三、解答题
10. 如图，在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等。花坛AB=20 m，AD=30 m，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似？请说明理由。

10. 由题意应有 $\dfrac{20}{20+2y} = \dfrac{30}{30+2x}$,解得$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$,即当$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$时，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似。

11. 如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，求边长x、y和角α的大小. 第11题图

$\because$ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，$\therefore \dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{9}{6},∠C=α,∠D=∠D'=140°. \therefore x=12,y=\dfrac{33}{2},α=∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-62°-75°-140°=83°.$

12. 如图，$A_n$系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②$A_1$纸对裁后可以得到两张$A_2$纸，$A_2$纸对裁后可以得到两张$A_3$纸，…，$A_n$纸对裁后可以得到两张$A_{n+1}$纸.
(1)填空：$A_1$纸面积是$A_2$纸面积的倍，$A_2$纸周长是$A_4$纸周长的倍；
(2)根据$A_n$系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比；
(3)设一张$A_1$纸的质量为$a$克，求出一张$A_8$纸的质量.(用含$a$的代数式表示)

12. (1) 2 2 ［解析］$\because A_1$纸对裁后可以得到两张$A_2$纸，$\therefore A_1$纸面积是$A_2$纸面积的2倍。
设$A_2$纸的长是$a$,宽是$b$,则$A_2$纸周长$=2(a+b)$,则$A_3$纸的长是$b$,宽是$\dfrac{a}{2}$,$A_4$纸的长是$\dfrac{a}{2}$,宽是$\dfrac{b}{2}$,$A_4$纸周长$=2(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2})=a+b$,则$A_2$纸周长是$A_4$纸周长的2倍。
(2) 设$A_1$纸的长和宽分别是$m$、$n$,则$A_2$纸的长和宽分别为$n$、$\dfrac{1}{2}m$,
$\therefore \dfrac{m}{n}=\dfrac{n}{\dfrac{1}{2}m}$,即$\dfrac{m}{n}=\sqrt{2}$(负值舍去),即该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比为$\sqrt{2}:1$。
(3) $\because$ 一张$A_1$纸的质量为$a$克，一张$A_2$纸的面积是$A_1$纸的面积的一半，$\therefore$ 一张$A_2$纸的质量为$\dfrac{1}{2}a$克，同理，一张$A_3$纸的质量是$\dfrac{1}{4}a$克，$\therefore$ 一张$A_8$纸的质量是$(\dfrac{1}{2})^7 a$克。