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5.若$(1+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{x^2-2x+1}$的计算结果为正整数，则对$x$的取值描述最准确的是（
A.$x$为自然数
B.$x$为大于1的奇数
C.$x$为大于0的偶数
D.$x$为正整数
B
）.A.$x$为自然数
B.$x$为大于1的奇数
C.$x$为大于0的偶数
D.$x$为正整数
答案
B 解析 $(1+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{x^2-2x+1}$
$=(\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{x}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{2x}$
$=\dfrac{x-1}{2}.$
$\because$计算结果为正整数，
$\therefore x$为大于1的奇数. 故选B.
$=(\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{x}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{2x}$
$=\dfrac{x-1}{2}.$
$\because$计算结果为正整数，
$\therefore x$为大于1的奇数. 故选B.
解析
【分析】
解题时需遵循分式混合运算的规则逐步化简，再结合条件推导x的取值：①先计算括号内的分式加法，通过通分化为同分母分式相加；②将除法运算转化为乘法运算，同时对多项式因式分解，通过约分化简原式；③明确分式有意义的前提：所有分母、除式均不为0，得到x的初步取值范围；④结合化简结果为正整数的要求，推导x的取值特征，对应选项判断即可。
【解析】
首先明确分式有意义的条件：$x-1≠0$，$x≠0$，即$x≠1$且$x≠0$，再化简原式：
$\begin{aligned}&(1+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{x^2-2x+1}\\=&(\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{(x-1)^2}\\=&\dfrac{x}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{2x}\\=&\dfrac{x-1}{2}\end{aligned}$
∵计算结果为正整数，
∴$\dfrac{x-1}{2}＞0$且$\dfrac{x-1}{2}$是整数，即$x-1$是正偶数，
∴$x$为大于1的奇数。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，正整数的概念
【点评】
本题重点考查分式的化简与取值判断，解题时要特别注意分式有意义的隐含条件，避免忽略限制导致判断错误，再结合结果的取值要求即可推导得出正确结论。
【难度系数】
0.7
解题时需遵循分式混合运算的规则逐步化简，再结合条件推导x的取值：①先计算括号内的分式加法，通过通分化为同分母分式相加；②将除法运算转化为乘法运算，同时对多项式因式分解，通过约分化简原式；③明确分式有意义的前提：所有分母、除式均不为0，得到x的初步取值范围；④结合化简结果为正整数的要求，推导x的取值特征，对应选项判断即可。
【解析】
首先明确分式有意义的条件：$x-1≠0$，$x≠0$，即$x≠1$且$x≠0$，再化简原式：
$\begin{aligned}&(1+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{x^2-2x+1}\\=&(\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{(x-1)^2}\\=&\dfrac{x}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{2x}\\=&\dfrac{x-1}{2}\end{aligned}$
∵计算结果为正整数，
∴$\dfrac{x-1}{2}＞0$且$\dfrac{x-1}{2}$是整数，即$x-1$是正偶数，
∴$x$为大于1的奇数。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，正整数的概念
【点评】
本题重点考查分式的化简与取值判断，解题时要特别注意分式有意义的隐含条件，避免忽略限制导致判断错误，再结合结果的取值要求即可推导得出正确结论。
【难度系数】
0.7
6. 先化简，再求值：$(1 + \frac{3}{x - 2}) ÷ \frac{x + 1}{x^2 - 4x + 4}$，其中$x = 3$。
答案
解 $(1 + \dfrac{3}{x - 2}) ÷ \dfrac{x + 1}{x^2 - 4x + 4}$
$=\dfrac{x - 2 + 3}{x - 2} · \dfrac{(x - 2)^2}{x + 1}$
$=\dfrac{x + 1}{x - 2} · \dfrac{(x - 2)^2}{x + 1}=x - 2.$
当$x=3$时，
原式$=3 - 2=1.$
$=\dfrac{x - 2 + 3}{x - 2} · \dfrac{(x - 2)^2}{x + 1}$
$=\dfrac{x + 1}{x - 2} · \dfrac{(x - 2)^2}{x + 1}=x - 2.$
当$x=3$时，
原式$=3 - 2=1.$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步先处理括号内的加法运算，将整数1转化为与括号内分式同分母的分式，完成通分相加；第二步将分式的除法运算转化为乘法运算，同时对可因式分解的多项式$x^2-4x+4$利用完全平方公式分解因式；第三步对分式进行约分，得到最简结果后，将$x=3$代入最简式计算出最终数值即可。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}(1 + \frac{3}{x - 2}) ÷ \frac{x + 1}{x^2 - 4x + 4}&=\frac{x - 2 + 3}{x - 2} · \frac{(x - 2)^2}{x + 1}\\&=\frac{x + 1}{x - 2} · \frac{(x - 2)^2}{x + 1}\\&=x - 2\end{aligned}$
再代入$x=3$求值：
当$x=3$时，原式$=3 - 2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
分式的混合运算、完全平方公式因式分解、分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，重点考查分式运算的基本法则，包括通分、约分、除法转乘法的运算规则，以及因式分解在分式化简中的应用，计算时要注意约分彻底，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步先处理括号内的加法运算，将整数1转化为与括号内分式同分母的分式，完成通分相加；第二步将分式的除法运算转化为乘法运算，同时对可因式分解的多项式$x^2-4x+4$利用完全平方公式分解因式；第三步对分式进行约分，得到最简结果后，将$x=3$代入最简式计算出最终数值即可。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}(1 + \frac{3}{x - 2}) ÷ \frac{x + 1}{x^2 - 4x + 4}&=\frac{x - 2 + 3}{x - 2} · \frac{(x - 2)^2}{x + 1}\\&=\frac{x + 1}{x - 2} · \frac{(x - 2)^2}{x + 1}\\&=x - 2\end{aligned}$
再代入$x=3$求值：
当$x=3$时，原式$=3 - 2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
分式的混合运算、完全平方公式因式分解、分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，重点考查分式运算的基本法则，包括通分、约分、除法转乘法的运算规则，以及因式分解在分式化简中的应用，计算时要注意约分彻底，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
7.在一次行程中，张叔叔和王叔叔同时加了两次油，且两次加油时汽油的价格分别为$x$元/升和$y$元/升($x＞0,y＞0,x≠y$).张叔叔两次都加了相同体积(单位:升)的油，王叔叔两次都加了相同金额(单位:元)的油，假设每次加油都未加满油箱，请判断谁加油的平均单价更低，并利用学过的数学知识说明理由.
答案
解 王叔叔加油的平均单价更低. 理由如下：
根据题意，得张叔叔加油的平均单价为 $\dfrac{x+y}{2}$(元/升)，
王叔叔加油的平均单价为 $\dfrac{2xy}{x+y}$(元/升).
$\dfrac{x+y}{2} - \dfrac{2xy}{x+y} = \dfrac{(x+y)^2 - 4xy}{2(x+y)} = \dfrac{(x-y)^2}{2(x+y)}.$
因为 $x＞0,y＞0,x≠ y$，
所以 $\dfrac{(x-y)^2}{2(x+y)}＞0$，
即 $\dfrac{x+y}{2}＞\dfrac{2xy}{x+y}.$
所以王叔叔加油的平均单价更低.
根据题意，得张叔叔加油的平均单价为 $\dfrac{x+y}{2}$(元/升)，
王叔叔加油的平均单价为 $\dfrac{2xy}{x+y}$(元/升).
$\dfrac{x+y}{2} - \dfrac{2xy}{x+y} = \dfrac{(x+y)^2 - 4xy}{2(x+y)} = \dfrac{(x-y)^2}{2(x+y)}.$
因为 $x＞0,y＞0,x≠ y$，
所以 $\dfrac{(x-y)^2}{2(x+y)}＞0$，
即 $\dfrac{x+y}{2}＞\dfrac{2xy}{x+y}.$
所以王叔叔加油的平均单价更低.
解析
【分析】
要判断谁的平均单价更低，首先明确平均单价的计算公式：平均单价=加油总金额÷加油总体积。第一步，分别推导两人的平均单价：张叔叔两次加油体积相同，计算总金额与总体积的比值即可得到其平均单价；王叔叔两次加油金额相同，同理推导其平均单价。第二步，采用作差法比较两个平均单价的大小，将两个单价作差后通过分式混合运算化简差式，最后结合$x＞0,y＞0,x≠y$的条件判断差的正负，即可得出大小结论。
【解析】
解：设张叔叔每次加油体积为$a$升（$a＞0$），王叔叔每次加油金额为$b$元（$b＞0$）。
张叔叔两次加油总金额为$ax+ay$元，总加油体积为$2a$升，平均单价为：
$\dfrac{ax+ay}{2a}=\dfrac{x+y}{2}$（元/升）。
王叔叔两次加油总金额为$2b$元，总加油体积为$\dfrac{b}{x}+\dfrac{b}{y}$升，平均单价为：
$\dfrac{2b}{\dfrac{b}{x}+\dfrac{b}{y}}=\dfrac{2xy}{x+y}$（元/升）。
用作差法比较两个单价的大小：
$\dfrac{x+y}{2} - \dfrac{2xy}{x+y} = \dfrac{(x+y)^2 - 4xy}{2(x+y)} = \dfrac{(x-y)^2}{2(x+y)}$。
已知$x＞0,y＞0,x≠y$，因此$(x-y)^2＞0$，$2(x+y)＞0$，可得$\dfrac{(x-y)^2}{2(x+y)}＞0$，即$\dfrac{x+y}{2}＞\dfrac{2xy}{x+y}$。
【答案】
王叔叔加油的平均单价更低。
【知识点】
分式混合运算，作差法比较大小，分式实际应用
【点评】
本题结合生活加油场景考查分式的相关知识，解题核心是正确列出两人平均单价的代数式，再通过分式运算比较大小，既考查了分式计算的基础能力，也能引导学生用数学知识解决实际生活问题。
【难度系数】
0.6
要判断谁的平均单价更低，首先明确平均单价的计算公式：平均单价=加油总金额÷加油总体积。第一步，分别推导两人的平均单价：张叔叔两次加油体积相同，计算总金额与总体积的比值即可得到其平均单价；王叔叔两次加油金额相同，同理推导其平均单价。第二步，采用作差法比较两个平均单价的大小，将两个单价作差后通过分式混合运算化简差式，最后结合$x＞0,y＞0,x≠y$的条件判断差的正负，即可得出大小结论。
【解析】
解：设张叔叔每次加油体积为$a$升（$a＞0$），王叔叔每次加油金额为$b$元（$b＞0$）。
张叔叔两次加油总金额为$ax+ay$元，总加油体积为$2a$升，平均单价为：
$\dfrac{ax+ay}{2a}=\dfrac{x+y}{2}$（元/升）。
王叔叔两次加油总金额为$2b$元，总加油体积为$\dfrac{b}{x}+\dfrac{b}{y}$升，平均单价为：
$\dfrac{2b}{\dfrac{b}{x}+\dfrac{b}{y}}=\dfrac{2xy}{x+y}$（元/升）。
用作差法比较两个单价的大小：
$\dfrac{x+y}{2} - \dfrac{2xy}{x+y} = \dfrac{(x+y)^2 - 4xy}{2(x+y)} = \dfrac{(x-y)^2}{2(x+y)}$。
已知$x＞0,y＞0,x≠y$，因此$(x-y)^2＞0$，$2(x+y)＞0$，可得$\dfrac{(x-y)^2}{2(x+y)}＞0$，即$\dfrac{x+y}{2}＞\dfrac{2xy}{x+y}$。
【答案】
王叔叔加油的平均单价更低。
【知识点】
分式混合运算，作差法比较大小，分式实际应用
【点评】
本题结合生活加油场景考查分式的相关知识，解题核心是正确列出两人平均单价的代数式，再通过分式运算比较大小，既考查了分式计算的基础能力，也能引导学生用数学知识解决实际生活问题。
【难度系数】
0.6
