12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$, D 是边 BC 的中点,连结 AD,点 E 在 AD 上,连结 CE、BE,且$∠ EBD=∠ BAD$.
(1) 求证: $CD^2 = AD · DE$;
(2) 若 $DE=3$, $AE=4$, 求 CE 的长.

12. (1) $\because ∠ BDE = ∠ ADB, ∠ EBD = ∠ BAD,\therefore △ BDE ∽ △ ADB. \therefore \frac{BD}{AD}=\frac{ED}{BD}. \because D$是边BC的中点,$\therefore BD = CD. \therefore \frac{CD}{AD}=\frac{ED}{CD}. \therefore CD^2 = AD · DE$
(2) $\because AE = 4, DE = 3$, 由(1)知, $CD^2 = AD · DE,\therefore CD^2 = (DE + AE)DE = 21. \because \frac{CD}{AD}=\frac{ED}{CD}, ∠ CDE = ∠ CDA,\therefore △ CDE ∽ △ ADC. \therefore ∠ CED = ∠ ACD = 90°. \therefore CE = \sqrt{CD^2 - DE^2} = \sqrt{21 - 3^2} = 2\sqrt{3}$

【分析】
（1）要证明等积式$CD^2 = AD · DE$，通常先将其转化为比例式$\frac{CD}{AD}=\frac{DE}{CD}$。已知D是BC中点，可得$BD=CD$，因此只需证明$BD^2=AD·DE$即可。观察图形，$△ BDE$和$△ ADB$有公共角$∠ BDE=∠ ADB$，题目又给出$∠ EBD=∠ BAD$，可先证这两个三角形相似，得到对应边成比例后替换$BD$为$CD$即可得证。
（2）先根据$AE$、$DE$的长度求出$AD$的总长，代入（1）的结论算出$CD^2$的值。再观察比例式$\frac{CD}{AD}=\frac{DE}{CD}$，结合公共角$∠ CDE=∠ ADC$，可证明$△ CDE ∽ △ ADC$，得到$∠ CED=∠ ACD=90°$，最后在直角$△ CDE$中用勾股定理即可求出$CE$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ BDE = ∠ ADB$（公共角），$∠ EBD = ∠ BAD$（已知），
$\therefore △ BDE ∽ △ ADB$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{ED}{BD}$（相似三角形对应边成比例），即$BD^2=AD·DE$。
$\because D$是边$BC$的中点，$\therefore BD = CD$，
$\therefore \frac{CD}{AD}=\frac{ED}{CD}$，$\therefore CD^2 = AD · DE$。
(2) 解：
$\because AE = 4$，$DE = 3$，$\therefore AD=AE+DE=4+3=7$，
由(1)知$CD^2 = AD · DE$，代入得$CD^2=7×3=21$。
$\because \frac{CD}{AD}=\frac{ED}{CD}$，$∠ CDE = ∠ CDA$（公共角），
$\therefore △ CDE ∽ △ ADC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ CED = ∠ ACD = 90°$（相似三角形对应角相等），
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得：
$CE = \sqrt{CD^2 - DE^2} = \sqrt{21 - 3^2} = \sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $CE$的长为$2\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，中点的定义
【点评】
本题是常见的几何综合题，解题的关键是掌握“等积式转比例式”的转化思路，结合公共角、等线段替换等条件证明三角形相似，再利用相似的性质和勾股定理求解线段长度，对逻辑推理能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.6

13. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,点F、E分别在线段BC、AC上,且∠AFC=∠DEA,AC=AD.
(1) 求证: $DE=AF$;
(2) 若$∠B=∠CDE$,求证: $AF^2=BF·CE$.

(1) $\because AD // BC,\therefore ∠ ACF = ∠ DAC. \because ∠ AFC = ∠ DEA, AC = AD,\therefore △ ACF ≌ △ DAE(\mathrm{AAS}). \therefore AF = DE$
(2) $∠ AFC = ∠ DEA. \therefore ∠ AFB = ∠ DEC. \because ∠ ABC = ∠ CDE,\therefore △ ABF ∽ △ CDE. \therefore \frac{AF}{CE}=\frac{BF}{DE}. \therefore AF · DE = BF · CE. \because AF = DE,\therefore AF^2 = BF · CE$

【分析】
(1) 要证明DE=AF，可通过证明两条边所在的三角形全等推导。首先由AD//BC可得内错角∠ACF=∠DAC，结合已知∠AFC=∠DEA、AC=AD的条件，可利用AAS判定△ACF≌△DAE，即可得到对应边AF=DE。
(2) 要证明等积式$AF^2=BF·CE$，通常先转化为比例式分析，结合(1)的结论AF=DE，只需证明$\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{AF}$，即证△ABF∽△CDE。首先由∠AFC=∠DEA可得二者的邻补角相等，即∠AFB=∠DEC，再结合已知∠B=∠CDE，即可判定两个三角形相似，得到对应边成比例后将DE替换为AF，即可推导出待证结论。
【解析】
(1) 证明：$\because AD // BC,\therefore ∠ ACF = ∠ DAC$。
在$△ ACF$和$△ DAE$中：
$\begin{cases}∠ AFC = ∠ DEA \\∠ ACF = ∠ DAE \\AC = AD\end{cases}$
$\therefore △ ACF ≌ △ DAE(\mathrm{AAS})$，$\therefore AF = DE$。
(2) 证明：$\because ∠ AFC = ∠ DEA$，$\therefore 180°-∠ AFC = 180°-∠ DEA$，即$∠ AFB = ∠ DEC$。
在$△ ABF$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ AFB = ∠ DEC \\∠ B = ∠ CDE\end{cases}$
$\therefore △ ABF ∽ △ CDE$，$\therefore \frac{AF}{CE}=\frac{BF}{DE}$，即$AF · DE = BF · CE$。
$\because$ 由(1)得$AF = DE$，$\therefore AF^2 = BF · CE$。
【答案】
(1) $DE=AF$，证明成立；
(2) $AF^2=BF·CE$，证明成立。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是结合已知条件找准三角形全等、相似的判定条件，将待证的边的关系转化为三角形全等或相似问题求解，能够较好地考查学生对三角形相关性质的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65

14. 如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的中线,点E在AD上(不与点A、D重合),连结BE、CE,并延长CE交AB于点F,$∠ DCE=∠ DAC$.
(1) 求证:$△ DBE ∽ △ DAB$;
(2) 当$∠ BED=∠ ACF$时,求证:$AC^{2}=AB · AE$.

(1) $\because AD$ 是边 BC 上的中线, $\therefore BD = CD. \because ∠ DCE = ∠ DAC, ∠ CDE = ∠ ADC,\therefore △ CDE ∽ △ ADC. \therefore \frac{ED}{CD}=\frac{CD}{DA}. \therefore \frac{ED}{BD}=\frac{BD}{AD}. \because ∠ BDE = ∠ ADB,\therefore △ DBE ∽ △ DAB$
(2) $\because △ DBE ∽ △ DAB,\therefore ∠ BED = ∠ ABD. \because ∠ BED = ∠ ACF,\therefore ∠ ABD = ∠ ACF$, 即 $∠ ABC = ∠ ACF. \because ∠ BAC = ∠ CAF,\therefore △ BAC ∽ △ CAF. \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AF}. \because ∠ ABC = ∠ ACF, ∠ DCE = ∠ DAC,\therefore ∠ AFE = ∠ ABC + ∠ DCE = ∠ ACF + ∠ DAC = ∠ AEF. \therefore AF = AE. \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AE}$,即 $AC^2 = AB · AE$

【分析】
(1) 要证$△DBE ∽ △DAB$，已知两三角形有公共角$∠BDE=∠ADB$，只需证明公共角的两边对应成比例即可。首先由AD是BC中线得$BD=CD$，结合已知$∠DCE=∠DAC$和公共角$∠CDE=∠ADC$，可证$△CDE∽△ADC$，得到边的比例关系，将CD替换为BD即可得到所需比例，进而证明相似。
(2) 要证$AC^2=AB·AE$，可转化为证明比例式$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AE}$。首先由(1)的相似结论得$∠BED=∠ABD$，结合已知$∠BED=∠ACF$可得$∠ABC=∠ACF$，结合公共角$∠BAC$可证$△BAC∽△CAF$，得到比例式$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AF}$，再利用三角形外角性质和已知角的关系证明$∠AFE=∠AEF$，得$AF=AE$，替换后即可推导出结论。
【解析】
(1) $\because AD$ 是边 $BC$ 上的中线，$\therefore BD = CD$.
$\because ∠DCE = ∠DAC$，$∠CDE = ∠ADC$，
$\therefore △CDE ∽ △ADC$，
$\therefore \frac{ED}{CD}=\frac{CD}{DA}$，
$\therefore \frac{ED}{BD}=\frac{BD}{AD}$.
又 $\because ∠BDE = ∠ADB$，
$\therefore △DBE ∽ △DAB$.
(2) $\because △DBE ∽ △DAB$，
$\therefore ∠BED = ∠ABD$.
$\because ∠BED = ∠ACF$，
$\therefore ∠ABD = ∠ACF$，即 $∠ABC = ∠ACF$.
又 $\because ∠BAC = ∠CAF$，
$\therefore △BAC ∽ △CAF$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AF}$.
$\because ∠AFE = ∠ABC + ∠DCE$，$∠AEF = ∠ACF + ∠DAC$，且 $∠ABC = ∠ACF$，$∠DCE = ∠DAC$，
$\therefore ∠AFE = ∠AEF$，
$\therefore AF = AE$.
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AE}$，即 $AC^2 = AB · AE$.
【答案】
(1) 已证$△DBE ∽ △DAB$；
(2) 已证$AC^2 = AB · AE$.
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形外角性质
【点评】
本题属于相似三角形的综合应用类题目，解题时要注意前后小问的关联性，第一问的结论是第二问推导的重要基础，同时要掌握将等积式转化为比例式的常见证明思路，结合角的等量代换即可逐步推导得到结果。
【难度系数】
0.6