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一、选择题
1. 某奶茶店推出一款新饮品，成本为每杯10元，市场调研发现:若定价为每杯$x$元$(x＞10)$，每天可售出$(80-2x)$杯该新饮品，奶茶店要使每天的利润最大，则应定价为(
A.20元
B.22.5元
C.25元
D.30元
1. 某奶茶店推出一款新饮品，成本为每杯10元，市场调研发现:若定价为每杯$x$元$(x＞10)$，每天可售出$(80-2x)$杯该新饮品，奶茶店要使每天的利润最大，则应定价为(
C
)A.20元
B.22.5元
C.25元
D.30元
答案
1. C
解析
【分析】
解决本题首先要明确利润问题的基本等量关系：总利润=单杯利润×销售量。首先根据题意用含x的式子表示单杯利润，结合给出的销售量列出利润关于定价x的函数表达式，发现是二次函数后，根据二次函数的最值性质，结合自变量的实际取值范围即可求出利润最大时的定价。
【解析】
设奶茶店每天销售该饮品的利润为y元。
已知每杯成本为10元，定价为x元，因此单杯利润为$(x-10)$元，每天销售量为$(80-2x)$杯，根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}y&=(x-10)(80-2x)\\&=-2x^2+100x-800\end{aligned}$
由实际意义可知：$\begin{cases}x＞10 \\80-2x＞0 \end{cases}$，解得$10＜x＜40$。
该二次函数中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2,b=100$得：
$x=-\frac{100}{2×(-2)}=25$
25在$10＜x＜40$的取值范围内，符合实际意义，因此定价为25元时每天利润最大。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；利润问题计算；二次函数最值求解
【点评】
本题结合生活实际考查优化问题，解题关键是正确建立二次函数模型，同时要注意验证所求的自变量取值是否符合实际意义，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确利润问题的基本等量关系：总利润=单杯利润×销售量。首先根据题意用含x的式子表示单杯利润，结合给出的销售量列出利润关于定价x的函数表达式，发现是二次函数后，根据二次函数的最值性质，结合自变量的实际取值范围即可求出利润最大时的定价。
【解析】
设奶茶店每天销售该饮品的利润为y元。
已知每杯成本为10元，定价为x元，因此单杯利润为$(x-10)$元，每天销售量为$(80-2x)$杯，根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}y&=(x-10)(80-2x)\\&=-2x^2+100x-800\end{aligned}$
由实际意义可知：$\begin{cases}x＞10 \\80-2x＞0 \end{cases}$，解得$10＜x＜40$。
该二次函数中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2,b=100$得：
$x=-\frac{100}{2×(-2)}=25$
25在$10＜x＜40$的取值范围内，符合实际意义，因此定价为25元时每天利润最大。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；利润问题计算；二次函数最值求解
【点评】
本题结合生活实际考查优化问题，解题关键是正确建立二次函数模型，同时要注意验证所求的自变量取值是否符合实际意义，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
2. 已知矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则圆柱的侧面积最大值为（
A.90π
B.144π
C.160π
D.162π
D
）A.90π
B.144π
C.160π
D.162π
答案
2. D
解析
【分析】
解题思路可分三步推进：1. 先明确矩形旋转成圆柱的参数对应关系：矩形绕某条边旋转时，被绕的边是圆柱的高，相邻的另一条边是圆柱的底面半径；2. 结合矩形周长条件，设其中一边长为x，用周长公式表示出邻边的长度；3. 代入圆柱侧面积公式写出侧面积关于x的表达式，该表达式为二次函数，利用二次函数求最值的方法即可算出侧面积的最大值。
【解析】
解：设矩形的一边长为$ x\ \mathrm{cm} $，已知矩形周长为36 cm，可得其邻边长为$ 36÷2 - x = (18 - x)\ \mathrm{cm} $。
若绕长为$ x $的边旋转形成圆柱，则圆柱的高$ h = x\ \mathrm{cm} $，底面半径$ r = (18 - x)\ \mathrm{cm} $。
根据圆柱侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}} = 2π rh $，代入参数得：
$ S = 2π · (18 - x) · x = 2π(-x^2 + 18x) $
该二次函数中$ a=-1＜0 $，图像开口向下，存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{18}{2×(-1)} = 9 $时，$ S $取得最大值：
$ S_{\mathrm{max}} = 2π×(-9^2 + 18×9) = 2π×81 = 162π\ (\mathrm{cm}^2) $
因此圆柱侧面积最大值为$ 162π $。
【答案】
D
【知识点】
矩形周长计算，圆柱侧面积公式，二次函数最值应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型优化问题，解题核心是准确找到矩形旋转后各边与圆柱参数的对应关系，正确列出侧面积的函数表达式，再结合二次函数性质求解即可，可有效考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步推进：1. 先明确矩形旋转成圆柱的参数对应关系：矩形绕某条边旋转时，被绕的边是圆柱的高，相邻的另一条边是圆柱的底面半径；2. 结合矩形周长条件，设其中一边长为x，用周长公式表示出邻边的长度；3. 代入圆柱侧面积公式写出侧面积关于x的表达式，该表达式为二次函数，利用二次函数求最值的方法即可算出侧面积的最大值。
【解析】
解：设矩形的一边长为$ x\ \mathrm{cm} $，已知矩形周长为36 cm，可得其邻边长为$ 36÷2 - x = (18 - x)\ \mathrm{cm} $。
若绕长为$ x $的边旋转形成圆柱，则圆柱的高$ h = x\ \mathrm{cm} $，底面半径$ r = (18 - x)\ \mathrm{cm} $。
根据圆柱侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}} = 2π rh $，代入参数得：
$ S = 2π · (18 - x) · x = 2π(-x^2 + 18x) $
该二次函数中$ a=-1＜0 $，图像开口向下，存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{18}{2×(-1)} = 9 $时，$ S $取得最大值：
$ S_{\mathrm{max}} = 2π×(-9^2 + 18×9) = 2π×81 = 162π\ (\mathrm{cm}^2) $
因此圆柱侧面积最大值为$ 162π $。
【答案】
D
【知识点】
矩形周长计算，圆柱侧面积公式，二次函数最值应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型优化问题，解题核心是准确找到矩形旋转后各边与圆柱参数的对应关系，正确列出侧面积的函数表达式，再结合二次函数性质求解即可，可有效考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 如图1，利用一面墙(墙的长度不限)，用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是
1. 如图1，利用一面墙(墙的长度不限)，用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是
50m²
.答案
1. 50m²
解析
【分析】
首先明确篱笆仅需围矩形的3条边，与墙平行的边无需篱笆。我们可以先设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，根据总篱笆长度可推出平行于墙的边长为$ (20-2x) \, \mathrm{m} $，再结合矩形面积公式得到面积关于$ x $的二次函数，最后利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质求解即可，注意要保证边长为正，确定$ x $的合理取值范围。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，菜园的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由题意可知，平行于墙的边长为$ (20-2x) \, \mathrm{m} $，且边长需满足$ \begin{cases} x＞0 \\ 20-2x＞0 \end{cases} $，即$ 0＜x＜10 $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(20-2x) $
整理得二次函数：$ S = -2x^2 + 20x $
其中$ a=-2＜0 $，抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-2,b=20 $得：
$ x=-\frac{20}{2×(-2)} = 5 $，符合$ 0＜x＜10 $的取值范围。
将$ x=5 $代入面积公式：
$ S = -2×5^2 + 20×5 = 50 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
$ 50\,\mathrm{m}^2 $
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题属于生活常见的优化类问题，解题核心是正确结合题意列出面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
首先明确篱笆仅需围矩形的3条边，与墙平行的边无需篱笆。我们可以先设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，根据总篱笆长度可推出平行于墙的边长为$ (20-2x) \, \mathrm{m} $，再结合矩形面积公式得到面积关于$ x $的二次函数，最后利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质求解即可，注意要保证边长为正，确定$ x $的合理取值范围。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，菜园的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由题意可知，平行于墙的边长为$ (20-2x) \, \mathrm{m} $，且边长需满足$ \begin{cases} x＞0 \\ 20-2x＞0 \end{cases} $，即$ 0＜x＜10 $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(20-2x) $
整理得二次函数：$ S = -2x^2 + 20x $
其中$ a=-2＜0 $，抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-2,b=20 $得：
$ x=-\frac{20}{2×(-2)} = 5 $，符合$ 0＜x＜10 $的取值范围。
将$ x=5 $代入面积公式：
$ S = -2×5^2 + 20×5 = 50 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
$ 50\,\mathrm{m}^2 $
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题属于生活常见的优化类问题，解题核心是正确结合题意列出面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
2. 某手机运营商推出两种套餐：
套餐A:月租18元,含300分钟通话时间,超出部分另收0.2元/分钟；
套餐B:月租38元,含400分钟通话时间,超出部分另收0.15元/分钟.
若小王每月通话时间为t分钟,则当t＞
套餐A:月租18元,含300分钟通话时间,超出部分另收0.2元/分钟；
套餐B:月租38元,含400分钟通话时间,超出部分另收0.15元/分钟.
若小王每月通话时间为t分钟,则当t＞
400
时,选择套餐B比选择套餐A更划算.答案
2. 400
解析
【分析】要判断套餐B比套餐A更划算的通话时长范围，需分不同的通话时长区间，分别计算两种套餐的费用，再列不等式比较求解。首先按套餐包含的通话时长划分区间：$t≤300$、$300＜t≤400$、$t＞400$，逐段比较两种套餐费用的大小，最终确定符合要求的$t$的范围。
【解析】分三种情况讨论：
1. 当$t≤300$时：
套餐A费用为18元，套餐B费用为38元，$18＜38$，套餐A更划算，不符合要求。
2. 当$300＜t≤400$时：
套餐A费用：$y_A=18+0.2(t-300)=0.2t-42$
套餐B费用：$y_B=38$
若套餐B更划算，则$y_A＞y_B$，即$0.2t-42＞38$，解得$t＞400$，与$300＜t≤400$矛盾，该区间无符合条件的$t$。
3. 当$t＞400$时：
套餐A费用：$y_A=18+0.2(t-300)=0.2t-42$
套餐B费用：$y_B=38+0.15(t-400)=0.15t-22$
若套餐B更划算，则$y_A＞y_B$，即：
$0.2t-42＞0.15t-22$
移项得$0.05t＞20$，解得$t＞400$，符合该区间范围。
验证$t=400$时，$y_A=18+0.2×100=38=y_B$，两者费用相同，因此只有$t＞400$时套餐B更划算。
【答案】400
【知识点】一元一次不等式的应用；方案优化问题；分段计费问题
【点评】本题结合生活中的套餐选择问题，考查分段计费和不等式的应用，解题的关键是合理划分时长区间，分段计算费用后比较大小，注意不要漏算临界值的费用对比。
【难度系数】0.65
【解析】分三种情况讨论：
1. 当$t≤300$时：
套餐A费用为18元，套餐B费用为38元，$18＜38$，套餐A更划算，不符合要求。
2. 当$300＜t≤400$时：
套餐A费用：$y_A=18+0.2(t-300)=0.2t-42$
套餐B费用：$y_B=38$
若套餐B更划算，则$y_A＞y_B$，即$0.2t-42＞38$，解得$t＞400$，与$300＜t≤400$矛盾，该区间无符合条件的$t$。
3. 当$t＞400$时：
套餐A费用：$y_A=18+0.2(t-300)=0.2t-42$
套餐B费用：$y_B=38+0.15(t-400)=0.15t-22$
若套餐B更划算，则$y_A＞y_B$，即：
$0.2t-42＞0.15t-22$
移项得$0.05t＞20$，解得$t＞400$，符合该区间范围。
验证$t=400$时，$y_A=18+0.2×100=38=y_B$，两者费用相同，因此只有$t＞400$时套餐B更划算。
【答案】400
【知识点】一元一次不等式的应用；方案优化问题；分段计费问题
【点评】本题结合生活中的套餐选择问题，考查分段计费和不等式的应用，解题的关键是合理划分时长区间，分段计算费用后比较大小，注意不要漏算临界值的费用对比。
【难度系数】0.65
三、综合与实践
学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙(墙的长度不限)，其余部分用总长为60 m的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙(墙的长度不限)，其余部分用总长为60 m的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
答案
(1) 设与墙垂直的边的长度为x m,则与墙平行的边的长度为(60-2x)m,根据题意得x(60-2x)=450,解得$x_1=x_2=15$. 即:与墙垂直的边的长度为15米.
(2) 设与墙平行的边的长度为t m,花圃的面积为S m²,根据题意得$S=\frac{1}{3}t(66-t)=-\frac{1}{3}t^2+22t$, $\therefore S=-\frac{1}{3}(t-33)^2+363$. $\because -\frac{1}{3}＜0$, $\therefore$ 当t=33时,S有最大值363. 即:当与墙平行的边的长度为33米时,花圃的面积最大.
(2) 设与墙平行的边的长度为t m,花圃的面积为S m²,根据题意得$S=\frac{1}{3}t(66-t)=-\frac{1}{3}t^2+22t$, $\therefore S=-\frac{1}{3}(t-33)^2+363$. $\because -\frac{1}{3}＜0$, $\therefore$ 当t=33时,S有最大值363. 即:当与墙平行的边的长度为33米时,花圃的面积最大.
解析
【分析】
(1) 求解方案一的垂直墙边长时，我们先设与墙垂直的边长为x m，由于靠墙侧无需栅栏，总栅栏长60m，因此与墙平行的边长可表示为(60-2x)m，再结合矩形面积=长×宽的等量关系，已知面积为450㎡，列出一元二次方程求解即可，注意结果要符合实际意义。
(2) 求解方案二面积最大时的平行墙边长，我们先设与墙平行的边长为t m，首先理清栅栏构成：方案二共有3条垂直于墙的栅栏（两侧各1条、中间分隔1条），且两侧各有3m进出口不用栅栏，相当于总栅栏长度加上两个进出口的长度，等于3条垂直边长加平行墙的边长，由此可表示出垂直于墙的边长，再结合面积公式写出面积关于t的二次函数，根据二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，即可求出对应边长。
【解析】
(1) 设方案一中与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为(60-2x)m。
根据题意列方程：
$x(60-2x)=450$
整理得$x^2-30x+225=0$，即$(x-15)^2=0$
解得$x_1=x_2=15$，符合实际意义。
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m²。
3条垂直于墙的栅栏总长度为$60+3×2 - t=66-t$，因此每条垂直边长度为$\frac{66-t}{3}$m。
根据面积公式得：
$S=\frac{1}{3}t(66-t)=-\frac{1}{3}t^2+22t$
配方得：$S=-\frac{1}{3}(t-33)^2+363$
$\because -\frac{1}{3}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当t=33时，S取得最大值，符合实际意义。
【答案】
(1) 与墙垂直的边的长度为15米；
(2) 要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为33米。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际设计场景，考查了方程与函数的实际应用，解题核心是准确梳理两种方案里栅栏长度和矩形边长的对应关系，正确列出方程和函数表达式，求解后要注意验证结果是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
(1) 求解方案一的垂直墙边长时，我们先设与墙垂直的边长为x m，由于靠墙侧无需栅栏，总栅栏长60m，因此与墙平行的边长可表示为(60-2x)m，再结合矩形面积=长×宽的等量关系，已知面积为450㎡，列出一元二次方程求解即可，注意结果要符合实际意义。
(2) 求解方案二面积最大时的平行墙边长，我们先设与墙平行的边长为t m，首先理清栅栏构成：方案二共有3条垂直于墙的栅栏（两侧各1条、中间分隔1条），且两侧各有3m进出口不用栅栏，相当于总栅栏长度加上两个进出口的长度，等于3条垂直边长加平行墙的边长，由此可表示出垂直于墙的边长，再结合面积公式写出面积关于t的二次函数，根据二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，即可求出对应边长。
【解析】
(1) 设方案一中与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为(60-2x)m。
根据题意列方程：
$x(60-2x)=450$
整理得$x^2-30x+225=0$，即$(x-15)^2=0$
解得$x_1=x_2=15$，符合实际意义。
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m²。
3条垂直于墙的栅栏总长度为$60+3×2 - t=66-t$，因此每条垂直边长度为$\frac{66-t}{3}$m。
根据面积公式得：
$S=\frac{1}{3}t(66-t)=-\frac{1}{3}t^2+22t$
配方得：$S=-\frac{1}{3}(t-33)^2+363$
$\because -\frac{1}{3}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当t=33时，S取得最大值，符合实际意义。
【答案】
(1) 与墙垂直的边的长度为15米；
(2) 要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为33米。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际设计场景，考查了方程与函数的实际应用，解题核心是准确梳理两种方案里栅栏长度和矩形边长的对应关系，正确列出方程和函数表达式，求解后要注意验证结果是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
