三、解答题
7. 已知某一次函数的图象过点$(1,1)$和点$(2,-1)$，求此一次函数的表达式，并求使其函数值为正值时$x$的取值范围。

7. $y=-2x+3$. 函数值为正值时x的取值范围为$x＜\frac{3}{2}$

【分析】
求解本题首先要明确一次函数的基本表达形式，求函数表达式优先使用待定系数法：第一步先设出一次函数的一般式，再将已知的两个点坐标代入一般式，得到关于系数的二元一次方程组，解方程组即可得到系数值，确定函数表达式；接下来求函数值为正值时x的范围，只需令函数值y＞0，将表达式代入转化为一元一次不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】
解：设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将点$(1,1)$和点$(2,-1)$分别代入表达式，可得方程组：
$\begin{cases}k + b = 1 \\2k + b = -1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$2k + b - (k + b) = -1 - 1$，解得$k=-2$。
将$k=-2$代入$k + b = 1$，得：$-2 + b = 1$，解得$b=3$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x+3$。
要求函数值为正值时$x$的取值范围，即令$y＞0$，代入表达式得：
$-2x + 3 ＞ 0$
移项得：$-2x ＞ -3$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ＜ \frac{3}{2}$
【答案】
一次函数的表达式为$y=-2x+3$，函数值为正值时$x$的取值范围为$x＜\frac{3}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数表达式；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查待定系数法的应用以及一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，解不等式时注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8

8. 已知某一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(-1,5)$，且与正比例函数$y=x$的图象交于点$(2,a)$，求：
(1) $a$的值；
(2) $k$，$b$的值；
(3) 这两个函数图象与$x$轴所围成的三角形面积。

8. (1) 2 (2) $k=-1, b=4$ (3) 4

【分析】
(1) 求a的值时，思考点在函数图象上的性质：点的坐标满足函数解析式，已知交点(2,a)在正比例函数y=x上，直接代入x=2即可求出a。
(2) 求k和b时，一次函数解析式有两个未知参数，需要两个点的坐标建立方程组，已知一次函数过(-1,5)和第一问求出的(2,a)，代入列二元一次方程组求解即可。
(3) 求围成的三角形面积时，先找到两个函数与x轴的交点坐标、两个函数的交点坐标，三角形的底为x轴上两个交点的距离，高为两函数交点的纵坐标，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵点$(2,a)$在正比例函数$y=x$的图象上，将$x=2$代入$y=x$，得$a=2$。
(2) 由(1)可知一次函数$y=kx+b$经过点$(-1,5)$和$(2,2)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}-k + b = 5 \\2k + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=-3$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$-k + b = 5$，得$1 + b = 5$，解得$b=4$。
(3) 先找两个函数与x轴的交点：
① 正比例函数$y=x$与x轴的交点为$(0,0)$；
② 对于一次函数$y=-x+4$，令$y=0$，得$-x+4=0$，解得$x=4$，即与x轴交点为$(4,0)$；
两个函数的交点为$(2,2)$。
则围成三角形的底长为$4-0=4$，高为交点的纵坐标2，
面积$S=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
(1) $2$；(2) $k=-1,b=4$；(3) $4$
【知识点】
1. 一次函数点坐标特征
2. 待定系数法求解析式
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，核心考察函数图象与点坐标的对应关系、待定系数法的应用，以及函数与几何结合的基础计算，解题的关键是准确提取点坐标代入解析式，掌握坐标系内三角形面积的计算方法，属于一次函数模块必须掌握的常规题型。
【难度系数】
0.7

9. 如图, 直线 $ l_1: y=-3x+3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ D $, 点 $ A, B $ 的坐标分别为 $ (4, 0), (3, -\dfrac{3}{2}) $, 直线 $ l_2 $ 经过点 $ A, B $, 直线 $ l_1, l_2 $ 交于点 $ C $.
(1) 求点 $ D $ 的坐标;
(2) 求直线 $ l_2 $ 所对应的函数表达式;
(3) 求三角形 $ ADC $ 的面积;
(4) 在直线 $ l_2 $ 上存在异于点 $ C $ 的点 $ P $, 使得三角形 $ ADP $ 与三角形 $ ADC $ 的面积相等, 请直接写出点 $ P $ 的坐标.

(1) $(1, 0)$ (2) $y=\frac{3}{2}x-6$ (3) $\frac{9}{2}$ (4) $(6, 3)$

【分析】
(1) 求直线与x轴的交点坐标，利用x轴上点的纵坐标为0的性质，将y=0代入直线$l_1$的解析式，即可求出点D的横坐标，得到D点坐标。
(2) 已知直线$l_2$经过A、B两个定点，采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般式$y=kx+b$，将A、B两点坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到k、b的值，即可确定$l_2$的函数表达式。
(3) 求$△ ADC$的面积，首先需要求出两直线交点C的坐标：联立$l_1$和$l_2$的解析式，解方程组即可得到C点坐标；再计算底AD的长度（A、D都在x轴上，横坐标之差的绝对值即为AD的长），高为C点到x轴的距离（即C点纵坐标的绝对值），最后代入三角形面积公式计算即可。
(4) $△ ADP$和$△ ADC$同底为AD，面积相等则两三角形的高相等，即点P到x轴的距离等于点C到x轴的距离；已知点P异于C，因此P点纵坐标为C点纵坐标的相反数，将纵坐标代入$l_2$的解析式即可求出P点横坐标，得到P点坐标。
【解析】
(1) 对于直线$l_1:y=-3x+3$，x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，得：
$0=-3x+3$，解得$x=1$
$\therefore$ 点D的坐标为$(1,0)$。
(2) 设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(4,0)$、$B(3,-\dfrac{3}{2})$代入得：
$\begin{cases}4k+b=0\\3k+b=-\dfrac{3}{2}\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$k=\dfrac{3}{2}$，将$k=\dfrac{3}{2}$代入$4k+b=0$，得$6+b=0$，解得$b=-6$
$\therefore$ 直线$l_2$的函数表达式为$y=\dfrac{3}{2}x-6$。
(3) 联立$l_1$和$l_2$的解析式：
$\begin{cases}y=-3x+3\\y=\dfrac{3}{2}x-6\end{cases}$
则$-3x+3=\dfrac{3}{2}x-6$，移项整理得$\dfrac{9}{2}x=9$，解得$x=2$，代入$y=-3x+3$得$y=-3$
$\therefore$ 点C的坐标为$(2,-3)$
底$AD$的长度为$4-1=3$，高为点C到x轴的距离，即$|y_C|=3$
$\therefore S_{△ ADC}=\dfrac{1}{2}× AD× |y_C|=\dfrac{1}{2}×3×3=\dfrac{9}{2}$。
(4) $△ ADP$与$△ ADC$同底AD，面积相等则高相等，即P点纵坐标的绝对值为3，由于P异于C，因此P点纵坐标为3，代入$y=\dfrac{3}{2}x-6$得：
$3=\dfrac{3}{2}x-6$，解得$x=6$
$\therefore$ 点P的坐标为$(6,3)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,0)}$
(2) $\boldsymbol{y=\dfrac{3}{2}x-6}$
(3) $\boldsymbol{\dfrac{9}{2}}$
(4) $\boldsymbol{(6,3)}$
【知识点】
一次函数图象性质，待定系数法求解析式，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，涵盖了一次函数交点求解、解析式确定、面积计算等核心考点，解题过程中结合数形结合思想可简化思考过程，是巩固一次函数相关知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7