登录
6. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E,F在AD边上,BF和CE交于点G。若EF = $\frac{1}{2}AD$,则图中阴影部分的面积为(
A.25
B.30
C.35
D.40
C
)。A.25
B.30
C.35
D.40
答案
6. C
【解析】如图,过点G作$GN⊥AD$于点N,延长NG交BC于点M。
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ $AD = BC$,$AD// BC$。
∵ $EF = \frac{1}{2} AD$,
∴ $EF = \frac{1}{2} BC$。
∵ $AD// BC$,$NG⊥AD$,
∴ $△EFG ∽ △CBG$,$GM ⊥ BC$,
∴ $GN : GM = EF : BC = 1 : 2$。又
∵ $MN = AB = 6$,
∴ $GN = 2$,$GM = 4$,
∴ $S_{△BCG} = \frac{1}{2} × 10 × 4 = 20$,$S_{△EFG} = \frac{1}{2} × 5 × 2 = 5$。
∵ $S_{矩形ABCD} = 6 × 10 = 60$,
∴ $S_{阴影} = 60 - 20 - 5 = 35$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可采用转化法，将不规则阴影面积转化为矩形总面积减去两个空白三角形△EFG、△BCG的面积求解。首先根据矩形对边平行且相等的性质，可得EF//BC，可证△EFG∽△CBG；结合EF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，可知两三角形相似比为1:2，对应高的比也为1:2；又两个三角形的高之和等于矩形的边长AB=6，可求出两个三角形的高，进而计算两个空白三角形的面积，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
过点G作$GN⊥AD$于点N，延长NG交BC于点M。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD = BC$，$AD// BC$，$MN=AB=6$。
∵ $EF = \frac{1}{2} AD$，
∴ $EF = \frac{1}{2} BC$。
∵ $AD// BC$，$GN⊥AD$，
∴ $GM ⊥ BC$，$△EFG ∽ △CBG$，
∴ $GN:GM = EF:BC = 1:2$。
结合$GN+GM=6$，解得$GN = 2$，$GM = 4$。
∴ $S_{△BCG} = \frac{1}{2} × 10 × 4 = 20$，$S_{△EFG} = \frac{1}{2} × 5 × 2 = 5$。
∵ $S_{矩形ABCD} = 6 × 10 = 60$，
∴ $S_{阴影} = 60 - 20 - 5 = 35$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；不规则图形面积计算
【点评】
本题属于基础的面积计算类题目，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，利用相似三角形的性质求出空白三角形的高是解题的关键，转化法是求解不规则图形面积的常用方法，需灵活运用。
【难度系数】
0.65
要求阴影部分的面积，可采用转化法，将不规则阴影面积转化为矩形总面积减去两个空白三角形△EFG、△BCG的面积求解。首先根据矩形对边平行且相等的性质，可得EF//BC，可证△EFG∽△CBG；结合EF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，可知两三角形相似比为1:2，对应高的比也为1:2；又两个三角形的高之和等于矩形的边长AB=6，可求出两个三角形的高，进而计算两个空白三角形的面积，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
过点G作$GN⊥AD$于点N，延长NG交BC于点M。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD = BC$，$AD// BC$，$MN=AB=6$。
∵ $EF = \frac{1}{2} AD$，
∴ $EF = \frac{1}{2} BC$。
∵ $AD// BC$，$GN⊥AD$，
∴ $GM ⊥ BC$，$△EFG ∽ △CBG$，
∴ $GN:GM = EF:BC = 1:2$。
结合$GN+GM=6$，解得$GN = 2$，$GM = 4$。
∴ $S_{△BCG} = \frac{1}{2} × 10 × 4 = 20$，$S_{△EFG} = \frac{1}{2} × 5 × 2 = 5$。
∵ $S_{矩形ABCD} = 6 × 10 = 60$，
∴ $S_{阴影} = 60 - 20 - 5 = 35$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；不规则图形面积计算
【点评】
本题属于基础的面积计算类题目，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，利用相似三角形的性质求出空白三角形的高是解题的关键，转化法是求解不规则图形面积的常用方法，需灵活运用。
【难度系数】
0.65
7. 如图所示的是正方形ABCD、正方形BEFG和矩形DGHI的位置关系，其中G,F两点分别在BC,EH上。若AB=5,BG=3,则△GFH的面积为(
A.10
B.11
C.$\frac{15}{2}$
D.$\frac{45}{4}$
D
)。A.10
B.11
C.$\frac{15}{2}$
D.$\frac{45}{4}$
答案
7. D
解析
【分析】
解题时先利用正方形性质得到已知边长度和直角条件，再结合矩形的直角推导角的相等关系，证明两个直角三角形相似，最后通过相似三角形对应边成比例求出△GFH的直角边FH的长度，利用直角三角形面积公式计算即可。具体步骤：①先求CD、GC、GF的长度；②证明△DCG和△GFH相似；③利用相似关系求FH；④代入面积公式计算结果。
【解析】
1. 求已知线段长度：
∵ 正方形ABCD中AB=5，
∴ $CD=BC=AB=5$，$∠ C=90°$
∵ 正方形BEFG中BG=3，
∴ $GF=BG=3$，$∠ GFH=90°$，$GC=BC-BG=5-3=2$
2. 证明三角形相似：
∵ 矩形DGHI中$∠ DGH=90°$，
∴ $∠ DGC + ∠ CGH=90°$，
又
∵ $∠ CGH + ∠ HGF=∠ CGF=90°$，
∴ $∠ DGC=∠ HGF$，
结合$∠ C=∠ GFH=90°$，可得$△ DCG ∽ △ GFH$。
3. 求FH的长度：
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{DC}{FH}=\frac{CG}{GF}$，
代入数值得$\frac{5}{FH}=\frac{2}{3}$，解得$FH=\frac{15}{2}$。
4. 计算△GFH的面积：
∵ $GF⊥ FH$，
∴ $S_{△ GFH}=\frac{1}{2}× GF × FH=\frac{1}{2}×3×\frac{15}{2}=\frac{45}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，需要熟练掌握特殊四边形的性质，能够根据角的互余关系推导等角，进而构造相似三角形求解未知边，整体解题思路清晰，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题时先利用正方形性质得到已知边长度和直角条件，再结合矩形的直角推导角的相等关系，证明两个直角三角形相似，最后通过相似三角形对应边成比例求出△GFH的直角边FH的长度，利用直角三角形面积公式计算即可。具体步骤：①先求CD、GC、GF的长度；②证明△DCG和△GFH相似；③利用相似关系求FH；④代入面积公式计算结果。
【解析】
1. 求已知线段长度：
∵ 正方形ABCD中AB=5，
∴ $CD=BC=AB=5$，$∠ C=90°$
∵ 正方形BEFG中BG=3，
∴ $GF=BG=3$，$∠ GFH=90°$，$GC=BC-BG=5-3=2$
2. 证明三角形相似：
∵ 矩形DGHI中$∠ DGH=90°$，
∴ $∠ DGC + ∠ CGH=90°$，
又
∵ $∠ CGH + ∠ HGF=∠ CGF=90°$，
∴ $∠ DGC=∠ HGF$，
结合$∠ C=∠ GFH=90°$，可得$△ DCG ∽ △ GFH$。
3. 求FH的长度：
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{DC}{FH}=\frac{CG}{GF}$，
代入数值得$\frac{5}{FH}=\frac{2}{3}$，解得$FH=\frac{15}{2}$。
4. 计算△GFH的面积：
∵ $GF⊥ FH$，
∴ $S_{△ GFH}=\frac{1}{2}× GF × FH=\frac{1}{2}×3×\frac{15}{2}=\frac{45}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，需要熟练掌握特殊四边形的性质，能够根据角的互余关系推导等角，进而构造相似三角形求解未知边，整体解题思路清晰，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
1. 如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，与对角线AC相交于点F。若AB=6，则△AEF的面积为
3
。答案
1. 3
解析
【分析】
首先根据正方形的性质可得AD//BC、各边长均为6，结合E是AD中点可求出AE的长度；再由AD//BC可判定△AEF与△CBF相似，得到相似比为1:2，进而推出线段BF与FE的比例关系；最后利用同高三角形的面积比等于底之比，结合△ABE的面积即可求出△AEF的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=6
∴AD=BC=AB=6，AD//BC，∠BAD=90°
∵E为AD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=3$
∵AD//BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF
∴$△ AEF ∽ △ CBF$
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即$BF:FE=2:1$
△ABF和△AEF同高（以A为顶点向BE作高），因此$S_{△ ABF}:S_{△ AEF}=BF:FE=2:1$
又
∵$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × AB × AE=\frac{1}{2} × 6 × 3=9$
且$S_{△ ABE}=S_{△ ABF}+S_{△ AEF}=3S_{△ AEF}$
∴$S_{△ AEF}=9 ÷ 3=3$
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是利用正方形对边平行的性质得到相似三角形，通过相似比得到线段比例关系进而求解面积，是平面几何的常见考法。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形的性质可得AD//BC、各边长均为6，结合E是AD中点可求出AE的长度；再由AD//BC可判定△AEF与△CBF相似，得到相似比为1:2，进而推出线段BF与FE的比例关系；最后利用同高三角形的面积比等于底之比，结合△ABE的面积即可求出△AEF的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=6
∴AD=BC=AB=6，AD//BC，∠BAD=90°
∵E为AD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=3$
∵AD//BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF
∴$△ AEF ∽ △ CBF$
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即$BF:FE=2:1$
△ABF和△AEF同高（以A为顶点向BE作高），因此$S_{△ ABF}:S_{△ AEF}=BF:FE=2:1$
又
∵$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × AB × AE=\frac{1}{2} × 6 × 3=9$
且$S_{△ ABE}=S_{△ ABF}+S_{△ AEF}=3S_{△ AEF}$
∴$S_{△ AEF}=9 ÷ 3=3$
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是利用正方形对边平行的性质得到相似三角形，通过相似比得到线段比例关系进而求解面积，是平面几何的常见考法。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$△ ABC$中,D是边AB上一点,按以下步骤作图:①以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②以点D为圆心,AM的长为半径作弧,交DB于点$M'$;③以点$M'$为圆心,MN的长为半径作弧,在$∠ BAC$内部交前面的弧于点$N'$;④过点$N'$作射线$DN'$交BC于点E。若$△ BDE$与四边形ACED的面积比为$4:21$,则$\frac{BE}{CE}$的值为
$\frac{2}{3}$
。答案
2. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
首先识别尺规作图的类型：题中作图步骤是作一个角等于已知角，可得$∠ EDB=∠ A$，进而推出$DE// AC$，得到$△ BDE$与$△ BAC$相似；再结合$△ BDE$与四边形$ACED$的面积比，求出$△ BDE$与$△ BAC$的面积比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方得到对应边的比，最后推导$BE$与$CE$的比值即可。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，$∠ EDB = ∠ BAC$，
$\therefore DE // AC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore △ BDE ∽ △ BAC$。
$\because S_{△ BDE}:S_{四边形ACED}=4:21$，
$\therefore S_{△ BDE}:S_{△ BAC}=4:(4+21)=4:25$。
$\because$ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，
$\therefore$ 相似比 $\frac{BE}{BC}=\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$，
设 $BE=2k$，则 $BC=5k$，
$\therefore CE=BC-BE=5k-2k=3k$，
$\therefore \frac{BE}{CE}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 尺规作等角
2. 相似三角形的判定与性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题将尺规作图和相似三角形的知识结合考查，解题的关键是准确判断作图得到的等角，进而推出相似三角形，再利用相似三角形的性质转化面积比为边长比求解，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
首先识别尺规作图的类型：题中作图步骤是作一个角等于已知角，可得$∠ EDB=∠ A$，进而推出$DE// AC$，得到$△ BDE$与$△ BAC$相似；再结合$△ BDE$与四边形$ACED$的面积比，求出$△ BDE$与$△ BAC$的面积比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方得到对应边的比，最后推导$BE$与$CE$的比值即可。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，$∠ EDB = ∠ BAC$，
$\therefore DE // AC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore △ BDE ∽ △ BAC$。
$\because S_{△ BDE}:S_{四边形ACED}=4:21$，
$\therefore S_{△ BDE}:S_{△ BAC}=4:(4+21)=4:25$。
$\because$ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，
$\therefore$ 相似比 $\frac{BE}{BC}=\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$，
设 $BE=2k$，则 $BC=5k$，
$\therefore CE=BC-BE=5k-2k=3k$，
$\therefore \frac{BE}{CE}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 尺规作等角
2. 相似三角形的判定与性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题将尺规作图和相似三角形的知识结合考查，解题的关键是准确判断作图得到的等角，进而推出相似三角形，再利用相似三角形的性质转化面积比为边长比求解，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=2\sqrt{3}$,$AC=2\sqrt{2}$,$BE⊥ AB$于点$B$,$D$为射线$BE$上一点,连接$AD$,若$△ ABD$与$△ ABC$相似。
(1)求$AD$的长；
(2)请直接写出$△ ABD$与$△ ABC$的面积比。
(1)求$AD$的长；
(2)请直接写出$△ ABD$与$△ ABC$的面积比。
答案
3. (1)在 Rt△ABC 中,AB = 2√3 ,AC = 2√2 ,∠C = 90°,
∴ BC = √(AB² - AC²) = √((2√3)² - (2√2)²) = 2。当△ABD∽△ACB 时,$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$,即$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{AD}{2\sqrt{3}}$,解得$AD=3\sqrt{2}$;当△ABD∽△BCA 时,$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{AB}$,即$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{2\sqrt{3}}$,解得$AD=6$。
∴ AD 的长为 6 或$3\sqrt{2}$
(2)△ABD 与△ABC 的面积比为$\frac{3}{2}$或 3 【解析】当△ABD∽△ACB 时,面积比是$(\frac{AB}{AC})^2=(\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})^2=\frac{3}{2}$;当△ABD∽△BCA 时,面积比是$(\frac{AB}{BC})^2=(\frac{2\sqrt{3}}{2})^2=3$,所以△ABD 与△ABC 的面积比为$\frac{3}{2}$或 3
∴ BC = √(AB² - AC²) = √((2√3)² - (2√2)²) = 2。当△ABD∽△ACB 时,$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$,即$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{AD}{2\sqrt{3}}$,解得$AD=3\sqrt{2}$;当△ABD∽△BCA 时,$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{AB}$,即$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{2\sqrt{3}}$,解得$AD=6$。
∴ AD 的长为 6 或$3\sqrt{2}$
(2)△ABD 与△ABC 的面积比为$\frac{3}{2}$或 3 【解析】当△ABD∽△ACB 时,面积比是$(\frac{AB}{AC})^2=(\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})^2=\frac{3}{2}$;当△ABD∽△BCA 时,面积比是$(\frac{AB}{BC})^2=(\frac{2\sqrt{3}}{2})^2=3$,所以△ABD 与△ABC 的面积比为$\frac{3}{2}$或 3
解析
【分析】
解题首先利用勾股定理求出Rt△ABC中BC的边长，作为后续计算的基础。由于题目仅说明△ABD与△ABC相似，未明确对应顶点顺序，因此需要分两种情况讨论相似的对应关系：①△ABD∽△ACB，②△ABD∽△BCA。针对每种情况，利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解AD的长度；第二问利用相似三角形面积比等于相似比的平方，分别计算两种情况的面积比即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2\sqrt{3}$，$AC=2\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{12-8}=2$。
已知$BE⊥ AB$，故$∠ ABD=∠ C=90°$，分两种相似情况讨论：
① 当$△ ABD ∽ △ ACB$时，对应边成比例$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$，代入数值得$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{AD}{2\sqrt{3}}$，解得$AD=3\sqrt{2}$；
② 当$△ ABD ∽ △ BCA$时，对应边成比例$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{AB}$，代入数值得$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{2\sqrt{3}}$，解得$AD=6$。
(2) 相似三角形面积比等于相似比的平方：
① 当$△ ABD ∽ △ ACB$时，面积比为$(\frac{AB}{AC})^2=(\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})^2=\frac{3}{2}$；
② 当$△ ABD ∽ △ BCA$时，面积比为$(\frac{AB}{BC})^2=(\frac{2\sqrt{3}}{2})^2=3$。
【答案】
(1) $AD$的长为$3\sqrt{2}$或$6$；
(2) $△ ABD$与$△ ABC$的面积比为$\frac{3}{2}$或$3$。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题为易错题，重点考查相似三角形性质的应用，解题的核心是明确未给出对应顶点顺序的相似三角形存在多种对应关系，需分类讨论避免漏解，同时要熟练掌握勾股定理和相似三角形的相关性质进行运算。
【难度系数】
0.6
解题首先利用勾股定理求出Rt△ABC中BC的边长，作为后续计算的基础。由于题目仅说明△ABD与△ABC相似，未明确对应顶点顺序，因此需要分两种情况讨论相似的对应关系：①△ABD∽△ACB，②△ABD∽△BCA。针对每种情况，利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解AD的长度；第二问利用相似三角形面积比等于相似比的平方，分别计算两种情况的面积比即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2\sqrt{3}$，$AC=2\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{12-8}=2$。
已知$BE⊥ AB$，故$∠ ABD=∠ C=90°$，分两种相似情况讨论：
① 当$△ ABD ∽ △ ACB$时，对应边成比例$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$，代入数值得$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{AD}{2\sqrt{3}}$，解得$AD=3\sqrt{2}$；
② 当$△ ABD ∽ △ BCA$时，对应边成比例$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{AB}$，代入数值得$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{2\sqrt{3}}$，解得$AD=6$。
(2) 相似三角形面积比等于相似比的平方：
① 当$△ ABD ∽ △ ACB$时，面积比为$(\frac{AB}{AC})^2=(\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})^2=\frac{3}{2}$；
② 当$△ ABD ∽ △ BCA$时，面积比为$(\frac{AB}{BC})^2=(\frac{2\sqrt{3}}{2})^2=3$。
【答案】
(1) $AD$的长为$3\sqrt{2}$或$6$；
(2) $△ ABD$与$△ ABC$的面积比为$\frac{3}{2}$或$3$。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题为易错题，重点考查相似三角形性质的应用，解题的核心是明确未给出对应顶点顺序的相似三角形存在多种对应关系，需分类讨论避免漏解，同时要熟练掌握勾股定理和相似三角形的相关性质进行运算。
【难度系数】
0.6
