5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 8$,$AC = 6$,如果动点$D以每秒2$个单位长度的速度,从点$B出发沿BA方向向点A$运动,同时点$E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向向点C$运动. 设运动时间为$t$ (单位：$s$),当$t$为何值时,以$A$,$D$,$E为顶点的三角形与\triangle ABC$相似？

5.解:当$\triangle ADE\backsim \triangle ABC$时,$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$,即$\frac{8-2t}{8}=\frac{t}{6}$,解得$t=2.4$. 当$\triangle ADE\backsim \triangle ACB$时,$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$,即$\frac{8-2t}{6}=\frac{t}{8}$,解得$t=\frac{32}{11}$. 所以当$t=2.4\ s$或$\frac{32}{11}\ s$时,$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似.

6. 已知：如图,在$\triangle ABC$中,$D为AB$边上一点,$\angle A = 36^{\circ}$,$AC = BC$,$AC^{2} = AB \cdot AD$.

(1) 试说明：$\triangle ADC和\triangle BDC$都是等腰三角形.
(2) 若$AB = 1$,求$AC$的长.

6.解:
(1)在$\triangle ABC$中,$AC=BC$,$\therefore \angle B=\angle A=36^{\circ}$,$\angle ACB=108^{\circ}$. 在$\triangle ABC$与$\triangle CAD$中,$\angle A=\angle A=36^{\circ}$,$\because AC^{2}=AB\cdot AD$,$\therefore \frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$,$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle ACD$,$\therefore \angle ACD=\angle B=36^{\circ}$,$\therefore \angle ACD=\angle A$. $\therefore \triangle ADC$是等腰三角形. $\therefore \angle CDB=\angle A+\angle ACD=72^{\circ}$,$\angle DCB=\angle ACB-\angle ACD=108^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$. $\therefore \angle CDB=\angle DCB$. $\therefore \triangle BDC$是等腰三角形. $\therefore \triangle ADC$和$\triangle BDC$都是等腰三角形.
(2)设$AC=x$,则$x^{2}=1× (1-x)$,即$x^{2}+x-1=0$.解得$x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$,$\therefore x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(负根舍去).