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2. 下列命题中，是真命题的是 【 】
A.同角的余角互余
B.同位角相等
C.三角形的一个外角大于它的内角
D.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
A.同角的余角互余
B.同位角相等
C.三角形的一个外角大于它的内角
D.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
答案
D
解析
【分析】
要判断真命题，需逐一分析每个选项，结合对应的几何定理和性质，判断命题是否成立，若能举出反例则为假命题，符合定理成立条件的为真命题。首先回忆各选项涉及的知识点：余角的性质、同位角相等的前提、三角形外角的性质、平行线的判定，逐个排查即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 同角的余角相等，而非互余。举例：若∠A+∠B=90°，∠A+∠C=90°，可得∠B=∠C，并非∠B+∠C=90°，故该命题是假命题；
B. 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，命题缺少“两直线平行”的前提条件，故该命题是假命题；
C. 三角形的一个外角仅大于与它不相邻的内角，与外角相邻的内角和外角互补，例如钝角三角形中钝角的外角是锐角，小于这个钝角，故该命题是假命题；
D. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线，与这条直线的夹角均为90°，根据同位角相等两直线平行，可判定这两条直线互相平行，该命题成立，是真命题。
【答案】
D
【知识点】
命题真假判断，平行线的判定，三角形外角性质
【点评】
本题考查基础几何定理的辨析，解题的关键是牢记各定理成立的前提条件，不要遗漏限制条件导致判断失误，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
要判断真命题，需逐一分析每个选项，结合对应的几何定理和性质，判断命题是否成立，若能举出反例则为假命题，符合定理成立条件的为真命题。首先回忆各选项涉及的知识点：余角的性质、同位角相等的前提、三角形外角的性质、平行线的判定，逐个排查即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 同角的余角相等，而非互余。举例：若∠A+∠B=90°，∠A+∠C=90°，可得∠B=∠C，并非∠B+∠C=90°，故该命题是假命题；
B. 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，命题缺少“两直线平行”的前提条件，故该命题是假命题；
C. 三角形的一个外角仅大于与它不相邻的内角，与外角相邻的内角和外角互补，例如钝角三角形中钝角的外角是锐角，小于这个钝角，故该命题是假命题；
D. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线，与这条直线的夹角均为90°，根据同位角相等两直线平行，可判定这两条直线互相平行，该命题成立，是真命题。
【答案】
D
【知识点】
命题真假判断，平行线的判定，三角形外角性质
【点评】
本题考查基础几何定理的辨析，解题的关键是牢记各定理成立的前提条件，不要遗漏限制条件导致判断失误，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
3. 下列命题中，是假命题的是 【 】
A.对顶角相等
B.已知直线a、b、c，若$a ⊥ b$，$a // c$，则$b ⊥ c$
C.互补的角是邻补角
D.同角的余角相等
A.对顶角相等
B.已知直线a、b、c，若$a ⊥ b$，$a // c$，则$b ⊥ c$
C.互补的角是邻补角
D.同角的余角相等
答案
C
解析
【分析】
本题考查真假命题的判断，解题思路如下：首先明确真假命题的定义：条件成立时结论一定成立的命题为真命题，条件成立时结论不一定成立的命题为假命题；接下来逐一分析每个选项对应的几何概念或性质，判断每个命题的真假，最终选出假命题即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对顶角相等是对顶角的基本性质，属于真命题，不符合题意；
B. 根据平行线的性质：若一条直线垂直于一组平行线中的一条，则它也垂直于另一条平行线，因此当$a⊥b$，$a// c$时，$b⊥c$成立，属于真命题，不符合题意；
C. 互补的角仅要求两个角的和为$180°$，而邻补角除了和为$180°$外，还需要满足有公共顶点、公共边，另一边互为反向延长线，因此互补的角不一定是邻补角，该命题是假命题，符合题意；
D. 同角的余角相等是余角的基本性质，属于真命题，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
真假命题判定；邻补角的概念；几何基本性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对常见几何概念、性质的掌握程度，解题的关键是准确区分易混淆的相似概念，牢记基础几何定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题考查真假命题的判断，解题思路如下：首先明确真假命题的定义：条件成立时结论一定成立的命题为真命题，条件成立时结论不一定成立的命题为假命题；接下来逐一分析每个选项对应的几何概念或性质，判断每个命题的真假，最终选出假命题即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对顶角相等是对顶角的基本性质，属于真命题，不符合题意；
B. 根据平行线的性质：若一条直线垂直于一组平行线中的一条，则它也垂直于另一条平行线，因此当$a⊥b$，$a// c$时，$b⊥c$成立，属于真命题，不符合题意；
C. 互补的角仅要求两个角的和为$180°$，而邻补角除了和为$180°$外，还需要满足有公共顶点、公共边，另一边互为反向延长线，因此互补的角不一定是邻补角，该命题是假命题，符合题意；
D. 同角的余角相等是余角的基本性质，属于真命题，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
真假命题判定；邻补角的概念；几何基本性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对常见几何概念、性质的掌握程度，解题的关键是准确区分易混淆的相似概念，牢记基础几何定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4. 命题“内错角相等，两直线平行”的题设是：
内错角相等
.答案
4. 内错角相等
解析
【分析】
要确定命题的题设，首先回忆命题的结构：命题由题设和结论两部分组成，都可以改写为“如果……那么……”的形式，其中“如果”后接的内容是题设（已知事项），“那么”后接的内容是结论（由已知事项推出的事项）。我们只需将原命题改写为“如果……那么……”的标准形式，就能直接提取出题设。
【解析】
我们先把原命题改写为“如果……那么……”的形式：如果内错角相等，那么两直线平行。根据命题的结构规则，“如果”后面的内容就是题设，因此该命题的题设是内错角相等。
【答案】
内错角相等
【知识点】
命题的结构
【点评】
本题考查对命题组成的理解，掌握将命题改写为“如果……那么……”形式的方法是解题的核心，属于基础概念考查题，难度较低。
【难度系数】
0.9
要确定命题的题设，首先回忆命题的结构：命题由题设和结论两部分组成，都可以改写为“如果……那么……”的形式，其中“如果”后接的内容是题设（已知事项），“那么”后接的内容是结论（由已知事项推出的事项）。我们只需将原命题改写为“如果……那么……”的标准形式，就能直接提取出题设。
【解析】
我们先把原命题改写为“如果……那么……”的形式：如果内错角相等，那么两直线平行。根据命题的结构规则，“如果”后面的内容就是题设，因此该命题的题设是内错角相等。
【答案】
内错角相等
【知识点】
命题的结构
【点评】
本题考查对命题组成的理解，掌握将命题改写为“如果……那么……”形式的方法是解题的核心，属于基础概念考查题，难度较低。
【难度系数】
0.9
5. 命题“数轴上的点与有理数一一对应”是
假
命题.(填“真”或“假”)答案
5. 假
解析
【分析】
要判断该命题的真假，首先需明确数轴上的点对应的数的范围：先回忆数轴的相关性质，所有有理数都可以在数轴上找到对应的点，但数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，只有全体实数才和数轴上的点是一一对应的关系，由此就可以判断原命题的正误。
【解析】
根据数轴的性质：①所有有理数都可以用数轴上的点来表示；②数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，例如边长为1的正方形的对角线长为√2，我们可以在数轴上找到表示√2的点，而√2是无理数，不属于有理数。实际上数轴上的点是与全体实数一一对应的，并非与有理数一一对应，因此原命题说法错误。
【答案】
假
【知识点】
命题真假判断；数轴与实数的对应关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对数轴对应数的范围的理解，易错点是容易忽略无理数也可以用数轴上的点表示，混淆有理数和实数与数轴的对应关系。
【难度系数】
0.7
要判断该命题的真假，首先需明确数轴上的点对应的数的范围：先回忆数轴的相关性质，所有有理数都可以在数轴上找到对应的点，但数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，只有全体实数才和数轴上的点是一一对应的关系，由此就可以判断原命题的正误。
【解析】
根据数轴的性质：①所有有理数都可以用数轴上的点来表示；②数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，例如边长为1的正方形的对角线长为√2，我们可以在数轴上找到表示√2的点，而√2是无理数，不属于有理数。实际上数轴上的点是与全体实数一一对应的，并非与有理数一一对应，因此原命题说法错误。
【答案】
假
【知识点】
命题真假判断；数轴与实数的对应关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对数轴对应数的范围的理解，易错点是容易忽略无理数也可以用数轴上的点表示，混淆有理数和实数与数轴的对应关系。
【难度系数】
0.7
6.（长春一模）请举反例说明命题“对于任意实数$x$，$x^2$一定大于$x$”是假命题.你举的反例是$x=$
0(答案不唯一)
.(写出一个值即可)答案
6. 0(答案不唯一)
解析
【分析】
要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，反例需要满足命题的条件（本题条件为x是实数），但不满足命题的结论（本题结论为$x^2＞x$）。因此我们只需要找到任意一个实数x，使得$x^2≤x$即可，我们可以尝试代入特殊值验证，0到1之间（包含端点）的实数都满足$x^2≤x$，比如x=0、x=1、x=0.5等都符合要求。
【解析】
我们取x=0作为反例：
当x=0时，计算$x^2$得：$x^2=0^2=0$，
此时$x^2=x$，不满足“$x^2$一定大于$x$”的结论，
因此x=0可作为该命题的反例（注：x取$0≤x≤1$之间的任意实数均可，答案不唯一）。
【答案】
0(答案不唯一)
【知识点】
1. 假命题的判定
2. 举反例
3. 乘方运算
【点评】
本题核心考查对假命题判定方法的掌握，举反例是判断假命题的常用方法，只要找到符合命题条件但不符合结论的实例即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，反例需要满足命题的条件（本题条件为x是实数），但不满足命题的结论（本题结论为$x^2＞x$）。因此我们只需要找到任意一个实数x，使得$x^2≤x$即可，我们可以尝试代入特殊值验证，0到1之间（包含端点）的实数都满足$x^2≤x$，比如x=0、x=1、x=0.5等都符合要求。
【解析】
我们取x=0作为反例：
当x=0时，计算$x^2$得：$x^2=0^2=0$，
此时$x^2=x$，不满足“$x^2$一定大于$x$”的结论，
因此x=0可作为该命题的反例（注：x取$0≤x≤1$之间的任意实数均可，答案不唯一）。
【答案】
0(答案不唯一)
【知识点】
1. 假命题的判定
2. 举反例
3. 乘方运算
【点评】
本题核心考查对假命题判定方法的掌握，举反例是判断假命题的常用方法，只要找到符合命题条件但不符合结论的实例即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
7. 把下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并指出它们的条件和结论.
（1）三角形的内角和为$180°$；
（2）全等三角形的对应角相等；
（3）平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（1）三角形的内角和为$180°$；
（2）全等三角形的对应角相等；
（3）平行于同一条直线的两条直线互相平行.
答案
(1) 如果三个角为一个三角形的内角,那么这三个角的和为 180°.条件是:三个角为一个三角形的内角;结论是:这三个角的和为 180°
(2) 如果两个三角形全等,那么这两个三角形的对应角相等.条件是:两个三角形全等;结论是:这两个三角形的对应角相等
(3) 如果两条直线平行于同一条直线,那么这两条直线互相平行.条件是:两条直线平行于同一条直线;结论是:这两条直线互相平行
(2) 如果两个三角形全等,那么这两个三角形的对应角相等.条件是:两个三角形全等;结论是:这两个三角形的对应角相等
(3) 如果两条直线平行于同一条直线,那么这两条直线互相平行.条件是:两条直线平行于同一条直线;结论是:这两条直线互相平行
解析
【分析】
要将命题改写为“如果……，那么……”的形式，首先要明确命题均由条件（题设）和结论两部分组成：“如果”后接的是已知的前提条件，“那么”后接的是由条件推导得到的结果。改写时先拆分每个命题的条件和结论，补全语句省略的成分，保证改写后的句子通顺完整，再对应标注条件和结论即可：
（1）原命题的前提是“三个角是同一个三角形的内角”，推导结果是“这三个角的和为180°”；
（2）原命题的前提是“两个三角形全等”，推导结果是“这两个三角形的对应角相等”；
（3）原命题的前提是“两条直线平行于同一条直线”，推导结果是“这两条直线互相平行”。
【解析】
（1）改写：如果三个角为一个三角形的内角，那么这三个角的和为180°。
条件：三个角为一个三角形的内角；结论：这三个角的和为180°。
（2）改写：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等。
条件：两个三角形全等；结论：这两个三角形的对应角相等。
（3）改写：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行。
条件：两条直线平行于同一条直线；结论：这两条直线互相平行。
【答案】
(1) 如果三个角为一个三角形的内角,那么这三个角的和为 180°.条件是:三个角为一个三角形的内角;结论是:这三个角的和为 180°
(2) 如果两个三角形全等,那么这两个三角形的对应角相等.条件是:两个三角形全等;结论是:这两个三角形的对应角相等
(3) 如果两条直线平行于同一条直线,那么这两条直线互相平行.条件是:两条直线平行于同一条直线;结论是:这两条直线互相平行
【知识点】
1. 命题的构成
2. 命题的改写
3. 条件与结论区分
【点评】
本题是命题相关的基础题型，核心考查对命题结构的理解，改写时要注意补充完整语句省略的成分，保证表述通顺、逻辑清晰，熟练掌握命题的组成结构即可快速准确解答。
【难度系数】
0.8
要将命题改写为“如果……，那么……”的形式，首先要明确命题均由条件（题设）和结论两部分组成：“如果”后接的是已知的前提条件，“那么”后接的是由条件推导得到的结果。改写时先拆分每个命题的条件和结论，补全语句省略的成分，保证改写后的句子通顺完整，再对应标注条件和结论即可：
（1）原命题的前提是“三个角是同一个三角形的内角”，推导结果是“这三个角的和为180°”；
（2）原命题的前提是“两个三角形全等”，推导结果是“这两个三角形的对应角相等”；
（3）原命题的前提是“两条直线平行于同一条直线”，推导结果是“这两条直线互相平行”。
【解析】
（1）改写：如果三个角为一个三角形的内角，那么这三个角的和为180°。
条件：三个角为一个三角形的内角；结论：这三个角的和为180°。
（2）改写：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等。
条件：两个三角形全等；结论：这两个三角形的对应角相等。
（3）改写：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行。
条件：两条直线平行于同一条直线；结论：这两条直线互相平行。
【答案】
(1) 如果三个角为一个三角形的内角,那么这三个角的和为 180°.条件是:三个角为一个三角形的内角;结论是:这三个角的和为 180°
(2) 如果两个三角形全等,那么这两个三角形的对应角相等.条件是:两个三角形全等;结论是:这两个三角形的对应角相等
(3) 如果两条直线平行于同一条直线,那么这两条直线互相平行.条件是:两条直线平行于同一条直线;结论是:这两条直线互相平行
【知识点】
1. 命题的构成
2. 命题的改写
3. 条件与结论区分
【点评】
本题是命题相关的基础题型，核心考查对命题结构的理解，改写时要注意补充完整语句省略的成分，保证表述通顺、逻辑清晰，熟练掌握命题的组成结构即可快速准确解答。
【难度系数】
0.8
8. 下列命题中，哪些是假命题？如果是假命题，请举出一个反例.
（1）如果两个角互余，那么它们的余角也互余；
（2）如果∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，那么∠α与∠γ也互余；
（3）一个三角形中至少有两个锐角.
（1）如果两个角互余，那么它们的余角也互余；
（2）如果∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，那么∠α与∠γ也互余；
（3）一个三角形中至少有两个锐角.
答案
(1) 是真命题
(2) 是假命题,如: $∠α=∠γ=40°, ∠β=50°$
(3) 是真命题
(2) 是假命题,如: $∠α=∠γ=40°, ∠β=50°$
(3) 是真命题
解析
【分析】
判断命题真假时，真命题需要结合相关定义、定理进行逻辑推导证明成立，假命题只需举出一个满足命题条件但不满足命题结论的反例即可。我们结合余角的定义（和为90°的两个角互余）、余角的性质以及三角形内角和定理对三个命题逐一分析：
1. 对于命题（1），先根据两个角互余得到两角和为90°，再分别表示出它们的余角，计算余角的和即可判断；
2. 对于命题（2），根据“同角的余角相等”可直接得到∠α和∠γ的关系是相等，而非互余，即可判断为假，再构造符合条件的反例；
3. 对于命题（3），用反证法思路：假设三角形中锐角少于2个，推导是否符合三角形内角和180°的结论，即可判断真假。
【解析】
（1）设两个互余的角为∠1和∠2，根据互余定义得$∠ 1+∠ 2=90{}^{\circ }$。
∠1的余角为$90{}^{\circ }-∠ 1$，∠2的余角为$90{}^{\circ }-∠ 2$，
两个余角的和为$(90{}^{\circ }-∠ 1)+(90{}^{\circ }-∠ 2)=180{}^{\circ }-(∠ 1+∠ 2)=180{}^{\circ }-90{}^{\circ }=90{}^{\circ }$，符合互余的定义，故该命题是真命题。
（2）已知∠α与∠β互余，可得$∠ α +∠ β =90{}^{\circ }$，即$∠ α =90{}^{\circ }-∠ β$；
∠β与∠γ互余，可得$∠ \gamma +∠ β =90{}^{\circ }$，即$∠ \gamma =90{}^{\circ }-∠ β$；
因此$∠ α =∠ \gamma$，并非互余，故该命题是假命题。
反例：取$∠ α =40{}^{\circ }$，$∠ β =50{}^{\circ }$，满足$∠ α +∠ β =90{}^{\circ }$即两角互余；再取$∠ \gamma =40{}^{\circ }$，满足$∠ β +∠ \gamma =90{}^{\circ }$即∠β与∠γ互余，此时$∠ α +∠ \gamma =80{}^{\circ }≠ 90{}^{\circ }$，不满足互余，可作为反例。
（3）假设三角形中锐角少于2个，即只有0个或1个锐角：
若只有0个锐角，三个角都$≥ 90{}^{\circ }$，内角和$≥ 270{}^{\circ }＞180{}^{\circ }$，不符合三角形内角和定理；
若只有1个锐角，剩余两个角都$≥ 90{}^{\circ }$，这两个角的和$≥ 180{}^{\circ }$，加上锐角后内角和$＞180{}^{\circ }$，也不符合三角形内角和定理。
因此三角形中至少有两个锐角，该命题是真命题。
【答案】
(1) 是真命题
(2) 是假命题，如：$∠α=∠γ=40°, ∠β=50°$（反例不唯一）
(3) 是真命题
【知识点】
余角的性质，三角形内角和定理，命题真假判断
【点评】
本题重点考查命题真假的判别方法，解题关键是熟练掌握余角的定义、性质以及三角形内角和的规律，要注意判断假命题时只需举出一个符合条件的反例即可，不需要进行全盘否定的证明。
【难度系数】
0.8
判断命题真假时，真命题需要结合相关定义、定理进行逻辑推导证明成立，假命题只需举出一个满足命题条件但不满足命题结论的反例即可。我们结合余角的定义（和为90°的两个角互余）、余角的性质以及三角形内角和定理对三个命题逐一分析：
1. 对于命题（1），先根据两个角互余得到两角和为90°，再分别表示出它们的余角，计算余角的和即可判断；
2. 对于命题（2），根据“同角的余角相等”可直接得到∠α和∠γ的关系是相等，而非互余，即可判断为假，再构造符合条件的反例；
3. 对于命题（3），用反证法思路：假设三角形中锐角少于2个，推导是否符合三角形内角和180°的结论，即可判断真假。
【解析】
（1）设两个互余的角为∠1和∠2，根据互余定义得$∠ 1+∠ 2=90{}^{\circ }$。
∠1的余角为$90{}^{\circ }-∠ 1$，∠2的余角为$90{}^{\circ }-∠ 2$，
两个余角的和为$(90{}^{\circ }-∠ 1)+(90{}^{\circ }-∠ 2)=180{}^{\circ }-(∠ 1+∠ 2)=180{}^{\circ }-90{}^{\circ }=90{}^{\circ }$，符合互余的定义，故该命题是真命题。
（2）已知∠α与∠β互余，可得$∠ α +∠ β =90{}^{\circ }$，即$∠ α =90{}^{\circ }-∠ β$；
∠β与∠γ互余，可得$∠ \gamma +∠ β =90{}^{\circ }$，即$∠ \gamma =90{}^{\circ }-∠ β$；
因此$∠ α =∠ \gamma$，并非互余，故该命题是假命题。
反例：取$∠ α =40{}^{\circ }$，$∠ β =50{}^{\circ }$，满足$∠ α +∠ β =90{}^{\circ }$即两角互余；再取$∠ \gamma =40{}^{\circ }$，满足$∠ β +∠ \gamma =90{}^{\circ }$即∠β与∠γ互余，此时$∠ α +∠ \gamma =80{}^{\circ }≠ 90{}^{\circ }$，不满足互余，可作为反例。
（3）假设三角形中锐角少于2个，即只有0个或1个锐角：
若只有0个锐角，三个角都$≥ 90{}^{\circ }$，内角和$≥ 270{}^{\circ }＞180{}^{\circ }$，不符合三角形内角和定理；
若只有1个锐角，剩余两个角都$≥ 90{}^{\circ }$，这两个角的和$≥ 180{}^{\circ }$，加上锐角后内角和$＞180{}^{\circ }$，也不符合三角形内角和定理。
因此三角形中至少有两个锐角，该命题是真命题。
【答案】
(1) 是真命题
(2) 是假命题，如：$∠α=∠γ=40°, ∠β=50°$（反例不唯一）
(3) 是真命题
【知识点】
余角的性质，三角形内角和定理，命题真假判断
【点评】
本题重点考查命题真假的判别方法，解题关键是熟练掌握余角的定义、性质以及三角形内角和的规律，要注意判断假命题时只需举出一个符合条件的反例即可，不需要进行全盘否定的证明。
【难度系数】
0.8
