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相似三角形的周长比等于
相似比
，面积比等于相似比的平方
。答案
相似比 相似比的平方
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形对应边的比叫做相似比，且所有对应线段（包括对应高、对应中线、对应角平分线等）的比都等于相似比。推导周长比时可结合等比性质：周长是三边长度之和，各对应边的比都等于相似比，因此三边和的比也等于相似比；推导面积比时结合三角形面积公式（面积=1/2×底×高），底和对应高的比都等于相似比，二者相乘即可得到面积比为相似比的平方。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$ k $，即对应边的比满足$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$：
1. 周长比推导：
第一个三角形周长$ C_1=a_1+b_1+c_1 $，第二个三角形周长$ C_2=a_2+b_2+c_2 $，根据等比性质可得：
$\frac{C_1}{C_2}=\frac{a_1+b_1+c_1}{a_2+b_2+c_2}=k$，即周长比等于相似比。
2. 面积比推导：
相似三角形对应高的比也等于相似比，即$\frac{h_1}{h_2}=k$，根据三角形面积公式：
$ S_1=\frac{1}{2}a_1h_1 $，$ S_2=\frac{1}{2}a_2h_2 $，因此面积比：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}a_1h_1}{\frac{1}{2}a_2h_2}=\frac{a_1}{a_2}×\frac{h_1}{h_2}=k× k=k^2$，即面积比等于相似比的平方。
【答案】
相似比；相似比的平方
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题是对相似三角形基础性质的直接考查，属于核心基础知识点，需要准确识记，注意区分周长比和面积比的规律，避免混淆，这一知识点是解决相似相关几何题的重要基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形对应边的比叫做相似比，且所有对应线段（包括对应高、对应中线、对应角平分线等）的比都等于相似比。推导周长比时可结合等比性质：周长是三边长度之和，各对应边的比都等于相似比，因此三边和的比也等于相似比；推导面积比时结合三角形面积公式（面积=1/2×底×高），底和对应高的比都等于相似比，二者相乘即可得到面积比为相似比的平方。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$ k $，即对应边的比满足$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$：
1. 周长比推导：
第一个三角形周长$ C_1=a_1+b_1+c_1 $，第二个三角形周长$ C_2=a_2+b_2+c_2 $，根据等比性质可得：
$\frac{C_1}{C_2}=\frac{a_1+b_1+c_1}{a_2+b_2+c_2}=k$，即周长比等于相似比。
2. 面积比推导：
相似三角形对应高的比也等于相似比，即$\frac{h_1}{h_2}=k$，根据三角形面积公式：
$ S_1=\frac{1}{2}a_1h_1 $，$ S_2=\frac{1}{2}a_2h_2 $，因此面积比：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}a_1h_1}{\frac{1}{2}a_2h_2}=\frac{a_1}{a_2}×\frac{h_1}{h_2}=k× k=k^2$，即面积比等于相似比的平方。
【答案】
相似比；相似比的平方
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题是对相似三角形基础性质的直接考查，属于核心基础知识点，需要准确识记，注意区分周长比和面积比的规律，避免混淆，这一知识点是解决相似相关几何题的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，它们的周长分别是30和15，且$AB=6$，则$DE$的长是（
A.2
B.4
C.3
D.5
C
）。A.2
B.4
C.3
D.5
答案
1. C
解析
【分析】
解决本题首先要回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比，且对应边的比值等于相似比。解题第一步先计算两个相似三角形的周长比，得到相似比；第二步利用对应边成比例的性质，代入已知AB的长度，即可求出DE的长。
【解析】
∵ △ABC ∽ △DEF，且△ABC、△DEF的周长分别为30和15
∴ 两个三角形的相似比 = 周长比 = 30:15 = 2:1
∴ 对应边的比值满足 $\frac{AB}{DE} = \frac{2}{1}$
将$AB=6$代入上式，得 $\frac{6}{DE}=2$
解得 $DE=3$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，核心考察相似三角形周长比与相似比的关系、对应边成比例的性质，掌握基础性质即可快速解题，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比，且对应边的比值等于相似比。解题第一步先计算两个相似三角形的周长比，得到相似比；第二步利用对应边成比例的性质，代入已知AB的长度，即可求出DE的长。
【解析】
∵ △ABC ∽ △DEF，且△ABC、△DEF的周长分别为30和15
∴ 两个三角形的相似比 = 周长比 = 30:15 = 2:1
∴ 对应边的比值满足 $\frac{AB}{DE} = \frac{2}{1}$
将$AB=6$代入上式，得 $\frac{6}{DE}=2$
解得 $DE=3$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，核心考察相似三角形周长比与相似比的关系、对应边成比例的性质，掌握基础性质即可快速解题，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在$AB,AC$上,$DE// BC,DE=2,BC=5$,则$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}$的值是（
A.$\frac{3}{25}$
B.$\frac{4}{25}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
B
）。A.$\frac{3}{25}$
B.$\frac{4}{25}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
2. B
解析
【分析】
看到题中DE//BC的条件，首先可依据平行线的性质得到两个三角形的对应角相等，进而判定△ADE与△ABC相似；再回忆相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出两个三角形的相似比（即对应边DE与BC的比值），再对相似比取平方即可得到两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴两个三角形的相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是先由平行条件判定三角形相似，再利用相似三角形面积比与相似比的关系计算，属于对基础概念和性质的考查，掌握相关结论就能快速求解。
【难度系数】
0.8
看到题中DE//BC的条件，首先可依据平行线的性质得到两个三角形的对应角相等，进而判定△ADE与△ABC相似；再回忆相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出两个三角形的相似比（即对应边DE与BC的比值），再对相似比取平方即可得到两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴两个三角形的相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是先由平行条件判定三角形相似，再利用相似三角形面积比与相似比的关系计算，属于对基础概念和性质的考查，掌握相关结论就能快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，点D，E分别在$△ ABC$的边AC，AB上，$△ ADE ∽ △ ABC$，M，N分别是DE，BC的中点。
若$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=$
若$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=$
$\frac{1}{4}$
。答案
3. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题时首先从已知的△ADE∽△ABC入手，结合M、N分别是DE、BC的中点，可知AM、AN是两个相似三角形的对应中线。根据相似三角形的性质，对应中线的比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵△ADE∽△ABC，M为DE的中点，N为BC的中点
∴AM、AN分别是△ADE与△ABC的对应中线
根据相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比，可得：
相似比$k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形性质，相似比与面积比关系
【点评】
本题是基础类题型，核心考查相似三角形的性质应用，解题的关键是明确相似三角形对应中线的比等于相似比，再结合面积比和相似比的关系计算即可，熟练掌握相似三角形的相关性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的△ADE∽△ABC入手，结合M、N分别是DE、BC的中点，可知AM、AN是两个相似三角形的对应中线。根据相似三角形的性质，对应中线的比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵△ADE∽△ABC，M为DE的中点，N为BC的中点
∴AM、AN分别是△ADE与△ABC的对应中线
根据相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比，可得：
相似比$k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形性质，相似比与面积比关系
【点评】
本题是基础类题型，核心考查相似三角形的性质应用，解题的关键是明确相似三角形对应中线的比等于相似比，再结合面积比和相似比的关系计算即可，熟练掌握相似三角形的相关性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在△ABC中,EF//BC,$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$,四边形BCFE的面积为21,则△ABC的面积是(
A.$\frac{91}{3}$
B.25
C.35
D.63
B
)。A.$\frac{91}{3}$
B.25
C.35
D.63
答案
4. B
解析
【分析】
首先由EF//BC可判定△AEF与△ABC相似，先根据已知的$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$求出两个相似三角形的相似比，再利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”得到两个三角形的面积比，结合“四边形BCFE的面积=△ABC的面积-△AEF的面积”列方程求解即可。
【解析】
∵ $\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{AE}{AE+EB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
∵ $EF// BC$
∴ $∠ AEF=∠ B$，$∠ AFE=∠ C$，可判定$△ AEF ∽ △ ABC$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AE}{AB})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
设$S_{△ AEF}=4k$（$k＞0$），则$S_{△ ABC}=25k$
∵ 四边形BCFE的面积为21，且$S_{四边形BCFE}=S_{△ ABC}-S_{△ AEF}$
∴ $25k-4k=21$，解得$k=1$
∴ $S_{△ ABC}=25k=25$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础常考题，解题关键是先通过平行线判定三角形相似，再结合相似三角形面积比与相似比的关系建立等式求解，计算难度较低，熟练掌握相似三角形的核心性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
首先由EF//BC可判定△AEF与△ABC相似，先根据已知的$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$求出两个相似三角形的相似比，再利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”得到两个三角形的面积比，结合“四边形BCFE的面积=△ABC的面积-△AEF的面积”列方程求解即可。
【解析】
∵ $\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{AE}{AE+EB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
∵ $EF// BC$
∴ $∠ AEF=∠ B$，$∠ AFE=∠ C$，可判定$△ AEF ∽ △ ABC$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AE}{AB})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
设$S_{△ AEF}=4k$（$k＞0$），则$S_{△ ABC}=25k$
∵ 四边形BCFE的面积为21，且$S_{四边形BCFE}=S_{△ ABC}-S_{△ AEF}$
∴ $25k-4k=21$，解得$k=1$
∴ $S_{△ ABC}=25k=25$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础常考题，解题关键是先通过平行线判定三角形相似，再结合相似三角形面积比与相似比的关系建立等式求解，计算难度较低，熟练掌握相似三角形的核心性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
5. 如图，将$△ ABC$沿$BC$边上的中线$AD$平移到$△ A'B'C'$的位置。已知$△ ABC$的面积为16，阴影部分三角形的面积为9。若$AA'=1$，则$A'D$等于(
A.3
B.2
C.4
D.$\dfrac{3}{2}$
A
)。A.3
B.2
C.4
D.$\dfrac{3}{2}$
答案
5. A
解析
【分析】
首先根据平移的性质可得阴影部分三角形与△ABC相似，结合相似三角形的面积比等于相似比的平方可求出两个三角形的相似比。再结合AD是△ABC的中线、A'D是阴影三角形的对应中线，可知相似比等于A'D与AD的比值，而AD=AA'+A'D=1+A'D，代入比例关系列方程即可求出A'D的长度。
【解析】
设阴影部分三角形为△A'MN（M、N为A'B'、A'C'与BC的交点）
∵ △ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'
∴ A'B'//AB，A'C'//AC，且AD、A'D分别是△ABC和△A'MN的对应中线
∴ △A'MN∽△ABC
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△A'MN}}{S_{△ABC}}=(\frac{A'D}{AD})^2$
已知$S_{△ABC}=16$，$S_{△A'MN}=9$，$AA'=1$，$AD=AA'+A'D=1+A'D$，代入得：
$\frac{9}{16}=(\frac{A'D}{1+A'D})^2$
∵ 线段长度为正，
∴ 两边开方得：
$\frac{A'D}{1+A'D}=\frac{3}{4}$
解方程：
$4A'D=3(1+A'D)$
$4A'D=3+3A'D$
$A'D=3$
【答案】
A
【知识点】
平移的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中线的性质
【点评】
本题是平移与相似三角形结合的典型题型，解题的核心是利用平移得到相似三角形，再通过面积比与相似比的关系建立方程求解，要求学生熟练掌握相似三角形的相关性质，能准确找到对应线段的比例关系。
【难度系数】
0.7
首先根据平移的性质可得阴影部分三角形与△ABC相似，结合相似三角形的面积比等于相似比的平方可求出两个三角形的相似比。再结合AD是△ABC的中线、A'D是阴影三角形的对应中线，可知相似比等于A'D与AD的比值，而AD=AA'+A'D=1+A'D，代入比例关系列方程即可求出A'D的长度。
【解析】
设阴影部分三角形为△A'MN（M、N为A'B'、A'C'与BC的交点）
∵ △ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'
∴ A'B'//AB，A'C'//AC，且AD、A'D分别是△ABC和△A'MN的对应中线
∴ △A'MN∽△ABC
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△A'MN}}{S_{△ABC}}=(\frac{A'D}{AD})^2$
已知$S_{△ABC}=16$，$S_{△A'MN}=9$，$AA'=1$，$AD=AA'+A'D=1+A'D$，代入得：
$\frac{9}{16}=(\frac{A'D}{1+A'D})^2$
∵ 线段长度为正，
∴ 两边开方得：
$\frac{A'D}{1+A'D}=\frac{3}{4}$
解方程：
$4A'D=3(1+A'D)$
$4A'D=3+3A'D$
$A'D=3$
【答案】
A
【知识点】
平移的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中线的性质
【点评】
本题是平移与相似三角形结合的典型题型，解题的核心是利用平移得到相似三角形，再通过面积比与相似比的关系建立方程求解，要求学生熟练掌握相似三角形的相关性质，能准确找到对应线段的比例关系。
【难度系数】
0.7
