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1. 化简$(1-\dfrac{1}{m})· \dfrac{1}{m-1}$的结果是(
A.$\dfrac{1}{m-1}$
B.$m$
C.$m-1$
D.$\dfrac{1}{m}$
D
).A.$\dfrac{1}{m-1}$
B.$m$
C.$m-1$
D.$\dfrac{1}{m}$
答案
D
解析
【分析】
本题是分式混合运算的化简题，解题思路如下：第一步先计算括号内的分式减法，需先对括号内的两项通分，将1转化为分母为m的分式，再进行同分母分式的减法运算；第二步将括号内计算得到的结果与括号外的分式相乘，观察分子分母的公因式，进行约分即可得到最终化简结果，再对应选项选择即可。
【解析】
先计算括号内的减法：
$1-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m}{m}-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m-1}{m}$
再计算乘法运算：
$(1-\dfrac{1}{m})· \dfrac{1}{m-1}=\dfrac{m-1}{m}·\dfrac{1}{m-1}$
由分式有意义的条件可知$m≠0$且$m≠1$，因此可约去分子分母的公因式$m-1$，得：
$\dfrac{m-1}{m}·\dfrac{1}{m-1}=\dfrac{1}{m}$
【答案】
D
【知识点】
分式的混合运算；分式的约分；分式的通分
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式运算的基本规则，解题的关键是先处理括号内的运算，再通过约分得到最简结果，熟练掌握通分、约分的方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
本题是分式混合运算的化简题，解题思路如下：第一步先计算括号内的分式减法，需先对括号内的两项通分，将1转化为分母为m的分式，再进行同分母分式的减法运算；第二步将括号内计算得到的结果与括号外的分式相乘，观察分子分母的公因式，进行约分即可得到最终化简结果，再对应选项选择即可。
【解析】
先计算括号内的减法：
$1-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m}{m}-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m-1}{m}$
再计算乘法运算：
$(1-\dfrac{1}{m})· \dfrac{1}{m-1}=\dfrac{m-1}{m}·\dfrac{1}{m-1}$
由分式有意义的条件可知$m≠0$且$m≠1$，因此可约去分子分母的公因式$m-1$，得：
$\dfrac{m-1}{m}·\dfrac{1}{m-1}=\dfrac{1}{m}$
【答案】
D
【知识点】
分式的混合运算；分式的约分；分式的通分
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式运算的基本规则，解题的关键是先处理括号内的运算，再通过约分得到最简结果，熟练掌握通分、约分的方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
2. 为了练习分式的化简,张老师让同学们在分式$\frac{a^2}{a-2}$和$\frac{4a-4}{2-a}$中间加上“+”“−”“×”“÷”四个运算符号中的任意一个后进行化简,若化简的结果为$a-2$,则所加的运算符号为(
A.+
B.−
C.×
D.÷
A
).A.+
B.−
C.×
D.÷
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察两个分式的分母$a-2$和$2-a$互为相反数，可先将第二个分式的分母转化为$a-2$的形式简化计算，再将四个运算符号分别代入两个分式之间进行化简，对比化简结果是否为$a-2$，即可选出正确选项。
【解析】
先对第二个分式变形：$\frac{4a-4}{2-a}=-\frac{4a-4}{a-2}$，逐个验证选项：
A. 运算符号为“+”时：
$\begin{aligned}\frac{a^2}{a-2}+\frac{4a-4}{2-a}&=\frac{a^2}{a-2}-\frac{4a-4}{a-2}\\&=\frac{a^2-4a+4}{a-2}\\&=\frac{(a-2)^2}{a-2}\quad(a≠2)\\&=a-2\end{aligned}$，符合题意。
验证其余选项可排除：
B. 运算符号为“-”时，化简得$\frac{a^2+4a-4}{a-2}$，不符合要求；
C. 运算符号为“×”时，化简得$\frac{4a^2(1-a)}{(a-2)^2}$，不符合要求；
D. 运算符号为“÷”时，化简得$-\frac{a^2}{4(a-1)}$，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
分式的混合运算；分式的约分；完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式的四则运算规则，既可以通过统一分母简化计算，也可以直接代入运算符号逐一验证，掌握分式的基本性质是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察两个分式的分母$a-2$和$2-a$互为相反数，可先将第二个分式的分母转化为$a-2$的形式简化计算，再将四个运算符号分别代入两个分式之间进行化简，对比化简结果是否为$a-2$，即可选出正确选项。
【解析】
先对第二个分式变形：$\frac{4a-4}{2-a}=-\frac{4a-4}{a-2}$，逐个验证选项：
A. 运算符号为“+”时：
$\begin{aligned}\frac{a^2}{a-2}+\frac{4a-4}{2-a}&=\frac{a^2}{a-2}-\frac{4a-4}{a-2}\\&=\frac{a^2-4a+4}{a-2}\\&=\frac{(a-2)^2}{a-2}\quad(a≠2)\\&=a-2\end{aligned}$，符合题意。
验证其余选项可排除：
B. 运算符号为“-”时，化简得$\frac{a^2+4a-4}{a-2}$，不符合要求；
C. 运算符号为“×”时，化简得$\frac{4a^2(1-a)}{(a-2)^2}$，不符合要求；
D. 运算符号为“÷”时，化简得$-\frac{a^2}{4(a-1)}$，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
分式的混合运算；分式的约分；完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式的四则运算规则，既可以通过统一分母简化计算，也可以直接代入运算符号逐一验证，掌握分式的基本性质是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
3. 计算：$( \dfrac{1}{b} )^3 · (ab)^2 - ( \dfrac{a}{b} )^3 ÷ \dfrac{a}{b^2} =$
0
答案
0
解析
【分析】
本题考查分式的混合运算，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序。首先分别计算式中所有乘方项的结果，再将除法转化为乘法计算乘除运算，对分式约分简化后，最后计算两项的差即可得到结果。
【解析】
解：先计算乘方运算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1}{b^3} · a^2b^2 - \dfrac{a^3}{b^3} ÷ \dfrac{a}{b^2}\\&=\dfrac{a^2b^2}{b^3} - \dfrac{a^3}{b^3} · \dfrac{b^2}{a}\\&=\dfrac{a^2}{b} - \dfrac{a^2}{b}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
分式混合运算；幂的运算法则；分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查分式运算顺序和幂的运算性质，解题时注意不要弄错运算顺序，分式除法要先转化为乘法再约分，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的混合运算，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序。首先分别计算式中所有乘方项的结果，再将除法转化为乘法计算乘除运算，对分式约分简化后，最后计算两项的差即可得到结果。
【解析】
解：先计算乘方运算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1}{b^3} · a^2b^2 - \dfrac{a^3}{b^3} ÷ \dfrac{a}{b^2}\\&=\dfrac{a^2b^2}{b^3} - \dfrac{a^3}{b^3} · \dfrac{b^2}{a}\\&=\dfrac{a^2}{b} - \dfrac{a^2}{b}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
分式混合运算；幂的运算法则；分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查分式运算顺序和幂的运算性质，解题时注意不要弄错运算顺序，分式除法要先转化为乘法再约分，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
4. 计算：
(1)$\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a};$
(2)$(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}.$
(1)$\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a};$
(2)$(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}.$
答案
解 (1)$\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}$
$=\frac{a}{a}$
$=1.$
(2)$(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}$
$=\frac{x^2 - 2x +1}{x} · \frac{x}{x^2 -1}$
$=\frac{(x-1)^2}{x} · \frac{x}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-1}{x+1}.$
$=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}$
$=\frac{a}{a}$
$=1.$
(2)$(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}$
$=\frac{x^2 - 2x +1}{x} · \frac{x}{x^2 -1}$
$=\frac{(x-1)^2}{x} · \frac{x}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-1}{x+1}.$
解析
【分析】
这两道题属于分式的混合运算题，解题时遵循分式混合运算的顺序：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的，运算过程中结合因式分解对分式约分可简化计算：
(1) 第一步先计算乘法运算：先对分子中的多项式$a^2-1$用平方差公式因式分解，再约去两个相乘分式的公因式，得到最简分式后再和后面的$\frac{1}{a}$做同分母分式加法；
(2) 第一步先计算括号内的减法：将$x$通分转化为分母为$x$的分式，和括号内的分式相减后，分子用完全平方公式因式分解；再将除法运算转化为乘法运算（乘以除数的倒数），对$x^2-1$用平方差公式因式分解后约去公因式，即可得到最简结果。
【解析】
(1) $\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}$
对$a^2-1$用平方差公式因式分解得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，代入原式：
$=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a}$
约去公因式$a(a+1)$：
$=\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}$
同分母分式相加，分母不变、分子相加：
$=\frac{a-1+1}{a}=\frac{a}{a}=1$
(2) $(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}$
先计算括号内的减法，将$x$通分为$\frac{x^2}{x}$：
$=\frac{x^2 - (2x-1)}{x} ÷ \frac{x^2 -1}{x}$
分子用完全平方公式化简得$x^2-2x+1=(x-1)^2$，同时将除法转化为乘法（乘以除数的倒数）：
$=\frac{(x-1)^2}{x} · \frac{x}{x^2 -1}$
对$x^2-1$用平方差公式因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入后约去公因式$x(x-1)$：
$=\frac{(x-1)^2}{x} · \frac{x}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x+1}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{\dfrac{x-1}{x+1}}$
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 因式分解
3. 分式的约分与通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式混合运算的顺序和化简技巧，解题的关键是熟练掌握平方差、完全平方等常用因式分解方法，灵活对分式约分，注意最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
这两道题属于分式的混合运算题，解题时遵循分式混合运算的顺序：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的，运算过程中结合因式分解对分式约分可简化计算：
(1) 第一步先计算乘法运算：先对分子中的多项式$a^2-1$用平方差公式因式分解，再约去两个相乘分式的公因式，得到最简分式后再和后面的$\frac{1}{a}$做同分母分式加法；
(2) 第一步先计算括号内的减法：将$x$通分转化为分母为$x$的分式，和括号内的分式相减后，分子用完全平方公式因式分解；再将除法运算转化为乘法运算（乘以除数的倒数），对$x^2-1$用平方差公式因式分解后约去公因式，即可得到最简结果。
【解析】
(1) $\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}$
对$a^2-1$用平方差公式因式分解得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，代入原式：
$=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a}$
约去公因式$a(a+1)$：
$=\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}$
同分母分式相加，分母不变、分子相加：
$=\frac{a-1+1}{a}=\frac{a}{a}=1$
(2) $(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}$
先计算括号内的减法，将$x$通分为$\frac{x^2}{x}$：
$=\frac{x^2 - (2x-1)}{x} ÷ \frac{x^2 -1}{x}$
分子用完全平方公式化简得$x^2-2x+1=(x-1)^2$，同时将除法转化为乘法（乘以除数的倒数）：
$=\frac{(x-1)^2}{x} · \frac{x}{x^2 -1}$
对$x^2-1$用平方差公式因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入后约去公因式$x(x-1)$：
$=\frac{(x-1)^2}{x} · \frac{x}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x+1}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{\dfrac{x-1}{x+1}}$
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 因式分解
3. 分式的约分与通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式混合运算的顺序和化简技巧，解题的关键是熟练掌握平方差、完全平方等常用因式分解方法，灵活对分式约分，注意最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
