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2. 如图3,正方形ABCD的边长为4,剪去四个角后成为一个正八边形,求这个正八边形的边长和面积. 
答案
边长为$4\sqrt{2}-4$,面积为$32\sqrt{2}-32$
解析
【分析】
要解决本题，首先结合正八边形各边相等的性质，可判断出剪去的四个角是全等的等腰直角三角形。我们通过设未知数建立方程求解：先设等腰直角三角形的直角边长为$x$，由勾股定理可得其斜边（即正八边形的边长）为$\sqrt{2}x$；再根据正方形的边长等于两个直角边长加正八边形的边长，列方程求出$x$，即可得到正八边形的边长；最后用正方形面积减去四个等腰直角三角形的总面积，就能算出正八边形的面积。
【解析】
解：设剪去的全等等腰直角三角形的直角边长为$x$。
∵ 正八边形各边相等，
∴ 正八边形的边长等于等腰直角三角形的斜边长，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{2}x$。
∵ 正方形$ABCD$的边长为4，
∴ $x + \sqrt{2}x + x = 4$，
整理得 $x(2+\sqrt{2})=4$，
解得 $x=\frac{4}{2+\sqrt{2}}=\frac{4(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=4-2\sqrt{2}$。
① 正八边形的边长：
$\sqrt{2}x=\sqrt{2}×(4-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}-4$。
② 正八边形的面积：
正方形面积为 $4×4=16$，
四个等腰直角三角形的总面积为 $4×\frac{1}{2}x^2=2x^2$，
代入$x=4-2\sqrt{2}$，得$x^2=(4-2\sqrt{2})^2=24-16\sqrt{2}$，
∴ 四个三角形总面积为 $2×(24-16\sqrt{2})=48-32\sqrt{2}$，
∴ 正八边形面积为 $16-(48-32\sqrt{2})=32\sqrt{2}-32$。
【答案】
正八边形的边长为$4\sqrt{2}-4$，面积为$32\sqrt{2}-32$
【知识点】
正多边形的性质、等腰直角三角形性质、二次根式运算
【点评】
本题将正多边形和正方形结合考查，核心是利用正八边形各边相等的性质找到边长的等量关系，通过设未知数列方程的方法求解，解题过程需要熟练掌握二次根式的化简运算技巧。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先结合正八边形各边相等的性质，可判断出剪去的四个角是全等的等腰直角三角形。我们通过设未知数建立方程求解：先设等腰直角三角形的直角边长为$x$，由勾股定理可得其斜边（即正八边形的边长）为$\sqrt{2}x$；再根据正方形的边长等于两个直角边长加正八边形的边长，列方程求出$x$，即可得到正八边形的边长；最后用正方形面积减去四个等腰直角三角形的总面积，就能算出正八边形的面积。
【解析】
解：设剪去的全等等腰直角三角形的直角边长为$x$。
∵ 正八边形各边相等，
∴ 正八边形的边长等于等腰直角三角形的斜边长，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{2}x$。
∵ 正方形$ABCD$的边长为4，
∴ $x + \sqrt{2}x + x = 4$，
整理得 $x(2+\sqrt{2})=4$，
解得 $x=\frac{4}{2+\sqrt{2}}=\frac{4(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=4-2\sqrt{2}$。
① 正八边形的边长：
$\sqrt{2}x=\sqrt{2}×(4-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}-4$。
② 正八边形的面积：
正方形面积为 $4×4=16$，
四个等腰直角三角形的总面积为 $4×\frac{1}{2}x^2=2x^2$，
代入$x=4-2\sqrt{2}$，得$x^2=(4-2\sqrt{2})^2=24-16\sqrt{2}$，
∴ 四个三角形总面积为 $2×(24-16\sqrt{2})=48-32\sqrt{2}$，
∴ 正八边形面积为 $16-(48-32\sqrt{2})=32\sqrt{2}-32$。
【答案】
正八边形的边长为$4\sqrt{2}-4$，面积为$32\sqrt{2}-32$
【知识点】
正多边形的性质、等腰直角三角形性质、二次根式运算
【点评】
本题将正多边形和正方形结合考查，核心是利用正八边形各边相等的性质找到边长的等量关系，通过设未知数列方程的方法求解，解题过程需要熟练掌握二次根式的化简运算技巧。
【难度系数】
0.6
3. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积. 如图4，若用圆的内接正十二边形的面积$S_1$来近似估计$\odot O$的面积$S$，设$\odot O$的半径为1，则$(S - S_1)$的值是多少？($π$取3.14)
答案
3. $\because \odot O$的半径为1, $\therefore \odot O$的面积$S=3.14$,
$\therefore$ 圆的内接正十二边形的中心角为:$\frac{360°}{12}=30°$, $\therefore$ 圆的内接正十二边形的面积$S_1=12×\frac{1}{2}×1×1×\sin30°=3$, $\therefore S-S_1=0.14$.
$\therefore$ 圆的内接正十二边形的中心角为:$\frac{360°}{12}=30°$, $\therefore$ 圆的内接正十二边形的面积$S_1=12×\frac{1}{2}×1×1×\sin30°=3$, $\therefore S-S_1=0.14$.
解析
【分析】
要计算$S-S_1$，需分别求出圆的面积$S$和内接正十二边形的面积$S_1$。首先已知圆的半径为1，直接用圆的面积公式即可求出$S$；再计算正十二边形的面积，正$n$边形可以分割为$n$个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长等于圆的半径，顶角为正多边形的中心角，即$360°$除以边数12，求出单个等腰三角形的面积后乘12就能得到$S_1$，最后将两个面积作差即可得到结果。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=1$：
1. 计算圆的面积$S$：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入$r=1$、$π=3.14$，得：
$S=3.14×1^2=3.14$
2. 计算内接正十二边形的面积$S_1$：
正十二边形的中心角为$\frac{360°}{12}=30°$，
正十二边形可分割为12个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均为1，顶角为$30°$，
单个等腰三角形的面积为$\frac{1}{2}×1×1×\sin30°=\frac{1}{4}$，
因此正十二边形的面积$S_1=12×\frac{1}{4}=3$
3. 计算面积差：
$S-S_1=3.14-3=0.14$
【答案】
$0.14$
【知识点】
圆的面积计算；正多边形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题以我国古代“割圆术”为背景，考查正多边形与圆的相关计算，解题核心是掌握将正多边形拆分为若干等腰三角形求面积的方法，既渗透了传统数学文化，也考查了基础运算能力。
【难度系数】
0.8
要计算$S-S_1$，需分别求出圆的面积$S$和内接正十二边形的面积$S_1$。首先已知圆的半径为1，直接用圆的面积公式即可求出$S$；再计算正十二边形的面积，正$n$边形可以分割为$n$个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长等于圆的半径，顶角为正多边形的中心角，即$360°$除以边数12，求出单个等腰三角形的面积后乘12就能得到$S_1$，最后将两个面积作差即可得到结果。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=1$：
1. 计算圆的面积$S$：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入$r=1$、$π=3.14$，得：
$S=3.14×1^2=3.14$
2. 计算内接正十二边形的面积$S_1$：
正十二边形的中心角为$\frac{360°}{12}=30°$，
正十二边形可分割为12个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均为1，顶角为$30°$，
单个等腰三角形的面积为$\frac{1}{2}×1×1×\sin30°=\frac{1}{4}$，
因此正十二边形的面积$S_1=12×\frac{1}{4}=3$
3. 计算面积差：
$S-S_1=3.14-3=0.14$
【答案】
$0.14$
【知识点】
圆的面积计算；正多边形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题以我国古代“割圆术”为背景，考查正多边形与圆的相关计算，解题核心是掌握将正多边形拆分为若干等腰三角形求面积的方法，既渗透了传统数学文化，也考查了基础运算能力。
【难度系数】
0.8
