22.(10分)如图,点C在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点.
(1)若AC=9 cm,CB=6 cm,求线段MN的长;
(2)若点C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a cm,其他条件不变,求线段MN的长.

解：
(1) 因为点M是AC的中点，
所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9=4.5\ \mathrm{cm}$。
因为点N是BC的中点，
所以$CN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
所以$MN=MC+CN=4.5+3=7.5\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为点M是AC的中点，
所以$MC=\frac{1}{2}AC$。
因为点N是BC的中点，
所以$CN=\frac{1}{2}CB$。
所以$MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}(AC+CB)$。
又因为$AC+CB=a\ \mathrm{cm}$，
所以$MN=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$。

23. (12分)某超市为清库存,以每件96元的价格销售甲、乙两种商品.已知销售一件甲商品盈利20%,销售一件乙商品亏损20%.
(1)甲商品每件进价为元,乙商品每件进价为元;
(2)若超市同时购进甲、乙两种商品共84件,总进价为7 600元,则购进甲、乙两种商品各多少件?
(3)在元旦期间,超市所有商品有优惠促销活动,方案如下:
①购买商品不超过400元,不优惠;
②购买商品超过400元,但不超过800元,按照售价的九折优惠;
③购买商品超过800元时,按照售价的八折优惠;
按照以上优惠条件,若小明一次性购买乙商品实际付款691.2元,则小明此次购买了多少件乙商品?

解：
(1) 设甲商品每件进价为$x$元，
由题意得：$(1+20\%)x=96$，
解得$x=80$。
设乙商品每件进价为$y$元，
由题意得：$(1-20\%)y=96$，
解得$y=120$。
故答案为：$\boldsymbol{80}$，$\boldsymbol{120}$。
(2) 设购进甲商品$m$件，则购进乙商品$(84-m)$件，
根据题意列方程：
$80m + 120(84 - m) = 7600$
展开得：$80m + 10080 - 120m = 7600$，
移项合并得：$-40m = -2480$，
解得：$m=62$，
乙商品数量为$84 - 62 = 22$件。
答：购进甲商品62件，乙商品22件。
(3) 分两种情况讨论：
① 若小明享受九折优惠，即总售价超过400元但不超过800元：
总售价为 $691.2 ÷ 0.9 = 768$ 元，
满足$400＜768≤800$，符合优惠条件，
购买乙商品数量为 $768 ÷ 96 = 8$ 件。
② 若小明享受八折优惠，即总售价超过800元：
总售价为 $691.2 ÷ 0.8 = 864$ 元，
满足$864＞800$，符合优惠条件，
购买乙商品数量为 $864 ÷ 96 = 9$ 件。
答：小明此次购买了8件或9件乙商品。

24.(12分)如图,数轴上有A,B,C三点,点A和点B相距20个单位长度且点A,B表示的有理数互为相反数,AC=40,数轴上有一动点P从点A出发,以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动,设运动时间为t秒(t＞0).

(1)点A表示的有理数是,点C表示的有理数是,点P表示的数是(用含t的代数式表示);
(2)求t为何值时,P,B两点之间相距10个单位长度;
(3)若点A,B,C与点P同时在数轴上运动,点A以1个单位长度/秒的速度向左运动,点B和点C分别以3个单位长度/秒和4个单位长度/秒的速度向右运动,是否存在常数m,使得$mAP+5BP-3CP$为一个定值,若存在,请求出m的值以及这个定值;若不存在,请说明理由.

(1)
点A表示的有理数是$\boldsymbol{-10}$，点C表示的有理数是$\boldsymbol{30}$，点P表示的数是$\boldsymbol{2t-10}$。
---
(2)
解：已知点B表示的有理数为$10$，点P表示的数为$2t-10$，
由P、B两点相距10个单位长度，得：
$|(2t-10)-10|=10$
即$|2t-20|=10$，
因此$2t-20=10$或$2t-20=-10$，
解得$t=15$或$t=5$。
答：当$t$为5秒或15秒时，P、B两点之间相距10个单位长度。
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(3)
解：运动$t$秒后：
点A表示的数为$-10-t$，点P表示的数为$2t-10$，点B表示的数为$10+3t$，点C表示的数为$30+4t$。
因此：
$AP=(2t-10)-(-10-t)=3t$，
$BP=(10+3t)-(2t-10)=t+20$，
$CP=(30+4t)-(2t-10)=2t+40$。
将上述结果代入$mAP+5BP-3CP$：
$\begin{aligned}m· 3t +5(t+20)-3(2t+40)&=3mt+5t+100-6t-120\\&=(3m-1)t-20\end{aligned}$
若该式为定值，则取值与$t$无关，因此$t$的系数必须为0：
$3m-1=0$
解得$m=\frac{1}{3}$，此时原式$=-20$，为定值。
答：存在常数$m$，$m$的值为$\frac{1}{3}$，对应的定值为$-20$。