例2 如图，已知$∠ ACB=∠ DBC$，$∠ A=∠ D$. 求证：$AC=DB$.

证明 在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D,\\∠ ACB=∠ DBC,\\BC=CB,\end{array} $
所以$△ ABC≌△ DCB$（AAS）.
所以$AC=DB$.
解题要点
通过观察图形发现含有公共边这一隐含条件，再结合已知条件即可利用“AAS”来证明$△ ABC≌△ DCB$，从而证明$AC=DB$.

证明：在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ D, \\∠ ACB = ∠ DBC, \\BC = CB,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB$（AAS），
$\therefore AC = DB$。

【分析】
要证明两条线段相等，常用思路是证明两条线段所在的三角形全等。首先观察到待证的线段AC在△ABC中、DB在△DCB中，先梳理已知条件：题目已给出两组对应角相等（∠A=∠D，∠ACB=∠DBC），再观察图形可发现两个三角形有公共边BC，即BC=CB，刚好满足“AAS”的三角形全等判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到AC=DB。
【解析】
证明：在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ D, \\∠ ACB = ∠ DBC, \\BC = CB,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB$（AAS），
$\therefore AC = DB$。
【答案】
证明：在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ D, \\∠ ACB = ∠ DBC, \\BC = CB,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB$（AAS），
$\therefore AC = DB$。
【知识点】
AAS判定三角形全等、全等三角形对应边相等
【点评】
本题是三角形全等证明的基础题型，解题关键是挖掘出图形中隐含的公共边相等的条件，结合已知的角相等条件判定三角形全等，进而推导出对应边相等，属于全等证明的常规考查题。
【难度系数】
0.85

1. 如图，已知$∠ 1=∠ 2$，用“ASA”证明$△ ABC≌△ DCB$，还需要的条件是（）


A.$AB=DC$
B.$AC=DB$
C.$∠ A=∠ D$
D.$∠ ABC=∠ DCB$

1. D

【分析】
解题第一步先明确ASA的判定规则：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。首先梳理已知条件：题目给出∠1=∠2，另外BC是△ABC和△DCB的公共边，可得BC=CB。要符合ASA判定，需要找到夹公共边BC的另一组角相等，再逐一核对选项即可得到答案。
【解析】
首先回忆ASA判定定理：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
在△ABC和△DCB中：
1. 隐含公共边：$BC=CB$；
2. 已知条件：$∠ 1=∠ 2$。
要满足ASA判定，需要BC作为夹边，对应的另一组邻角相等，即$∠ ABC=∠ DCB$，此时三个条件为$∠ ABC=∠ DCB$，$BC=CB$，$∠ 1=∠ 2$，刚好符合两角夹边的ASA要求。
逐一分析选项：
A选项：$AB=DC$，结合已知$∠ 1=∠ 2$、$BC=CB$，属于SSA条件，不能判定三角形全等，不符合要求；
B选项：$AC=DB$，结合已知条件同样属于SSA，不能判定全等，不符合要求；
C选项：$∠ A=∠ D$，结合已知$∠ 1=∠ 2$、$BC=CB$，属于AAS判定，不是题目要求的ASA，不符合要求；
D选项：$∠ ABC=∠ DCB$，符合ASA判定的条件要求。
【答案】
D
【知识点】
ASA判定定理；三角形全等的判定；公共边的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题关键是准确掌握不同判定定理的条件差异，尤其要区分ASA（两角夹边）和AAS（两角及对边）的区别，同时注意挖掘题目中的公共边等隐含条件。
【难度系数】
0.8

2. 在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C = 50°$，将$△ ABC$沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（）

2. D

【分析】
解题时首先回忆全等三角形的判定定理：SAS、ASA、AAS、SSS，同时结合题目已知△ABC为等腰三角形（∠B=∠C=50°，可得AB=AC）的性质，逐个分析各选项剪开后两个三角形的边角对应关系，判断是否符合全等判定条件，即可找到不一定全等的选项。
【解析】
已知△ABC中∠B=∠C=50°，由等角对等边可得AB=AC，逐一分析选项：
1. 选项A：剪开后两个三角形，一组对应边长为1，一组对应边长为2，夹角分别为∠B和∠C，均为50°，满足“SAS”全等判定，两个三角形全等。
2. 选项B：剪开后两个三角形，AB=AC=2，BC被分成的两段均为1.5，夹角分别为∠B和∠C，均为50°，满足“SAS”全等判定，两个三角形全等。
3. 选项C：剪开后两个三角形，有∠B=∠C=50°，一组对应边长为2，还有一组角对应相等，满足“ASA”或“AAS”全等判定，两个三角形全等。
4. 选项D：剪开后两个三角形，两组边对应相等（一组边均为1.6，剪得的公共边相等），但相等的50°角不是两组相等边的夹角，属于“SSA”的情况，而SSA不能判定三角形全等，因此这两个三角形不一定全等。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的应用，解题时要注意区分各判定定理的适用条件，尤其要明确SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7

3. $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 如图所示，已知 $AB = DE$，$∠ D + ∠ CHF = 180°$，$AB // EF$，求证：$△ ABC ≌ △ DEF$.

证明 因为$∠ D + ∠ CHF = 180°$，$∠ CHF + ∠ CHE = 180°$，所以$∠ D = ∠ CHE$。
因为$AB // EF$，
所以$∠ B = ∠ DEF$，$∠ CHE = ∠ A$，
所以$∠ A = ∠ D$。
在$△ ABC$ 和$△ DEF$ 中，$\begin{cases} ∠ A = ∠ D, \\ AB = DE, \\ ∠ B = ∠ DEF, \end{cases}$
所以$△ ABC ≌ △ DEF$（ASA）。

【分析】
要证明两个三角形全等，已知一组对应边AB=DE相等，可优先考虑ASA或AAS判定定理。首先利用已知的∠D+∠CHF=180°，结合邻补角和为180°的性质，通过同角的补角相等推出∠D=∠CHE；再利用AB//EF的平行线性质，得到两组同位角相等，通过等量代换得到全等需要的两组对应角相等，此时凑齐两角及夹边对应相等的条件，用ASA即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because ∠D + ∠CHF = 180°$，$∠CHF + ∠CHE = 180°$（邻补角的定义），
$\therefore ∠D = ∠CHE$（同角的补角相等）。
$\because AB // EF$（已知），
$\therefore ∠B = ∠DEF$（两直线平行，同位角相等），$∠A = ∠CHE$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠A = ∠D$（等量代换）。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}∠A = ∠D, \\AB = DE, \\∠B = ∠DEF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF$（ASA）。
【答案】
$△ ABC ≌ △ DEF$
【知识点】
1. 全等三角形ASA判定
2. 平行线的性质
3. 补角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础典型题，解题核心是结合已知条件，通过补角性质和平行线性质推导全等所需的对应角相等，能帮助学生巩固ASA判定定理的应用。
【难度系数】
0.75