1. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ C=15°$，线段AC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，D为垂足，CE=12 cm，则AB=（）

A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.不能确定

1. B

【分析】
解题时首先从已知的线段垂直平分线切入，根据垂直平分线的性质可得AE=CE，得到AE的长度；再利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠EAC=∠C，结合三角形外角的性质求出∠AEB的度数；最后在Rt△ABE中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，CE=12 cm，
∴AE=CE=12 cm（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴∠EAC=∠C=15°（等边对等角），
∵∠AEB是△AEC的外角，
∴∠AEB=∠C+∠EAC=15°+15°=30°，
又
∵∠ABC=90°，即△ABE为直角三角形，
∴在Rt△ABE中，30°角所对的直角边AB等于斜边AE的一半，
∴AB=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×12=6 cm。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，将多个基础几何性质结合考查，解题的关键是熟练掌握各性质并找到边角之间的转化关系，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7

2. 有一个等腰三角形的模型，它的顶角为$120°$，腰长为$18\ \mathrm{cm}$，则底边上的高为（）

A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$9\ \mathrm{cm}$
C.$10\ \mathrm{cm}$
D.$18\ \mathrm{cm}$

2. B

【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的相关性质：等腰三角形两个底角相等，且底边上的高、中线、顶角角平分线三线合一。首先根据三角形内角和算出底角的度数，再作底边上的高，将原等腰三角形拆分为两个直角三角形，此时高是直角三角形中30°角对应的直角边，腰长为直角三角形的斜边，最后利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质即可求出高的长度。
【解析】
解：已知等腰三角形顶角为$120°$，根据三角形内角和为$180°$，且等腰三角形两底角相等，
可得底角度数为：$\frac{180°-120°}{2}=30°$。
过等腰三角形的顶点作底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，该高将原三角形分为两个全等的直角三角形。
在所得直角三角形中，原等腰三角形的腰为斜边，长度为$18\ \mathrm{cm}$，底边上的高为$30°$底角所对的直角边。
根据直角三角形的性质：直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，
因此底边上的高为：$18×\frac{1}{2}=9\ \mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是通过作底边上的高构造出含$30°$角的特殊直角三角形，将等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题求解，熟练掌握相关几何性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=90°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D的直线EF//BC，分别交AC，AB于点E，F，若△AEF的周长为18，则边AC的长为。

3. 6

【分析】
解题时首先从已知条件中的角平分线和平行线入手，利用“角平分线+平行线”的常见几何模型推导等腰三角形，将线段EF拆分为ED与FD的和，进而转化为EC与FB的和，实现△AEF周长向AC+AB的转化；再结合Rt△ABC的角度特征，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质得到AB与AC的数量关系，最后代入周长数值即可求出AC的长度。
【解析】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠ABC=180°-90°-60°=30°，
∴在Rt△ABC中，AB=2AC（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵CD平分∠ACB，BD平分∠ABC，
∴∠DCE=∠DCB，∠DBF=∠DBC。
∵EF//BC，
∴∠EDC=∠DCB，∠FDB=∠DBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠DCE=∠EDC，∠DBF=∠FDB，
∴EC=ED，FB=FD（等角对等边），
∴EF=ED+FD=EC+FB。
∵△AEF的周长为18，
∴AE+EF+AF=AE+EC+FB+AF=(AE+EC)+(AF+FB)=AC+AB=18。
将AB=2AC代入得：AC+2AC=3AC=18，
解得AC=6。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查了“角平分线+平行线构造等腰三角形”的经典模型，解题的关键是完成线段的等量转化，将未知三角形的周长转化为已知三角形边长的和，再结合特殊直角三角形的边角关系计算，熟练掌握常见几何模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6

4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于点D，点F在BC的垂直平分线上.
(1) 求证：△AEF是等边三角形.
(2) 若BD=1，求DC的长.

4. (1) 证明：$\because$ 点 $F$ 在 $BC$ 的垂直平分线上，$∠C=30°$，$\therefore FB=FC$，$\therefore ∠FBC=∠C=30°$，$\therefore ∠AFE=∠FBC+∠C=60°$.$\because AD ⊥ BC$ 于点 $D$，$∠FBC=30°$，$\therefore ∠BED=90°-∠FBC=60°$，$\therefore ∠AEF=∠BED=60°$，$\therefore △AEF$ 为等边三角形.
(2) 解：在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$∠BAC=90°$，$∠C=30°$，$\therefore ∠ABC=60°$，$\because AD ⊥ BC$ 于点 $D$，$\therefore ∠BAD=90°-∠ABC=30°$，在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中，$BD=1$，$∠BAD=30°$，$\therefore AB=2BD=2$，在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$AB=2$，$∠C=30°$，$\therefore BC=2AB=4$，$\therefore CD=BC-BD=4-1=3$.

【分析】
(1) 要证明△AEF是等边三角形，可通过证明三角形有两个内角为60°的思路推导：首先利用线段垂直平分线的性质得到FB=FC，推出∠FBC=∠C=30°，结合三角形外角性质得到∠AFE=60°；再利用AD⊥BC的条件，根据直角三角形两锐角互余算出∠BED=60°，结合对顶角相等得到∠AEF=60°，即可判定△AEF为等边三角形。
(2) 求DC的长度时，可利用含30°角的直角三角形的性质逐步推导：先在Rt△ABD中由BD的长度求出AB的长，再在Rt△ABC中由AB的长求出BC的长，最后用BC减去BD即可得到DC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 点F在BC的垂直平分线上，∠C=30°，
∴ FB=FC，
∴ ∠FBC=∠C=30°，
∴ ∠AFE=∠FBC+∠C=30°+30°=60°。
∵ AD⊥BC于点D，∠FBC=30°，
∴ ∠BED=90°-∠FBC=90°-30°=60°，
∴ ∠AEF=∠BED=60°（对顶角相等），
∴ △AEF中有两个内角为60°，故△AEF为等边三角形。
(2) 解：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴ ∠ABC=90°-∠C=60°，
∵ AD⊥BC于点D，
∴ ∠BAD=90°-∠ABC=30°，
在Rt△ABD中，BD=1，∠BAD=30°，
∴ AB=2BD=2×1=2，
在Rt△ABC中，AB=2，∠C=30°，
∴ BC=2AB=2×2=4，
∴ CD=BC-BD=4-1=3。
【答案】
(1) △AEF是等边三角形，得证；(2) DC的长为3
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等边三角形的判定
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是熟练掌握特殊三角形的边角关系，结合外角、对顶角等基础几何性质逐步推导，重点考查学生对基础几何定理的运用能力。
【难度系数】
0.7