22. (12分)如图,在同一平面内,$∠AOB=150°,∠COD=90°,OE$平分$∠BOD$.

(1)当$∠COD$的位置如图1所示时,若$∠COE=25°$,则$∠AOD=$;
(2)当$∠COD$的位置如图2所示时,若$∠AOE=90°$,则$∠AOD=$;
(3)当$∠COD$的位置如图3所示时,若$∠BOE=\frac{5}{2}∠AOC$,求$∠AOD$的度数.

(1) $\boldsymbol{20°}$；
(2) $\boldsymbol{30°}$；
(3) $\boldsymbol{60°}$。

解：
(1) 因为∠COD=90°，∠COE=25°，
所以∠DOE=∠COD - ∠COE=90°-25°=65°，
因为OE平分∠BOD，
所以∠BOD=2∠DOE=130°，
又因为∠AOB=150°，
所以∠AOD=∠AOB - ∠BOD=150°-130°=20°；
(2) 因为∠AOB=150°，∠AOE=90°，
所以∠BOE=∠AOB - ∠AOE=150°-90°=60°，
因为OE平分∠BOD，
所以∠BOD=2∠BOE=120°，
所以∠AOD=∠AOB - ∠BOD=150°-120°=30°；
(3) 设∠AOC=x，则∠BOE=$\frac{5}{2}$x，
因为OE平分∠BOD，
所以∠BOD=2∠BOE=5x，
因为∠AOB=150°，
所以∠BOC=∠AOB - ∠AOC=150°-x，
由点O处周角为360°，得：
∠BOC + ∠COD + ∠BOD = 360°，
代入得：$150° - x + 90° + 5x = 360°$，
解得：$x=30°$，即∠AOC=30°，
又因为∠COD=90°，且∠COD=∠AOC + ∠AOD，
所以∠AOD=90° - ∠AOC=90°-30°=60°。
答：∠AOD的度数为60°。
最终

23. (12分)如图,(1)∠AOB=60°,∠BOC=36°,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,则∠EOD=;
(2)若∠AOB=90°,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,则∠EOD=;
(3)若∠AOB=α,其他条件同(2),则∠EOD=.
类比应用:
如图,已知线段AB,C是线段AB上任一点,D,E分别是AC,CB的中点,试猜想DE与AB的数量关系为,并写出求解过程.

解：
(1) $\because ∠ AOB=60°$，$∠ BOC=36°$
$\therefore ∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 24°$
$\because OD$平分$∠ BOC$，$OE$平分$∠ AOC$
$\therefore ∠ DOC = \frac{1}{2}∠ BOC = 18°$，$∠ EOC = \frac{1}{2}∠ AOC = 12°$
$\therefore ∠ EOD = ∠ DOC + ∠ EOC = 30°$
(2) $\because OD$平分$∠ BOC$，$OE$平分$∠ AOC$
$\therefore ∠ DOC = \frac{1}{2}∠ BOC$，$∠ EOC = \frac{1}{2}∠ AOC$
$\therefore ∠ EOD = ∠ DOC + ∠ EOC = \frac{1}{2}(∠ BOC + ∠ AOC) = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×90° = 45°$
(3) 同理可得：
$∠ EOD = \frac{1}{2}(∠ BOC + ∠ AOC) = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{α}{2}$
类比应用：$DE=\frac{1}{2}AB$
求解过程：
$\because D$是$AC$的中点，$E$是$CB$的中点
$\therefore DC = \frac{1}{2}AC$，$CE = \frac{1}{2}CB$
$\therefore DE = DC + CE = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}CB = \frac{1}{2}(AC + CB)$
又$\because AC + CB = AB$
$\therefore DE = \frac{1}{2}AB$
最终答案依次为：$\boldsymbol{30°}$；$\boldsymbol{45°}$；$\boldsymbol{\frac{α}{2}}$；$\boldsymbol{DE=\frac{1}{2}AB}$。

24.(12分)如图,动点C从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿着线段AB向点B运动,当点C到达点B时停止运动.已知AB=60,点D是线段BC的中点,设点C的运动时间为t秒.
(1)当t=5时,求线段AC,BD的长.

(2)在运动过程中,若AC的中点为E.
①用含t的代数式表示线段AE,BD的长.
②请问线段DE的长度是否变化?若不变,求线段DE的长;若变化,说明理由.

解：
(1) 由题意得，点C的运动速度为每秒3个单位长度，
当$t=5$时，$AC = 3 × 5 = 15$。
$\because AB=60$，
$\therefore BC = AB - AC = 60 - 15 = 45$。
$\because$ 点D是线段BC的中点，
$\therefore BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 45 = 22.5$。
(2) ① 由题意得，$AC = 3t$，
$\because$ E是AC的中点，
$\therefore AE = \frac{1}{2}AC = \frac{3}{2}t$。
$\because BC = AB - AC = 60 - 3t$，点D是BC的中点，
$\therefore BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(60 - 3t) = 30 - \frac{3}{2}t$。
② 线段DE的长度不变化。
$\because DE = AB - AE - BD$，
代入表达式得：
$DE = 60 - \frac{3}{2}t - (30 - \frac{3}{2}t) = 60 - \frac{3}{2}t - 30 + \frac{3}{2}t = 30$。
$\therefore$ 线段DE的长为30，长度不发生变化。