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12.某校为了丰富学生学习内容,开设智能机器人编程的校本课程,拟购买A,B两种型号的机器人模型。已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元,用2 000元购买A型机器人模型和用1 200元购买B型机器人模型的数量相同。学校准备购买A型和B型机器人模型共40台,购买的总费用预算不超过15 000元。
(1)A型、B型机器人模型的单价分别是多少元?
(2)若要A型机器人模型尽可能的多,求满足条件的购买方案。
(1)A型、B型机器人模型的单价分别是多少元?
(2)若要A型机器人模型尽可能的多,求满足条件的购买方案。
答案
解:(1)设B型机器人模型的单价是 $x$ 元,则A型机器人模型的单价是 $(x+200)$ 元，
根据题意得:$\frac{2\ 000}{x+200}=\frac{1\ 200}{x}$，
解得 $x=300$，
经检验,$x=300$ 是所列方程的解,且符合题意，
$\therefore x+200=300+200=500$(元)。
所以,A型机器人模型的单价是 500 元,B型机器人模型的单价是 300 元。
(2)设购买 $y$ 台A型机器人模型,则购买 $(40-y)$ 台B型机器人模型，
根据题意得:$500y+300(40-y)≤15\ 000$，
解得 $y≤15$，
$\therefore y$ 的最大值为 15,此时 $40-y=40-15=25$。
所以,购买 15 台A型机器人模型和 25 台B型机器人模型。
根据题意得:$\frac{2\ 000}{x+200}=\frac{1\ 200}{x}$，
解得 $x=300$，
经检验,$x=300$ 是所列方程的解,且符合题意，
$\therefore x+200=300+200=500$(元)。
所以,A型机器人模型的单价是 500 元,B型机器人模型的单价是 300 元。
(2)设购买 $y$ 台A型机器人模型,则购买 $(40-y)$ 台B型机器人模型，
根据题意得:$500y+300(40-y)≤15\ 000$，
解得 $y≤15$，
$\therefore y$ 的最大值为 15,此时 $40-y=40-15=25$。
所以,购买 15 台A型机器人模型和 25 台B型机器人模型。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 属于分式方程的实际应用，核心等量关系是“用2000元购买A型模型的数量 = 用1200元购买B型模型的数量”。我们可以设B型单价为x元，那么A型单价就是(x+200)元，根据“数量=总价÷单价”分别表示两种模型的购买数量，代入等量关系列分式方程，求解后必须检验根是否符合实际意义和方程要求。
(2) 属于一元一次不等式的实际应用，目标是让A型数量尽可能多，核心不等关系是“购买总费用≤15000元”。设购买y台A型，那么B型数量就是(40-y)台，根据总费用的计算方式列不等式，求解后取y的最大正整数值，即可得到对应的购买方案。
【解析】
(1) 设B型机器人模型的单价是 $x$ 元，则A型机器人模型的单价是 $(x+200)$ 元，
根据题意得:$\frac{2\ 000}{x+200}=\frac{1\ 200}{x}$，
交叉相乘化简得 $800x=240000$，
解得 $x=300$，
经检验,$x=300$ 是所列方程的解,且符合题意，
$\therefore x+200=300+200=500$(元)。
(2) 设购买 $y$ 台A型机器人模型,则购买 $(40-y)$ 台B型机器人模型，
根据题意得:$500y+300(40-y)≤15\ 000$，
化简得 $200y≤3000$，
解得 $y≤15$，
$\because$ 要A型机器人模型尽可能多，$\therefore y$ 取最大值为 15,此时 $40-y=40-15=25$。
【答案】
(1) A型机器人模型单价是500元，B型机器人模型单价是300元；
(2) 购买15台A型机器人模型和25台B型机器人模型。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，解题关键是准确梳理题意，找准对应的等量关系和不等关系，注意分式方程求解后要进行双重检验，既要验证是否为方程的根，也要验证是否符合实际场景，这类题型考查学生的信息提取能力和基础运算能力，是应用题的常考类型。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 属于分式方程的实际应用，核心等量关系是“用2000元购买A型模型的数量 = 用1200元购买B型模型的数量”。我们可以设B型单价为x元，那么A型单价就是(x+200)元，根据“数量=总价÷单价”分别表示两种模型的购买数量，代入等量关系列分式方程，求解后必须检验根是否符合实际意义和方程要求。
(2) 属于一元一次不等式的实际应用，目标是让A型数量尽可能多，核心不等关系是“购买总费用≤15000元”。设购买y台A型，那么B型数量就是(40-y)台，根据总费用的计算方式列不等式，求解后取y的最大正整数值，即可得到对应的购买方案。
【解析】
(1) 设B型机器人模型的单价是 $x$ 元，则A型机器人模型的单价是 $(x+200)$ 元，
根据题意得:$\frac{2\ 000}{x+200}=\frac{1\ 200}{x}$，
交叉相乘化简得 $800x=240000$，
解得 $x=300$，
经检验,$x=300$ 是所列方程的解,且符合题意，
$\therefore x+200=300+200=500$(元)。
(2) 设购买 $y$ 台A型机器人模型,则购买 $(40-y)$ 台B型机器人模型，
根据题意得:$500y+300(40-y)≤15\ 000$，
化简得 $200y≤3000$，
解得 $y≤15$，
$\because$ 要A型机器人模型尽可能多，$\therefore y$ 取最大值为 15,此时 $40-y=40-15=25$。
【答案】
(1) A型机器人模型单价是500元，B型机器人模型单价是300元；
(2) 购买15台A型机器人模型和25台B型机器人模型。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，解题关键是准确梳理题意，找准对应的等量关系和不等关系，注意分式方程求解后要进行双重检验，既要验证是否为方程的根，也要验证是否符合实际场景，这类题型考查学生的信息提取能力和基础运算能力，是应用题的常考类型。
【难度系数】
0.7
13.某学校计划从商店购买A，B两种商品，已知购买一件A商品比购买一件B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等。
(1)购买一件A商品和一件B商品各需要多少元？
(2)根据学校实际情况，该学校需要购买B商品的件数比购买A商品件数的3倍还多11件。经过洽谈，商店决定在该学校购买A种商品时给予八折优惠，如果该学校本次购买A，B两种商品的总费用不超过1000元，那么最多可购买多少件A商品？
(1)购买一件A商品和一件B商品各需要多少元？
(2)根据学校实际情况，该学校需要购买B商品的件数比购买A商品件数的3倍还多11件。经过洽谈，商店决定在该学校购买A种商品时给予八折优惠，如果该学校本次购买A，B两种商品的总费用不超过1000元，那么最多可购买多少件A商品？
答案
解:(1)设购买一个B商品需要 $x$ 元,则购买一个A商品需要 $(x+10)$ 元，
根据题意,得:$\frac{300}{x+10}=\frac{100}{x}$，
解得 $x=5$，
经检验,$x=5$ 是原分式方程的解,且符合题意，
$\therefore x+10=15$。
所以,购买一个A商品需要 15 元,一个B商品需要 5 元。
(2)设该学校可购买 $m$ 个A种商品,则可购买 $(3m+11)$ 个B种商品，
依题意,得:$80\%×15m+5(3m+11)≤1\ 000$，
解得 $m≤35$。
所以,该学校最多可购买 35 个A种商品。
根据题意,得:$\frac{300}{x+10}=\frac{100}{x}$，
解得 $x=5$，
经检验,$x=5$ 是原分式方程的解,且符合题意，
$\therefore x+10=15$。
所以,购买一个A商品需要 15 元,一个B商品需要 5 元。
(2)设该学校可购买 $m$ 个A种商品,则可购买 $(3m+11)$ 个B种商品，
依题意,得:$80\%×15m+5(3m+11)≤1\ 000$，
解得 $m≤35$。
所以,该学校最多可购买 35 个A种商品。
解析
【分析】
(1) 本题可利用“数量=总价÷单价”的关系找等量关系求解：已知购买1件A商品比B多花10元，且300元购买A的数量与100元购买B的数量相等，我们可以设B商品单价为未知数，用含未知数的式子表示A的单价，再根据数量相等列分式方程，解后注意检验是否符合要求。
(2) 第二问是费用最值问题，已知总费用不超过1000元，A商品打八折，B商品数量是A的3倍多11件，我们设A商品的购买数量为未知数，表示出B的数量，再根据“总费用=A商品打折后总费用+B商品总费用”列不等式，求解后取最大正整数解即可。
【解析】
(1) 设购买一件B商品需要$x$元，则购买一件A商品需要$(x+10)$元，
根据题意，数量相等可列方程：$\frac{300}{x+10}=\frac{100}{x}$，
交叉相乘得：$300x=100(x+10)$，
解得 $x=5$，
经检验，$x=5$是原分式方程的解，且符合实际购买的意义，
$\therefore x+10=5+10=15$。
(2) 设该学校可购买$m$件A种商品，则购买B种商品的数量为$(3m+11)$件，
A商品打八折后单价为$80\%×15$元，根据总费用不超过1000元可列不等式：
$80\%×15m+5(3m+11)≤1000$，
化简得：$12m+15m+55≤1000$，
合并同类项得：$27m≤945$，
解得 $m≤35$，$m$为正整数，所以最大值为35。
【答案】
(1) 购买一件A商品需要15元，一件B商品需要5元；
(2) 最多可购买35件A商品。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；实际问题最值求解
【点评】
本题结合实际采购场景命题，重点考查从题干提取等量关系、不等关系的能力，解题时要注意分式方程需要检验解的合理性，不等式的解要结合实际问题的取值要求取符合条件的最值。
【难度系数】
0.7
(1) 本题可利用“数量=总价÷单价”的关系找等量关系求解：已知购买1件A商品比B多花10元，且300元购买A的数量与100元购买B的数量相等，我们可以设B商品单价为未知数，用含未知数的式子表示A的单价，再根据数量相等列分式方程，解后注意检验是否符合要求。
(2) 第二问是费用最值问题，已知总费用不超过1000元，A商品打八折，B商品数量是A的3倍多11件，我们设A商品的购买数量为未知数，表示出B的数量，再根据“总费用=A商品打折后总费用+B商品总费用”列不等式，求解后取最大正整数解即可。
【解析】
(1) 设购买一件B商品需要$x$元，则购买一件A商品需要$(x+10)$元，
根据题意，数量相等可列方程：$\frac{300}{x+10}=\frac{100}{x}$，
交叉相乘得：$300x=100(x+10)$，
解得 $x=5$，
经检验，$x=5$是原分式方程的解，且符合实际购买的意义，
$\therefore x+10=5+10=15$。
(2) 设该学校可购买$m$件A种商品，则购买B种商品的数量为$(3m+11)$件，
A商品打八折后单价为$80\%×15$元，根据总费用不超过1000元可列不等式：
$80\%×15m+5(3m+11)≤1000$，
化简得：$12m+15m+55≤1000$，
合并同类项得：$27m≤945$，
解得 $m≤35$，$m$为正整数，所以最大值为35。
【答案】
(1) 购买一件A商品需要15元，一件B商品需要5元；
(2) 最多可购买35件A商品。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；实际问题最值求解
【点评】
本题结合实际采购场景命题，重点考查从题干提取等量关系、不等关系的能力，解题时要注意分式方程需要检验解的合理性，不等式的解要结合实际问题的取值要求取符合条件的最值。
【难度系数】
0.7
