登录
8. 如图①，直线 $ y = \dfrac{1}{2}x - 2 $ 分别与坐标轴交于 $ A $，$ B $ 两点，点 $ C $ 为反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象（第一象限）上一点，且 $ △ ACB $ 是以 $ AB $ 为底的等腰直角三角形.
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 如图②，点 $ M $ 为反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象（第一象限）上的一点，且 $ S_{△ MAB} = S_{△ OAB} $，求点 $ M $ 的坐标；
(3) 如图③，点 $ P $ 为 $ y $ 轴上一点，点 $ Q $ 为双曲线上一点，四边形 $ ABQP $ 为等腰梯形，求直线 $ BQ $ 对应的函数解析式.
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 如图②，点 $ M $ 为反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象（第一象限）上的一点，且 $ S_{△ MAB} = S_{△ OAB} $，求点 $ M $ 的坐标；
(3) 如图③，点 $ P $ 为 $ y $ 轴上一点，点 $ Q $ 为双曲线上一点，四边形 $ ABQP $ 为等腰梯形，求直线 $ BQ $ 对应的函数解析式.
答案
8. (1) $ y = \frac{1}{x} $ (2) $ M(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) $ (3) $ y = -\frac{3}{4}x + 3 $
解析
(1) 对于直线 $ y = \frac{1}{2}x - 2 $，令 $ x = 0 $，得 $ y = -2 $，则 $ A(0, -2) $；令 $ y = 0 $，得 $ x = 4 $，则 $ B(4, 0) $。
设 $ C(a, b) $（$ a ＞ 0, b ＞ 0 $），因为 $ △ ACB $ 是以 $ AB $ 为底的等腰直角三角形，所以 $ AC = BC $ 且 $ AC ⊥ BC $。
$ AC^2 = a^2 + (b + 2)^2 $，$ BC^2 = (a - 4)^2 + b^2 $，由 $ AC = BC $ 得：
$a^2 + (b + 2)^2 = (a - 4)^2 + b^2$
化简得 $ 8a + 4b = 12 $，即 $ 2a + b = 3 $。
$ k_{AC} = \frac{b + 2}{a} $，$ k_{BC} = \frac{b}{a - 4} $，由 $ AC ⊥ BC $ 得 $ k_{AC} · k_{BC} = -1 $：
$\frac{b + 2}{a} · \frac{b}{a - 4} = -1$
将 $ b = 3 - 2a $ 代入上式，解得 $ a = 1 $，$ b = 1 $，则 $ k = ab = 1 $，反比例函数解析式为 $ y = \frac{1}{x} $。
(2) $ S_{△ OAB} = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4 $，设 $ M(m, \frac{1}{m}) $（$ m ＞ 0 $）。
直线 $ AB $：$ x - 2y - 4 = 0 $，点 $ M $ 到 $ AB $ 的距离 $ d = \frac{|m - 2 × \frac{1}{m} - 4|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|m - \frac{2}{m} - 4|}{\sqrt{5}} $。
$ AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 + 2)^2} = 2\sqrt{5} $，$ S_{△ MAB} = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × d = 4 $，即 $ |m - \frac{2}{m} - 4| = 4 $。
解得 $ m = \sqrt{2} $（负值舍去），则 $ M(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) $。
(3) 四边形 $ ABQP $ 为等腰梯形，$ AB // PQ $ 或 $ AP // BQ $。
若 $ AB // PQ $，$ k_{AB} = \frac{1}{2} $，设 $ Q(n, \frac{1}{n}) $，$ P(0, p) $，则 $ k_{PQ} = \frac{\frac{1}{n} - p}{n - 0} = \frac{1}{2} $，且 $ AP = BQ $。
$ AP = |p + 2| $，$ BQ = \sqrt{(n - 4)^2 + (\frac{1}{n})^2} $，解得 $ n = \frac{4}{3} $，$ Q(\frac{4}{3}, \frac{3}{4}) $。
直线 $ BQ $：设 $ y = kx + c $，代入 $ B(4, 0) $，$ Q(\frac{4}{3}, \frac{3}{4}) $，解得 $ k = -\frac{3}{4} $，$ c = 3 $，解析式为 $ y = -\frac{3}{4}x + 3 $。
(1) $ y = \frac{1}{x} $
(2) $ M(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) $
(3) $ y = -\frac{3}{4}x + 3 $
设 $ C(a, b) $（$ a ＞ 0, b ＞ 0 $），因为 $ △ ACB $ 是以 $ AB $ 为底的等腰直角三角形，所以 $ AC = BC $ 且 $ AC ⊥ BC $。
$ AC^2 = a^2 + (b + 2)^2 $，$ BC^2 = (a - 4)^2 + b^2 $，由 $ AC = BC $ 得：
$a^2 + (b + 2)^2 = (a - 4)^2 + b^2$
化简得 $ 8a + 4b = 12 $，即 $ 2a + b = 3 $。
$ k_{AC} = \frac{b + 2}{a} $，$ k_{BC} = \frac{b}{a - 4} $，由 $ AC ⊥ BC $ 得 $ k_{AC} · k_{BC} = -1 $：
$\frac{b + 2}{a} · \frac{b}{a - 4} = -1$
将 $ b = 3 - 2a $ 代入上式，解得 $ a = 1 $，$ b = 1 $，则 $ k = ab = 1 $，反比例函数解析式为 $ y = \frac{1}{x} $。
(2) $ S_{△ OAB} = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4 $，设 $ M(m, \frac{1}{m}) $（$ m ＞ 0 $）。
直线 $ AB $：$ x - 2y - 4 = 0 $，点 $ M $ 到 $ AB $ 的距离 $ d = \frac{|m - 2 × \frac{1}{m} - 4|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|m - \frac{2}{m} - 4|}{\sqrt{5}} $。
$ AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 + 2)^2} = 2\sqrt{5} $，$ S_{△ MAB} = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × d = 4 $，即 $ |m - \frac{2}{m} - 4| = 4 $。
解得 $ m = \sqrt{2} $（负值舍去），则 $ M(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) $。
(3) 四边形 $ ABQP $ 为等腰梯形，$ AB // PQ $ 或 $ AP // BQ $。
若 $ AB // PQ $，$ k_{AB} = \frac{1}{2} $，设 $ Q(n, \frac{1}{n}) $，$ P(0, p) $，则 $ k_{PQ} = \frac{\frac{1}{n} - p}{n - 0} = \frac{1}{2} $，且 $ AP = BQ $。
$ AP = |p + 2| $，$ BQ = \sqrt{(n - 4)^2 + (\frac{1}{n})^2} $，解得 $ n = \frac{4}{3} $，$ Q(\frac{4}{3}, \frac{3}{4}) $。
直线 $ BQ $：设 $ y = kx + c $，代入 $ B(4, 0) $，$ Q(\frac{4}{3}, \frac{3}{4}) $，解得 $ k = -\frac{3}{4} $，$ c = 3 $，解析式为 $ y = -\frac{3}{4}x + 3 $。
(1) $ y = \frac{1}{x} $
(2) $ M(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) $
(3) $ y = -\frac{3}{4}x + 3 $
