过方程变形建立已知条件和待判断图象的联系，避免了逐一推导系数范围的复杂计算，利用交点的位置特征快速排除错误选项，是函数图象类判断题的典型解题思路。
【难度系数】
0.6
解题时首先建立已知二次函数和待判断两个函数的联系：对已知二次函数解析式变形，令$y=ax^2+(b-1)x+c+1=0$，移项可得$ax^2+bx+1=x-c$，说明已知二次函数与x轴交点的横坐标，就是$y_1=ax^2+bx+1$和$y_2=x-c$图象交点的横坐标。再从已知图象提取特征：1. 抛物线开口向上，得$a＞0$，因此$y_1$开口向上；2. 已知二次函数与x轴的两个交点都在x正半轴，且都小于2，说明$y_1$和$y_2$的交点横坐标都为正，且都在0~2之间；3. 一次函数$y_2=x-c$斜率为1，图象必为从左下向右上倾斜的直线。最后结合特征逐一排除错误选项即可。
【解析】
1. 建立函数联系：
令$ax^2+(b-1)x+c+1=0$，整理得$ax^2+bx+1 = x - c$，因此已知二次函数与x轴交点的横坐标，就是$y_1=ax^2+bx+1$和$y_2=x-c$的交点横坐标。
2. 结合已知图象特征排除错误选项：
由已知二次函数图象可得：
抛物线开口向上，故$a＞0$，四个选项中$y_1$均开口向上，暂时都符合；
已知二次函数与x轴的两个交点都在正半轴，且都小于2，说明$y_1$与$y_2$的两个交点横坐标都为正，且在0~2之间：
选项B的两个交点一正一负，不符合，排除；
选项C的右侧交点横坐标大于2，不符合，排除；
选项D的右侧交点横坐标大于2，不符合，排除；
3. 验证选项A：$y_2$斜率为1，倾斜方向符合，两个交点均在0~2之间，完全符合特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；一次函数的图象；函数交点与方程的关系
【点评】
本题巧妙通过方程变形建立已知条件和待判断图象的联系，避免了逐一推导系数范围的复杂计算，利用交点的位置特征快速排除错误选项，是函数图象类判断题的典型解题思路。
【难度系数】
0.6
3. [2024·青岛中考]二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，对称轴是直线$x=-1$，则过点$M(c,2a-b)$和点$N(b^2-4ac,a-b+c)$的直线一定不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先从二次函数图象特征入手：首先根据开口方向、对称轴位置、与y轴交点、与x轴交点个数确定a、b、c的符号及相互关系，再分别推导点M、N的横纵坐标的正负性，最后根据两点的位置判断连接两点的直线经过的象限，即可得出结论。
【解析】
解：由二次函数图象性质可得：
1. 抛物线开口向上，故$a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，可得$b=2a＞0$；
3. 抛物线与$y$轴交于正半轴，故$c＞0$；
4. 抛物线与$x$轴无交点，故判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$。
分析点$M(c,2a-b)$：
由$b=2a$得$2a-b=0$，又$c＞0$，因此点$M$坐标为$(c,0)$，在$x$轴正半轴上。
分析点$N(b^2-4ac,a-b+c)$：
横坐标$b^2-4ac＜0$；纵坐标$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，即顶点纵坐标，因抛物线开口向上且与$x$轴无交点，顶点在$x$轴上方，故$a-b+c＞0$，因此点$N$在第二象限。
连接第二象限的点$N$和$x$轴正半轴的点$M$，所得直线经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；一次函数的图象特征
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合题，需要熟练掌握二次函数各项系数与图象的对应关系，结合点的坐标特征判断直线的位置，考查数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
解题时先从二次函数图象特征入手：首先根据开口方向、对称轴位置、与y轴交点、与x轴交点个数确定a、b、c的符号及相互关系，再分别推导点M、N的横纵坐标的正负性，最后根据两点的位置判断连接两点的直线经过的象限，即可得出结论。
【解析】
解：由二次函数图象性质可得：
1. 抛物线开口向上，故$a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，可得$b=2a＞0$；
3. 抛物线与$y$轴交于正半轴，故$c＞0$；
4. 抛物线与$x$轴无交点，故判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$。
分析点$M(c,2a-b)$：
由$b=2a$得$2a-b=0$，又$c＞0$，因此点$M$坐标为$(c,0)$，在$x$轴正半轴上。
分析点$N(b^2-4ac,a-b+c)$：
横坐标$b^2-4ac＜0$；纵坐标$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，即顶点纵坐标，因抛物线开口向上且与$x$轴无交点，顶点在$x$轴上方，故$a-b+c＞0$，因此点$N$在第二象限。
连接第二象限的点$N$和$x$轴正半轴的点$M$，所得直线经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；一次函数的图象特征
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合题，需要熟练掌握二次函数各项系数与图象的对应关系，结合点的坐标特征判断直线的位置，考查数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
4. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，其对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，且与$x$轴的一个交点坐标为$(-2,0)$。下列结论：①$abc＞0$；②$a=b$；③$2a+c=0$；④关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c-1=0$有两个相等的实数根。其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.B
解析
【分析】
解题时需结合二次函数的图象性质逐步推导：第一步，先由抛物线开口方向判断a的符号，再结合对称轴公式推导a和b的关系，判断结论②；第二步，利用二次函数的对称性，结合已知的x轴交点求出另一个交点坐标，代入解析式推导a和c的关系，判断结论③；第三步，根据a、b、c的符号判断abc的正负，验证结论①；第四步，将方程$ax^2+bx+c-1=0$转化为抛物线与直线$y=1$的交点问题，结合图象判断根的情况，验证结论④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
解：逐一分析各结论：
1. 推导a、b的关系：
抛物线开口向上，
∴$a＞0$，
已知对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$，化简得$b=a$，故结论②正确，且$b＞0$。
2. 推导a、c的关系：
二次函数图象关于对称轴对称，设与x轴的另一个交点为$(x,0)$，则$\frac{-2+x}{2}=-\frac{1}{2}$，解得$x=1$，即另一个交点为$(1,0)$。
将$(1,0)$代入$y=ax^2+bx+c$得$a+b+c=0$，结合$b=a$，可得$2a+c=0$，故结论③正确。
3. 判断结论①：
由$2a+c=0$、$a＞0$，得$c=-2a＜0$，则$abc=a· b· c＜0$，故结论①错误。
4. 判断结论④：
方程$ax^2+bx+c-1=0$可变形为$ax^2+bx+c=1$，即判断抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=1$的交点个数。由图象可知抛物线顶点纵坐标小于0，且开口向上，因此抛物线与$y=1$有2个不同交点，即方程有两个不相等的实数根，故结论④错误。
综上，正确的结论为②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题需要结合二次函数的图象特征推导系数关系和方程根的情况，掌握二次函数的对称性、图象与系数的对应关系、函数与方程的转化思想是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时需结合二次函数的图象性质逐步推导：第一步，先由抛物线开口方向判断a的符号，再结合对称轴公式推导a和b的关系，判断结论②；第二步，利用二次函数的对称性，结合已知的x轴交点求出另一个交点坐标，代入解析式推导a和c的关系，判断结论③；第三步，根据a、b、c的符号判断abc的正负，验证结论①；第四步，将方程$ax^2+bx+c-1=0$转化为抛物线与直线$y=1$的交点问题，结合图象判断根的情况，验证结论④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
解：逐一分析各结论：
1. 推导a、b的关系：
抛物线开口向上，
∴$a＞0$，
已知对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$，化简得$b=a$，故结论②正确，且$b＞0$。
2. 推导a、c的关系：
二次函数图象关于对称轴对称，设与x轴的另一个交点为$(x,0)$，则$\frac{-2+x}{2}=-\frac{1}{2}$，解得$x=1$，即另一个交点为$(1,0)$。
将$(1,0)$代入$y=ax^2+bx+c$得$a+b+c=0$，结合$b=a$，可得$2a+c=0$，故结论③正确。
3. 判断结论①：
由$2a+c=0$、$a＞0$，得$c=-2a＜0$，则$abc=a· b· c＜0$，故结论①错误。
4. 判断结论④：
方程$ax^2+bx+c-1=0$可变形为$ax^2+bx+c=1$，即判断抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=1$的交点个数。由图象可知抛物线顶点纵坐标小于0，且开口向上，因此抛物线与$y=1$有2个不同交点，即方程有两个不相等的实数根，故结论④错误。
综上，正确的结论为②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题需要结合二次函数的图象特征推导系数关系和方程根的情况，掌握二次函数的对称性、图象与系数的对应关系、函数与方程的转化思想是解题的核心。
【难度系数】
0.7
5.[2024·绥化中考]二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，对称轴为直线$x=-1$，则下列结论：
①$\frac{b}{c}＞0$；②$am^2+bm≤a-b$（$m$为任意实数）；③$3a+c＜1$；④若$M(x_1,y),N(x_2,y)$是抛物线上不同的两个点，则$x_1+x_2≤-3$。
其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$\frac{b}{c}＞0$；②$am^2+bm≤a-b$（$m$为任意实数）；③$3a+c＜1$；④若$M(x_1,y),N(x_2,y)$是抛物线上不同的两个点，则$x_1+x_2≤-3$。
其中正确的有（
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先从二次函数图像和题干提取核心信息：由开口方向确定a的符号，由对称轴公式推导b与a的关系，由y轴交点确定c的符号，结合特殊点的函数值和二次函数的最值、对称性逐一判断4个结论即可。
【解析】
根据图像和已知条件可得：
1. 抛物线开口向下，因此$a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a$，因此$b＜0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$；
4. 由二次函数对称性可知，$x=1$和$x=-3$的函数值相等，观察图像得$x=1$时$y＜0$。
逐个判断结论：
① $\frac{b}{c}＞0$：
∵$b＜0$，$c＞0$，
∴$\frac{b}{c}＜0$，①错误；
② $am^2+bm≤a-b$（$m$为任意实数）：
∵$x=-1$时抛物线取得最大值，
∴对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c ≤ a·(-1)^2 +b·(-1)+c$，两边同时减去$c$，可得$am^2+bm ≤a -b$，②正确；
③ $3a+c＜1$：当$x=1$时，$y=a+b+c＜0$，将$b=2a$代入得$a+2a+c=3a+c＜0$，
∵$0＜1$，
∴$3a+c＜1$，③正确；
④ 若$M(x_1,y),N(x_2,y)$是抛物线上不同的两个点，两点纵坐标相同，故关于对称轴$x=-1$对称，因此$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$，即$x_1+x_2=-2$，$-2≤-3$不成立，④错误。
综上，正确的结论为②③，共2个。
【答案】B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数系数相关的典型题型，解题关键是结合图像提取有效信息，灵活运用二次函数的性质逐一验证结论，对读图能力和性质应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题时先从二次函数图像和题干提取核心信息：由开口方向确定a的符号，由对称轴公式推导b与a的关系，由y轴交点确定c的符号，结合特殊点的函数值和二次函数的最值、对称性逐一判断4个结论即可。
【解析】
根据图像和已知条件可得：
1. 抛物线开口向下，因此$a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a$，因此$b＜0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$；
4. 由二次函数对称性可知，$x=1$和$x=-3$的函数值相等，观察图像得$x=1$时$y＜0$。
逐个判断结论：
① $\frac{b}{c}＞0$：
∵$b＜0$，$c＞0$，
∴$\frac{b}{c}＜0$，①错误；
② $am^2+bm≤a-b$（$m$为任意实数）：
∵$x=-1$时抛物线取得最大值，
∴对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c ≤ a·(-1)^2 +b·(-1)+c$，两边同时减去$c$，可得$am^2+bm ≤a -b$，②正确；
③ $3a+c＜1$：当$x=1$时，$y=a+b+c＜0$，将$b=2a$代入得$a+2a+c=3a+c＜0$，
∵$0＜1$，
∴$3a+c＜1$，③正确；
④ 若$M(x_1,y),N(x_2,y)$是抛物线上不同的两个点，两点纵坐标相同，故关于对称轴$x=-1$对称，因此$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$，即$x_1+x_2=-2$，$-2≤-3$不成立，④错误。
综上，正确的结论为②③，共2个。
【答案】B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数系数相关的典型题型，解题关键是结合图像提取有效信息，灵活运用二次函数的性质逐一验证结论，对读图能力和性质应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
