10. 在平面直角坐标系中,点 $ A_1 $ 从原点出发,沿如图所示的方向运动,到达位置的坐标依次为 $ A_2(1,0) $,$ A_3(1,1) $,$ A_4(-1,1) $,$ A_5(-1,-1) $,$ A_6(2,-1) $,$ A_7(2,2) $,…$ $。若到达终点 $ A_n(-506,-506) $,则 $ n $ 的值为 。

2025

解：观察点的坐标规律：
$A_1(0,0)$
$A_2(1,0)$，$A_3(1,1)$，$A_4(-1,1)$，$A_5(-1,-1)$
$A_6(2,-1)$，$A_7(2,2)$，$A_8(-2,2)$，$A_9(-2,-2)$
$A_{10}(3,-2)$，$A_{11}(3,3)$，$A_{12}(-3,3)$，$A_{13}(-3,-3)$
...
发现规律：当坐标为$(-k,-k)$时，对应点为每组的第4个点，且$k=1,2,3,...$。此时点的序号为$4k+1$。
对于终点$A_n(-506,-506)$，$k=506$，则$n=4×506 + 1=2025$。
2025

11. (6分)已知点 $ P(-3a - 4,2 + a) $,解答下列各题：
(1)若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上,试求出点 $ P $ 的坐标；
(2)若 $ Q(5,8) $,且 $ PQ // y $ 轴,试求出点 $ P $ 的坐标。

(1)$P(2,0)$
(2)$P(5,-1)$

12. (6分)已知点 $ P(8 - 2m,m - 1) $。
(1)若点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,求 $ m $ 的值；
(2)若点 $ P $ 到两坐标轴的距离相等,求点 $ P $ 的坐标。

解：
(1)由题意得$8-2m=0$，解得$m=4$。
(2)因为点$P$到两坐标轴的距离相等，所以$|8-2m|=|m-1|$，所以$8-2m=m-1$或$8-2m=1-m$，解得$m=3$或$m=7$。所以$P(2,2)$或$(-6,6)$。

13. (6分)在平面直角坐标系中,有 $ A(-2,a + 1) $,$ B(a - 1,4) $,$ C(b - 2,b) $ 三个点。
(1)当 $ AB // x $ 轴时,求 $ A $,$ B $ 两点间的距离；
(2)当 $ CD \perp x $ 轴于点 $ D $,且 $ CD = 1 $ 时,求点 $ C $ 的坐标。

解：
(1)$A$，$B$两点间的距离是4。
(2)因为$CD\perp x$轴，所以$C$，$D$两点的横坐标相同，所以$D(b-2,0)$。因为$CD=1$，所以$|b|=1$，解得$b=\pm 1$。当$b=1$时，点$C$的坐标是$(-1,1)$；当$b=-1$时，点$C$的坐标是$(-3,-1)$。