6. 如图，从点 $A(0,2)$ 发出一束光，经 x 轴反射，过点 $B(4,3)$，则这束光从点 A 到点 B 所经过的路径的长为.

6. $\sqrt{41}$

解：作点 $ A(0,2) $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ A'(0,-2) $，连接 $ A'B $ 交 $ x $ 轴于点 $ P $，则光从 $ A $ 到 $ P $ 再到 $ B $ 的路径长为 $ AP + PB = A'P + PB = A'B $。
由 $ A'(0,-2) $，$ B(4,3) $，根据两点间距离公式：
$ A'B = \sqrt{(4 - 0)^2 + [3 - (-2)]^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} $
故这束光从点 $ A $ 到点 $ B $ 所经过的路径的长为 $ \sqrt{41} $。
$\sqrt{41}$

7. 如图，小强和小华同时站在路灯下，小强的身高 $EF = 1.8 m$，小华的身高 $MN = 1.5 m$，他们的影长恰好等于自己的身高，即 $BF = 1.8 m$，$CN = 1.5 m$，且两人相距 4.7 m，则路灯 AD 的高度是m.

7. 4

解：设路灯高度为$AD = h$，$FD = x$，$DN = y$。
由题意知$BF = EF = 1.8\ \mathrm{m}$，$CN = MN = 1.5\ \mathrm{m}$，$FN = 4.7\ \mathrm{m}$，则$x + y = 4.7$。
因为$EF // AD$，所以$△ BEF ∼ △ BAD$，得$\frac{EF}{AD} = \frac{BF}{BD}$，即$\frac{1.8}{h} = \frac{1.8}{1.8 + x}$，化简得$h = 1.8 + x$。
同理，$MN // AD$，$△ CMN ∼ △ CAD$，得$\frac{MN}{AD} = \frac{CN}{CD}$，即$\frac{1.5}{h} = \frac{1.5}{1.5 + y}$，化简得$h = 1.5 + y$。
联立$h = 1.8 + x$和$h = 1.5 + y$，得$x = h - 1.8$，$y = h - 1.5$。
又$x + y = 4.7$，则$(h - 1.8) + (h - 1.5) = 4.7$，解得$h = 4$。
4

8. (2024·滨湖区期中)为了测量学校旗杆上旗帜的宽度 MN，如图，点 P，G，C，A 在同一水平直线上，$MG⊥ PA$，先是小红在点 C 处竖立一根标杆 $BC(BC⊥ PA)$，地面上的点 A，标杆顶端 B 和点 N 在一条直线上(点 N 在 MG 上)，$BC = 1.5$ 米，$AC = 1$ 米，$AG = 8$ 米；然后小明在点 P 处手持自制直角三角形纸板 $DEF(DP⊥ PA)$，其中 $EF = 0.1$ 米，$DF = 0.2$ 米，使长直角边 DF 与水平地面平行，调整位置，恰好在点 P 时点 D，E，M 在一条直线上，$DP = 1.5$ 米，$PG = 23.6$ 米. 请你根据两次测量的结果，求旗帜的宽度 MN.

8. 解:如答图，延长DF交MG于点Q，则$DQ⊥ MG$，$DQ = PG = 23.6$米。

$\because BC⊥ AP$，$MG⊥ AP$，$\therefore BC// MG$，$\therefore △ ABC∽ △ ANG$，$\therefore \frac{BC}{NG}=\frac{AC}{AG}$，即$\frac{1.5}{NG}=\frac{1}{8}$，$\therefore NG = 12$米。
同理得$△ DEF∽ △ DMQ$，$\therefore \frac{EF}{DF}=\frac{MQ}{DQ}$，$\because EF = 0.1$米，$DF = 0.2$米，$\therefore DF = 2EF$，$\therefore MQ=\frac{1}{2}DQ=\frac{1}{2}× 23.6 = 11.8$（米），$\therefore MN = MQ + QG - GN = 11.8 + 1.5 - 12 = 1.3$（米）。
答:旗帜的宽度MN是1.3米。

9. 如图，为了测量一栋楼的高度 OE，小明同学先在操场上点 A 处放一面镜子，向后退到点 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E；再将镜子放到点 C 处，然后后退到点 D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 E(点 O，A，B，C，D 在同一条直线上)，测得 $AC = 2 m$，$BD = 2.1 m$，如果小明的眼睛距地面的高度 BF，DG 为 1.6 m，试确定楼的高度 OE.

9. 解:如答图，设点E关于AO的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC，FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H。

$\because GF// AC$，$\therefore △ MAC∽ △ MFG$，$△ MAO∽ △ MFH$，$\therefore \frac{AC}{FG}=\frac{MA}{MF}=\frac{MO}{MH}$，即$\frac{AC}{BD}=\frac{OE}{MH}=\frac{OE}{MO + OH}=\frac{OE}{OE + BF}$，$\therefore \frac{OE}{OE + 1.6}=\frac{2}{2.1}$，解得$OE = 32m$。
答:楼的高度OE为32m。