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1. 计算$\frac{y}{x} ÷ \frac{y}{2} · \frac{2}{y}$的结果是(
A.$\frac{4}{xy}$
B.$\frac{1}{2}x$
C.$\frac{y}{x}$
D.$2y$
A
).A.$\frac{4}{xy}$
B.$\frac{1}{2}x$
C.$\frac{y}{x}$
D.$2y$
答案
1. A
解析
【分析】
这是一道分式乘除混合运算题，解题时需遵循两个核心规则：第一，乘除属于同级运算，要严格按照从左到右的顺序计算，不能跳步先计算后项的乘法；第二，遇到除法要先转化为乘法，即除以一个不为0的分式等于乘这个分式的倒数，转化为乘法运算后再对分子分母约分得到最简结果，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：先将除法统一为乘法运算，再按从左到右的顺序计算：
$\begin{aligned}\frac{y}{x} ÷ \frac{y}{2} · \frac{2}{y}&=\frac{y}{x} × \frac{2}{y} × \frac{2}{y}\\&=\frac{y×2×2}{x×y×y}\\&=\frac{4y}{xy^2}\\&=\frac{4}{xy}\end{aligned}$
计算结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式乘除混合运算
2. 约分
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，易错点是忽略同级运算的顺序，误先计算后项$\frac{y}{2}·\frac{2}{y}=1$导致结果错误，只要熟练掌握分式乘除的运算规则，按步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.7
这是一道分式乘除混合运算题，解题时需遵循两个核心规则：第一，乘除属于同级运算，要严格按照从左到右的顺序计算，不能跳步先计算后项的乘法；第二，遇到除法要先转化为乘法，即除以一个不为0的分式等于乘这个分式的倒数，转化为乘法运算后再对分子分母约分得到最简结果，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：先将除法统一为乘法运算，再按从左到右的顺序计算：
$\begin{aligned}\frac{y}{x} ÷ \frac{y}{2} · \frac{2}{y}&=\frac{y}{x} × \frac{2}{y} × \frac{2}{y}\\&=\frac{y×2×2}{x×y×y}\\&=\frac{4y}{xy^2}\\&=\frac{4}{xy}\end{aligned}$
计算结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式乘除混合运算
2. 约分
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，易错点是忽略同级运算的顺序，误先计算后项$\frac{y}{2}·\frac{2}{y}=1$导致结果错误，只要熟练掌握分式乘除的运算规则，按步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.7
2. 计算$(\frac{2a}{b})^3$的结果是(
A
).答案
2. A
解析
【分析】
要计算分式的乘方结果，首先回忆分式乘方的运算规则：分式乘方时需要将分子、分母分别进行乘方运算；同时分子是单项式$2a$，计算它的乘方时要用到积的乘方法则，需将积里的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。先计算分子$(2a)^3$的结果，再计算分母$b^3$的结果，最后整理即可对应选出正确选项。
【解析】
根据分式乘方的运算法则$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$（$n$为正整数，$B\ne0$），可得：
$(\frac{2a}{b})^3=\frac{(2a)^3}{b^3}$
再根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$计算分子：
$(2a)^3=2^3· a^3=8a^3$
因此原式化简结果为$\frac{8a^3}{b^3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘方运算；积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式乘方的运算法则，解题时要注意不要遗漏系数的乘方，熟练掌握相关运算法则即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
要计算分式的乘方结果，首先回忆分式乘方的运算规则：分式乘方时需要将分子、分母分别进行乘方运算；同时分子是单项式$2a$，计算它的乘方时要用到积的乘方法则，需将积里的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。先计算分子$(2a)^3$的结果，再计算分母$b^3$的结果，最后整理即可对应选出正确选项。
【解析】
根据分式乘方的运算法则$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$（$n$为正整数，$B\ne0$），可得：
$(\frac{2a}{b})^3=\frac{(2a)^3}{b^3}$
再根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$计算分子：
$(2a)^3=2^3· a^3=8a^3$
因此原式化简结果为$\frac{8a^3}{b^3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘方运算；积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式乘方的运算法则，解题时要注意不要遗漏系数的乘方，熟练掌握相关运算法则即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3. 若$(-\dfrac{x^2}{my})^4 = \dfrac{x^8}{16y^4}$，则$m=$
±2
。答案
3. ±2
解析
【分析】
本题可先根据分式乘方、幂的乘方、积的乘方的运算法则化简等式左侧的式子，再将化简结果与等式右侧对比，得到关于m的方程，最后结合偶次幂的性质求解m的值即可。解题时注意偶次幂的底数互为相反数时，幂的结果相等，避免漏解。
【解析】
先化简等式左边的式子：
根据分式乘方法则：分式的乘方等于把分子、分母分别乘方，结合负数的偶次幂为正，可得：
$(-\dfrac{x^2}{my})^4=\dfrac{(x^2)^4}{(my)^4}$
再根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，计算分子：$(x^2)^4=x^{2×4}=x^8$
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$，计算分母：$(my)^4=m^4 y^4$
因此左边化简为：$\dfrac{x^8}{m^4 y^4}$
已知$\dfrac{x^8}{m^4 y^4}=\dfrac{x^8}{16y^4}$，两个分式分子相同且分式相等，因此分母相等，可得：
$m^4=16$
因为$(\pm2)^4=16$，所以$m=\pm2$
【答案】
$\pm2$
【知识点】
分式乘方运算；幂的乘方运算；偶次幂的性质
【点评】
本题侧重考查乘方相关运算法则的应用，难度不大，解题核心是熟练掌握各类乘方的运算规则，需要注意偶次幂的结果具有非负性，对应底数存在正负两种可能，做题时要避免遗漏负根。
【难度系数】
0.7
本题可先根据分式乘方、幂的乘方、积的乘方的运算法则化简等式左侧的式子，再将化简结果与等式右侧对比，得到关于m的方程，最后结合偶次幂的性质求解m的值即可。解题时注意偶次幂的底数互为相反数时，幂的结果相等，避免漏解。
【解析】
先化简等式左边的式子：
根据分式乘方法则：分式的乘方等于把分子、分母分别乘方，结合负数的偶次幂为正，可得：
$(-\dfrac{x^2}{my})^4=\dfrac{(x^2)^4}{(my)^4}$
再根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，计算分子：$(x^2)^4=x^{2×4}=x^8$
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$，计算分母：$(my)^4=m^4 y^4$
因此左边化简为：$\dfrac{x^8}{m^4 y^4}$
已知$\dfrac{x^8}{m^4 y^4}=\dfrac{x^8}{16y^4}$，两个分式分子相同且分式相等，因此分母相等，可得：
$m^4=16$
因为$(\pm2)^4=16$，所以$m=\pm2$
【答案】
$\pm2$
【知识点】
分式乘方运算；幂的乘方运算；偶次幂的性质
【点评】
本题侧重考查乘方相关运算法则的应用，难度不大，解题核心是熟练掌握各类乘方的运算规则，需要注意偶次幂的结果具有非负性，对应底数存在正负两种可能，做题时要避免遗漏负根。
【难度系数】
0.7
4. 计算：
(1) $(-\frac{x^2}{y})^2 · (-\frac{y^2}{x})^3 · (-\frac{1}{x})^4$；
(2) $4x^2y ÷ (\frac{2x}{-y})^2$；
(3) $(\frac{b^2}{ac})^3 ÷ (-b^6c)$；
(4) $\frac{16 - a^2}{a^2 + 8a + 16}$
$\frac{a - 4}{2a + 8} · \frac{a - 2}{a + 2}$；
(1) $(-\frac{x^2}{y})^2 · (-\frac{y^2}{x})^3 · (-\frac{1}{x})^4$；
(2) $4x^2y ÷ (\frac{2x}{-y})^2$；
(3) $(\frac{b^2}{ac})^3 ÷ (-b^6c)$；
(4) $\frac{16 - a^2}{a^2 + 8a + 16}$
$\frac{a - 4}{2a + 8} · \frac{a - 2}{a + 2}$；答案
4. 解（1）原式 = $\frac{x^4}{y^2} · (-\frac{y^6}{x^3}) · \frac{1}{x^4}=-\frac{y^4}{x^3}$.
(2)原式=$4x^2y · \frac{y^2}{4x^2}=y^3$.
(3)原式=$\frac{b^6}{a^3c^3} · \frac{1}{-b^6c}=-\frac{1}{a^3c^4}$.
(4) 原式 = $\frac{-(a+4)(a-4)}{(a+4)^2} · \frac{2(a+4)}{a-4} · \frac{a-2}{a+2}=-\frac{2a-4}{a+2}$.
(2)原式=$4x^2y · \frac{y^2}{4x^2}=y^3$.
(3)原式=$\frac{b^6}{a^3c^3} · \frac{1}{-b^6c}=-\frac{1}{a^3c^4}$.
(4) 原式 = $\frac{-(a+4)(a-4)}{(a+4)^2} · \frac{2(a+4)}{a-4} · \frac{a-2}{a+2}=-\frac{2a-4}{a+2}$.
解析
【分析】
解决分式的乘方、乘除混合运算问题，遵循以下思路：1.先处理乘方运算：按照分式乘方法则，分子、分母分别乘方，同时根据负数的奇偶次幂判断符号；2.将所有除法运算统一转化为乘法运算：除以一个分式等于乘这个分式的倒数；3.若分子或分母是多项式，优先对其因式分解，再约去分子分母的公因式；4.最后将剩余因式相乘，化简为最简结果。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算乘法：
原式 = $\frac{x^4}{y^2} · (-\frac{y^6}{x^3}) · \frac{1}{x^4}$
分子相乘得$-x^4y^6$，分母相乘得$x^7y^2$，约分后得$-\frac{y^4}{x^3}$。
(2) 先计算乘方，再将除法转为乘法计算：
原式 = $4x^2y ÷ \frac{4x^2}{y^2} = 4x^2y · \frac{y^2}{4x^2}$
约去公因式$4x^2$，计算得$y^3$。
(3) 先计算乘方，再将除法转为乘法计算：
原式 = $\frac{b^6}{a^3c^3} ÷ (-b^6c) = \frac{b^6}{a^3c^3} · \frac{1}{-b^6c}$
约去公因式$b^6$，分母合并得$a^3c^4$，最终得$-\frac{1}{a^3c^4}$。
(4) 先对多项式因式分解，再将除法转为乘法，最后约分计算：
因式分解得：$16-a^2=-(a+4)(a-4)$，$a^2+8a+16=(a+4)^2$，$2a+8=2(a+4)$；
原式 = $\frac{-(a+4)(a-4)}{(a+4)^2} · \frac{2(a+4)}{a-4} · \frac{a-2}{a+2}$
约去公因式$(a+4)$、$(a-4)$，计算得：$-\frac{2(a-2)}{a+2}=-\frac{2a-4}{a+2}$。
【答案】
(1) $\boxed{-\frac{y^4}{x^3}}$；(2) $\boxed{y^3}$；(3) $\boxed{-\frac{1}{a^3c^4}}$；(4) $\boxed{-\frac{2a-4}{a+2}}$
【知识点】
分式乘方运算，分式乘除运算，因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，重点考查运算顺序、符号判断、因式分解及约分的熟练度，计算时遵循先乘方再乘除、先化简再计算的原则，可有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
解决分式的乘方、乘除混合运算问题，遵循以下思路：1.先处理乘方运算：按照分式乘方法则，分子、分母分别乘方，同时根据负数的奇偶次幂判断符号；2.将所有除法运算统一转化为乘法运算：除以一个分式等于乘这个分式的倒数；3.若分子或分母是多项式，优先对其因式分解，再约去分子分母的公因式；4.最后将剩余因式相乘，化简为最简结果。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算乘法：
原式 = $\frac{x^4}{y^2} · (-\frac{y^6}{x^3}) · \frac{1}{x^4}$
分子相乘得$-x^4y^6$，分母相乘得$x^7y^2$，约分后得$-\frac{y^4}{x^3}$。
(2) 先计算乘方，再将除法转为乘法计算：
原式 = $4x^2y ÷ \frac{4x^2}{y^2} = 4x^2y · \frac{y^2}{4x^2}$
约去公因式$4x^2$，计算得$y^3$。
(3) 先计算乘方，再将除法转为乘法计算：
原式 = $\frac{b^6}{a^3c^3} ÷ (-b^6c) = \frac{b^6}{a^3c^3} · \frac{1}{-b^6c}$
约去公因式$b^6$，分母合并得$a^3c^4$，最终得$-\frac{1}{a^3c^4}$。
(4) 先对多项式因式分解，再将除法转为乘法，最后约分计算：
因式分解得：$16-a^2=-(a+4)(a-4)$，$a^2+8a+16=(a+4)^2$，$2a+8=2(a+4)$；
原式 = $\frac{-(a+4)(a-4)}{(a+4)^2} · \frac{2(a+4)}{a-4} · \frac{a-2}{a+2}$
约去公因式$(a+4)$、$(a-4)$，计算得：$-\frac{2(a-2)}{a+2}=-\frac{2a-4}{a+2}$。
【答案】
(1) $\boxed{-\frac{y^4}{x^3}}$；(2) $\boxed{y^3}$；(3) $\boxed{-\frac{1}{a^3c^4}}$；(4) $\boxed{-\frac{2a-4}{a+2}}$
【知识点】
分式乘方运算，分式乘除运算，因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，重点考查运算顺序、符号判断、因式分解及约分的熟练度，计算时遵循先乘方再乘除、先化简再计算的原则，可有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
5. 先化简,再求值:$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x+1}{x-1} · \frac{1-x}{1+x}$,其中$x=\frac{1}{2}$.
答案
5. 解 $\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}÷\frac{x+1}{x-1}·\frac{1-x}{1+x}$
$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}·\frac{x-1}{x+1}·\frac{-(x-1)}{x+1}$
$=\frac{1-x}{x+1}$.
当 $x=\frac{1}{2}$时，
原式=$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3}$.
$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}·\frac{x-1}{x+1}·\frac{-(x-1)}{x+1}$
$=\frac{1-x}{x+1}$.
当 $x=\frac{1}{2}$时，
原式=$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题可按两步进行：第一步化简分式，先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），再对各分式的分子、分母因式分解：$x^2-1$用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1$用完全平方公式分解为$(x-1)^2$，同时将$\frac{1-x}{1+x}$的分子变形为$-(x-1)$，方便后续统一约分，按照从左到右的运算顺序逐步约去分子分母的公因式，得到最简分式；第二步将$x=\frac{1}{2}$代入最简分式，计算出最终结果即可，运算中需注意符号变化，避免符号出错。
【解析】
解：$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x+1}{x-1} · \frac{1-x}{1+x}$
$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}·\frac{x-1}{x+1}·\frac{-(x-1)}{x+1}$
约分后得：$\frac{1-x}{x+1}$
当$x=\frac{1}{2}$时，
原式=$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 分式乘除运算
2. 因式分解
3. 分式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式乘除混合运算的规则和化简求值的方法，解题的关键点是正确对多项式因式分解，注意运算顺序和符号的正确处理，先化简再代入求值能有效减少计算量，降低错误率。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求值类题目，解题可按两步进行：第一步化简分式，先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），再对各分式的分子、分母因式分解：$x^2-1$用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1$用完全平方公式分解为$(x-1)^2$，同时将$\frac{1-x}{1+x}$的分子变形为$-(x-1)$，方便后续统一约分，按照从左到右的运算顺序逐步约去分子分母的公因式，得到最简分式；第二步将$x=\frac{1}{2}$代入最简分式，计算出最终结果即可，运算中需注意符号变化，避免符号出错。
【解析】
解：$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x+1}{x-1} · \frac{1-x}{1+x}$
$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}·\frac{x-1}{x+1}·\frac{-(x-1)}{x+1}$
约分后得：$\frac{1-x}{x+1}$
当$x=\frac{1}{2}$时，
原式=$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 分式乘除运算
2. 因式分解
3. 分式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式乘除混合运算的规则和化简求值的方法，解题的关键点是正确对多项式因式分解，注意运算顺序和符号的正确处理，先化简再代入求值能有效减少计算量，降低错误率。
【难度系数】
0.8
6.如图,将4张长、宽分别为$a$,$b$的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形.已知拼成的大正方形面积为49,中间的小正方形的面积为1.求$(a^4 - b^4) ÷ \frac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)$的值.
答案
6. 解 由题意,得$(a+b)^2=49,(a-b)^2=1,a＞0,b＞0,a＞b$,
$\therefore (a+b)^2-(a-b)^2=48,a+b=7$,
$\therefore a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=48$,
$\therefore ab=12$,
$\therefore 原式=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)·\frac{ab}{a^2+b^2}·\frac{1}{6(a-b)}=\frac{ab(a+b)}{6}=\frac{12×7}{6}=14$.
$\therefore (a+b)^2-(a-b)^2=48,a+b=7$,
$\therefore a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=48$,
$\therefore ab=12$,
$\therefore 原式=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)·\frac{ab}{a^2+b^2}·\frac{1}{6(a-b)}=\frac{ab(a+b)}{6}=\frac{12×7}{6}=14$.
解析
【分析】
解题时先从图形和已知面积条件入手，大正方形的边长为$a+b$，小正方形的边长为$a-b$，因此可先根据面积得到$(a+b)^2$和$(a-b)^2$的值，求出$a+b$、$ab$的数值；再对待求的代数式进行化简，将除法运算转化为乘法运算，对$a^4-b^4$因式分解后约分，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，大正方形面积为49，小正方形面积为1，且$a＞0,b＞0,a＞b$，
$\therefore (a+b)^2=49$，$(a-b)^2=1$，
$\therefore a+b=7$，
又$\because (a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab = 49-1=48$，
$\therefore ab=12$。
化简待求式：
$\begin{aligned}原式&=(a^4-b^4) × \frac{ab}{a^2+b^2} × \frac{1}{6a-6b}\\&=(a^2+b^2)(a+b)(a-b) × \frac{ab}{a^2+b^2} × \frac{1}{6(a-b)}\\&=\frac{ab(a+b)}{6}\end{aligned}$
将$ab=12,a+b=7$代入得：
原式$=\frac{12 × 7}{6}=14$。
【答案】
14
【知识点】
完全平方公式，因式分解，分式的乘除运算
【点评】
本题结合几何图形考查代数式的化简求值，需要学生结合图形特征得到代数关系，再通过因式分解、分式运算化简待求式，体现了数形结合的思想，同时也考查了学生的代数运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从图形和已知面积条件入手，大正方形的边长为$a+b$，小正方形的边长为$a-b$，因此可先根据面积得到$(a+b)^2$和$(a-b)^2$的值，求出$a+b$、$ab$的数值；再对待求的代数式进行化简，将除法运算转化为乘法运算，对$a^4-b^4$因式分解后约分，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，大正方形面积为49，小正方形面积为1，且$a＞0,b＞0,a＞b$，
$\therefore (a+b)^2=49$，$(a-b)^2=1$，
$\therefore a+b=7$，
又$\because (a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab = 49-1=48$，
$\therefore ab=12$。
化简待求式：
$\begin{aligned}原式&=(a^4-b^4) × \frac{ab}{a^2+b^2} × \frac{1}{6a-6b}\\&=(a^2+b^2)(a+b)(a-b) × \frac{ab}{a^2+b^2} × \frac{1}{6(a-b)}\\&=\frac{ab(a+b)}{6}\end{aligned}$
将$ab=12,a+b=7$代入得：
原式$=\frac{12 × 7}{6}=14$。
【答案】
14
【知识点】
完全平方公式，因式分解，分式的乘除运算
【点评】
本题结合几何图形考查代数式的化简求值，需要学生结合图形特征得到代数关系，再通过因式分解、分式运算化简待求式，体现了数形结合的思想，同时也考查了学生的代数运算能力。
【难度系数】
0.7
