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1.一个直七棱柱如图所示，观察这个直七棱柱，回答下列问题：
(1)这个直七棱柱共有多少个面？
(2)这个直七棱柱共有多少条棱？共有多少个顶点？
(3)通过对棱柱的观察，请说出n棱柱的顶点数与n的关系以及n棱柱棱的条数与n的关系。
(1)这个直七棱柱共有多少个面？
(2)这个直七棱柱共有多少条棱？共有多少个顶点？
(3)通过对棱柱的观察，请说出n棱柱的顶点数与n的关系以及n棱柱棱的条数与n的关系。
答案
1.解:(1)这个直七棱柱共有 9 个面.
(2)这个直七棱柱共有 21 条棱，共有 14 个顶点.
(3)通过观察棱柱可知，n 棱柱共有 2n 个顶点，3n 条棱.
(2)这个直七棱柱共有 21 条棱，共有 14 个顶点.
(3)通过观察棱柱可知，n 棱柱共有 2n 个顶点，3n 条棱.
解析
【分析】
解决本题首先要明确直棱柱的结构特点：直棱柱有2个完全相同的多边形底面，侧面均为长方形，侧棱长度相等。解题时我们可以先从直七棱柱的特殊情况入手分析，再推广到一般的n棱柱：
1. 计算面数时，分别统计底面和侧面的数量，求和即可得到总面数；
2. 计算棱数时，上下底面的边都属于棱，加上连接上下底面对应顶点的侧棱，三者相加可得总棱数；顶点数为上下两个底面的顶点总数；
3. 将直七棱柱计算结果中的7替换为n，就能归纳得到n棱柱的顶点数、棱数和n的关系。
【解析】
(1) 直七棱柱有2个七边形的上下底面，还有7个长方形侧面，总面数为$2+7=9$个；
(2) 直七棱柱的上下两个底面各有7条棱，还有7条连接上下底面的侧棱，总棱数为$7×2+7=21$条；上下两个底面各有7个顶点，总顶点数为$7×2=14$个；
(3) 结合直七棱柱的计算规律推广到n棱柱：n棱柱上下两个底面各有n个顶点，总顶点数为$2n$；上下两个底面各有n条棱，加上n条侧棱，总棱数为$2n+n=3n$。
【答案】
(1)这个直七棱柱共有9个面；
(2)这个直七棱柱共有21条棱，共有14个顶点；
(3)n棱柱共有2n个顶点，3n条棱。
【知识点】
棱柱的结构特征，规律探究，立体图形认识
【点评】
本题考查棱柱的基本性质，解题核心是掌握棱柱的组成结构，通过特殊棱柱推导一般规律的过程，能帮助大家更好地理解立体图形的构成，属于基础题型，熟练掌握棱柱相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确直棱柱的结构特点：直棱柱有2个完全相同的多边形底面，侧面均为长方形，侧棱长度相等。解题时我们可以先从直七棱柱的特殊情况入手分析，再推广到一般的n棱柱：
1. 计算面数时，分别统计底面和侧面的数量，求和即可得到总面数；
2. 计算棱数时，上下底面的边都属于棱，加上连接上下底面对应顶点的侧棱，三者相加可得总棱数；顶点数为上下两个底面的顶点总数；
3. 将直七棱柱计算结果中的7替换为n，就能归纳得到n棱柱的顶点数、棱数和n的关系。
【解析】
(1) 直七棱柱有2个七边形的上下底面，还有7个长方形侧面，总面数为$2+7=9$个；
(2) 直七棱柱的上下两个底面各有7条棱，还有7条连接上下底面的侧棱，总棱数为$7×2+7=21$条；上下两个底面各有7个顶点，总顶点数为$7×2=14$个；
(3) 结合直七棱柱的计算规律推广到n棱柱：n棱柱上下两个底面各有n个顶点，总顶点数为$2n$；上下两个底面各有n条棱，加上n条侧棱，总棱数为$2n+n=3n$。
【答案】
(1)这个直七棱柱共有9个面；
(2)这个直七棱柱共有21条棱，共有14个顶点；
(3)n棱柱共有2n个顶点，3n条棱。
【知识点】
棱柱的结构特征，规律探究，立体图形认识
【点评】
本题考查棱柱的基本性质，解题核心是掌握棱柱的组成结构，通过特殊棱柱推导一般规律的过程，能帮助大家更好地理解立体图形的构成，属于基础题型，熟练掌握棱柱相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
【例2】将各选项中的平面图形绕轴旋转一周，能形成图中所示的立体图形的是 (
A
B
C
D
【规律方法】
球可看成由半圆形绕直径所在的直线旋转一周得到的，圆柱可看成由长方形绕某条边所在的直线旋转一周得到的，圆锥可看成由直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周得到的，圆台可看成由直角梯形绕其较短腰所在的直线旋转一周得到的。
A
)A
B
C
D
【规律方法】
球可看成由半圆形绕直径所在的直线旋转一周得到的，圆柱可看成由长方形绕某条边所在的直线旋转一周得到的，圆锥可看成由直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周得到的，圆台可看成由直角梯形绕其较短腰所在的直线旋转一周得到的。
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是运用“面动成体”的规律，首先明确常见基本平面图形绕轴旋转后得到的立体图形：直角三角形绕直角边旋转一周得到圆锥，长方形绕一条边旋转一周得到圆柱。接下来先判断题干立体图形的组成，再对应找能旋转出该组合体的平面图形即可。
【解析】
根据面动成体的原理：
1. 题干给出的立体图形是由下方的圆柱和上方的圆锥组合而成的。
2. 结合规律方法可知：长方形绕一条边旋转一周可得到圆柱，直角三角形绕一条直角边旋转一周可得到圆锥。因此要旋转得到该组合立体图形，对应的平面图形应当是下方为长方形、上方为直角三角形，且二者有一条公共边作为旋转轴。
3. 只有选项A的平面图形符合上述特征，其余选项旋转后均无法得到题干中的立体图形，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1.面动成体 2.旋转体的形成 3.点线面体的关系
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的相关知识，属于基础概念类题目，只要熟练掌握常见基本平面图形旋转后对应的立体图形，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题的核心是运用“面动成体”的规律，首先明确常见基本平面图形绕轴旋转后得到的立体图形：直角三角形绕直角边旋转一周得到圆锥，长方形绕一条边旋转一周得到圆柱。接下来先判断题干立体图形的组成，再对应找能旋转出该组合体的平面图形即可。
【解析】
根据面动成体的原理：
1. 题干给出的立体图形是由下方的圆柱和上方的圆锥组合而成的。
2. 结合规律方法可知：长方形绕一条边旋转一周可得到圆柱，直角三角形绕一条直角边旋转一周可得到圆锥。因此要旋转得到该组合立体图形，对应的平面图形应当是下方为长方形、上方为直角三角形，且二者有一条公共边作为旋转轴。
3. 只有选项A的平面图形符合上述特征，其余选项旋转后均无法得到题干中的立体图形，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1.面动成体 2.旋转体的形成 3.点线面体的关系
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的相关知识，属于基础概念类题目，只要熟练掌握常见基本平面图形旋转后对应的立体图形，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2.下列选项中，将三角形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形的是 (
A
B
C
D
知识建构
几何图形
抽象
点动成线
线动成面
面动成体
点 线 面 体
线线相交的地方是点
面面相交的地方形成线
包围着体的是面
构成图形的基本元素
分直线和曲线
分平的面和曲的面
立体图形
B
)A
B
C
D
知识建构
几何图形
抽象
点动成线
线动成面
面动成体
点 线 面 体
线线相交的地方是点
面面相交的地方形成线
包围着体的是面
构成图形的基本元素
分直线和曲线
分平的面和曲的面
立体图形
答案
2.B
解析
【分析】
解题需用到“面动成体”的核心原理，思路如下：首先回忆常见平面图形旋转形成立体图形的规律，直角三角形绕自身一条直角边旋转一周会得到圆锥；再观察题干中的立体图形，它是两个底面重合的圆锥拼接而成的，说明用来旋转的三角形需要满足：轴穿过三角形内部，把三角形分成两个分别位于轴两侧的直角三角形，这样旋转后就能得到两个共底的圆锥，以此为依据逐一判断选项即可。
【解析】
根据点线面体中“面动成体”的规律分析：
1. 单个直角三角形绕其一条直角边旋转一周，得到的立体图形是单个圆锥，不符合题干中两个圆锥拼接的立体特征，可排除对应选项。
2. 选项B中的三角形，旋转轴穿过其一个顶点，且将三角形分成两个分别位于轴两侧、直角边长度相等的直角三角形，旋转一周后，两个直角三角形各形成一个圆锥，且两个圆锥的底面完全重合，刚好和题干的立体图形一致。
3. 其余选项旋转后得到的立体图形均与题干不符，因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
面动成体；点线面体的关系；圆锥的形成
【点评】
本题主要考查对面动成体原理的实际应用，需要结合平面图形和立体图形的转化规律进行判断，只要掌握常见旋转体的形成过程就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题需用到“面动成体”的核心原理，思路如下：首先回忆常见平面图形旋转形成立体图形的规律，直角三角形绕自身一条直角边旋转一周会得到圆锥；再观察题干中的立体图形，它是两个底面重合的圆锥拼接而成的，说明用来旋转的三角形需要满足：轴穿过三角形内部，把三角形分成两个分别位于轴两侧的直角三角形，这样旋转后就能得到两个共底的圆锥，以此为依据逐一判断选项即可。
【解析】
根据点线面体中“面动成体”的规律分析：
1. 单个直角三角形绕其一条直角边旋转一周，得到的立体图形是单个圆锥，不符合题干中两个圆锥拼接的立体特征，可排除对应选项。
2. 选项B中的三角形，旋转轴穿过其一个顶点，且将三角形分成两个分别位于轴两侧、直角边长度相等的直角三角形，旋转一周后，两个直角三角形各形成一个圆锥，且两个圆锥的底面完全重合，刚好和题干的立体图形一致。
3. 其余选项旋转后得到的立体图形均与题干不符，因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
面动成体；点线面体的关系；圆锥的形成
【点评】
本题主要考查对面动成体原理的实际应用，需要结合平面图形和立体图形的转化规律进行判断，只要掌握常见旋转体的形成过程就能快速解题。
【难度系数】
0.8
1.如图，在下面四个立体图形中，含有曲面的立体图形的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先明确题目要求是统计含曲面的立体图形个数，首先回忆立体图形的面分为平面和曲面两类，接下来只需逐个判断四个立体图形的组成面是否包含曲面，最后汇总符合要求的数量即可。
【解析】
立体图形的面分为平面和曲面两种，我们对四个常见立体图形逐一判断：
1. 第一个（正方体/棱柱类图形）：所有面都是平面，不含曲面；
2. 第二个（圆柱）：侧面为曲面，上下底面为平面，含有曲面；
3. 第三个（圆锥）：侧面为曲面，底面为平面，含有曲面；
4. 第四个（长方体/棱柱类图形）：所有面都是平面，不含曲面。
综上，含有曲面的立体图形共有2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
面的分类；常见立体图形的特征
【点评】
本题考查对立体图形构成的基础认知，熟悉各类常见立体图形的面的特点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目要求是统计含曲面的立体图形个数，首先回忆立体图形的面分为平面和曲面两类，接下来只需逐个判断四个立体图形的组成面是否包含曲面，最后汇总符合要求的数量即可。
【解析】
立体图形的面分为平面和曲面两种，我们对四个常见立体图形逐一判断：
1. 第一个（正方体/棱柱类图形）：所有面都是平面，不含曲面；
2. 第二个（圆柱）：侧面为曲面，上下底面为平面，含有曲面；
3. 第三个（圆锥）：侧面为曲面，底面为平面，含有曲面；
4. 第四个（长方体/棱柱类图形）：所有面都是平面，不含曲面。
综上，含有曲面的立体图形共有2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
面的分类；常见立体图形的特征
【点评】
本题考查对立体图形构成的基础认知，熟悉各类常见立体图形的面的特点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2.(传统文化)中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系.“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为(
A.点动成线，线动成面
B.线动成面，面动成体
C.点动成线，面动成体
D.点动成面，面动成线
A
)A.点动成线，线动成面
B.线动成面，面动成体
C.点动成线，面动成体
D.点动成面，面动成线
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先回忆点、线、面、体的动态关系：点动成线，线动成面，面动成体。再分别拆解两句俗语对应的几何现象：首先分析“枪挑一条线”，枪头可看作一个点，点运动后形成的轨迹是线；再分析“棍扫一大片”，棍可近似看作一条线，线运动后扫过的区域是面，匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
我们分别分析两个场景的几何原理：
1. “枪挑一条线”：枪的尖端可看作一个点，枪挑的动作是该点快速运动，运动的轨迹就是一条线，符合“点动成线”的规律。
2. “棍扫一大片”：棍的整体可近似看作一条线，棍挥动时这条线扫过的区域是一个平面，符合“线动成面”的规律。
因此两句俗语对应的数学解释为点动成线，线动成面，故选A。
【答案】
A
【知识点】
点线面体的动态关系
【点评】
本题结合中华传统文化的武术场景考查几何基础知识，将抽象的数学概念和生活实际结合，有利于学生理解数学的实用性，夯实基础概念。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆点、线、面、体的动态关系：点动成线，线动成面，面动成体。再分别拆解两句俗语对应的几何现象：首先分析“枪挑一条线”，枪头可看作一个点，点运动后形成的轨迹是线；再分析“棍扫一大片”，棍可近似看作一条线，线运动后扫过的区域是面，匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
我们分别分析两个场景的几何原理：
1. “枪挑一条线”：枪的尖端可看作一个点，枪挑的动作是该点快速运动，运动的轨迹就是一条线，符合“点动成线”的规律。
2. “棍扫一大片”：棍的整体可近似看作一条线，棍挥动时这条线扫过的区域是一个平面，符合“线动成面”的规律。
因此两句俗语对应的数学解释为点动成线，线动成面，故选A。
【答案】
A
【知识点】
点线面体的动态关系
【点评】
本题结合中华传统文化的武术场景考查几何基础知识，将抽象的数学概念和生活实际结合，有利于学生理解数学的实用性，夯实基础概念。
【难度系数】
0.9
