典例 如图，点E，F在AC上，AB//CD，AB＝CD，AE＝CF，求证△ABF≌△CDE。

证明
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,
∵AB//CD,
∴∠A=∠C.
在$△ ABF$与$△ CDE$中，$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ A=∠ C, \\ AF=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CDE(\mathrm{SAS})$.

【分析】
要证明△ABF≌△CDE，首先梳理已有条件：已知AB=CD，由AB//CD可推出内错角∠A=∠C，此时已具备一组等边、一组等角，还需一组夹这组等角的边相等即可用SAS判定全等。已知AE=CF，根据等式的性质，在等式两边同时加上公共线段EF，可得到AF=CE，刚好满足SAS的判定要求，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AE=CF，
∴ AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
∵ AB//CD，
∴ ∠A=∠C。
在$△ ABF$与$△ CDE$中，
$\begin{cases}AB=CD, \\∠A=∠C, \\AF=CE,\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CDE(\mathrm{SAS})$。
【答案】
证明：
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,
∵AB//CD,
∴∠A=∠C.
在$△ ABF$与$△ CDE$中，$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ A=∠ C, \\ AF=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CDE(\mathrm{SAS})$.
【知识点】
平行线的性质；全等三角形SAS判定；等式的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题核心是通过线段的和差转化得到全等所需的等边，结合平行线的性质得到等角，熟记全等三角形的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

举一反三 如图，$AB=AD$，$AC=AE$，$∠ BAE=∠ DAC$，求证$∠ C=∠ E$.

在$△ ABF$与$△ CDE$中，$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ A=∠ C, \\ AF=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CDE(\mathrm{SAS})$.

证明 $\because ∠ BAE=∠ DAC$,
$\therefore ∠ BAE - ∠ CAE = ∠ DAC - ∠ CAE$,
即$∠ BAC=∠ DAE$.
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ BAC=∠ DAE, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ C=∠ E$.

【分析】
要证明∠C=∠E，可通过证明两个角所在的三角形全等，利用全等三角形对应角相等推导结论。首先观察已知给出了AB=AD、AC=AE两组边相等，还给出∠BAE=∠DAC，这两个角存在公共部分∠CAE，将两个角同时减去公共角∠CAE，即可得到△ABC和△ADE的夹角∠BAC=∠DAE，此时满足两边及其夹角对应相等的全等判定条件，证得△ABC≌△ADE后，就能推出对应角∠C=∠E。
【解析】
证明：
$\because ∠BAE=∠DAC$，
$\therefore ∠BAE - ∠CAE = ∠DAC - ∠CAE$，
即$∠BAC=∠DAE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD, \\∠BAC=∠DAE, \\AC=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠C=∠E$。
【答案】
证明 $\because ∠ BAE=∠ DAC$,
$\therefore ∠ BAE - ∠ CAE = ∠ DAC - ∠ CAE$,
即$∠ BAC=∠ DAE$.
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ BAC=∠ DAE, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ C=∠ E$.
【知识点】
SAS全等判定、全等三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形证明的常规基础题，解题核心是通过角的和差关系推导得到全等判定所需的夹角条件，结合已知边的条件利用SAS判定三角形全等，进而得到对应角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8

1. 下列全等的两个三角形是().


A.①②
B.②③
C.①③
D.③④

1. A

【分析】
要判断哪两个三角形全等，首先回忆全等三角形的判定定理，本题可通过SAS（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）来分析：首先确定每个三角形中40°角是否是已知两条边长的夹角，再对比两个三角形的边和角是否对应相等即可。
【解析】
根据全等三角形的SAS判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
对四个三角形逐一分析：
1. 图①：40°角是长度为2cm、3cm的两条边的夹角；
2. 图②：40°角是长度为3cm、2cm的两条边的夹角，两条边长度与①对应相等，夹角也相等，满足SAS判定条件，因此①和②全等；
3. 图③：40°角是2cm边长的对角，不是已知两边的夹角，不符合SAS判定要求，与其他三角形不全等；
4. 图④：40°角是3cm边长的对角，不是已知两边的夹角，不符合SAS判定要求，与其他三角形不全等。
因此全等的两个三角形是①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形SAS判定
【点评】
本题解题的核心是明确SAS判定定理中“夹角”的要求，即相等的角必须是两条对应相等的边所夹的角，避免误将边的对角当作夹角判定全等，掌握判定定理的适用条件是解题关键。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$AB = DB$，$BC = BE$，欲证$△ ABE ≌ △ DBC$，可增加的条件是().

A.$∠ ABE = ∠ DBE$
B.$∠ 1 = ∠ DBE$
C.$∠ E = ∠ C$
D.$∠ 1 = ∠ 2$

2. D

【分析】
要判定两个三角形全等，首先明确已知条件：已知$AB=DB$，$BC=BE$，即两组对应边相等。根据全等三角形的判定定理，两边对应相等时，可补充两组边的夹角相等（SAS判定）或第三组边相等（SSS判定）。本题选项均为角的条件，因此只需找到能推出两组对应边的夹角相等的选项即可。$△ ABE$中$AB$、$BE$的夹角是$∠ ABE$，$△ DBC$中$DB$、$BC$的夹角是$∠ DBC$，因此只需推导$∠ ABE=∠ DBC$即可。
【解析】
已知$AB=DB$，$BC=BE$，逐一分析各选项：
A. 若$∠ ABE=∠ DBE$，无法推出$∠ ABE=∠ DBC$，不满足全等判定条件，不符合要求；
B. 若$∠ 1=∠ DBE$，无法推出$∠ ABE=∠ DBC$，不满足全等判定条件，不符合要求；
C. 若$∠ E=∠ C$，此时是两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不能判定三角形全等，不符合要求；
D. 若$∠ 1=∠ 2$，根据等式的性质，$∠ 1+∠ DBE=∠ 2+∠ DBE$，即$∠ ABE=∠ DBC$。
在$△ ABE$和$△ DBC$中：
$\{\begin{array}{l}AB=DB\\∠ ABE=∠ DBC\\BE=BC\end{array} $
$\therefore△ ABE≌△ DBC(\mathrm{SAS})$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 角的和差性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，结合已知边的对应关系找到对应的相等夹角即可求解。
【难度系数】
0.7