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1. 如图，在平面直角坐标系中，将$△ OAB$以原点$O$为位似中心放大后得到$△ OCD$.若$B(0,1)$，$D(0,3)$，则$△ OAB$与$△ OCD$的相似比是（
A.$2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$3$
D.$\frac{1}{3}$
D
）A.$2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$3$
D.$\frac{1}{3}$
答案
1.D
解析
【分析】要计算两个位似三角形的相似比，首先回忆位似的性质：位似是特殊的相似，相似比等于对应点到位似中心的距离之比。本题位似中心是原点O，B和D是一组对应点，先根据B、D的坐标求出OB、OD的长度，再注意相似比是△OAB与△OCD的比，即原图形与放大后图形的比，代入计算即可。
【解析】
解：
∵$B(0,1)$，$D(0,3)$，
∴$OB=1$，$OD=3$。
∵$△OAB$以原点$O$为位似中心放大得到$△OCD$，点$B$和点$D$是对应点，
∴$△OAB$与$△OCD$的相似比为$OB:OD=1:3=\frac{1}{3}$。
故选：D。
【答案】D
【知识点】位似的性质，坐标与线段长度
【点评】本题属于基础题，主要考查位似图形相似比的计算，解题时要注意相似比的前后对应顺序，不要将原图形和新图形的顺序搞反导致出错。
【难度系数】0.8
【解析】
解：
∵$B(0,1)$，$D(0,3)$，
∴$OB=1$，$OD=3$。
∵$△OAB$以原点$O$为位似中心放大得到$△OCD$，点$B$和点$D$是对应点，
∴$△OAB$与$△OCD$的相似比为$OB:OD=1:3=\frac{1}{3}$。
故选：D。
【答案】D
【知识点】位似的性质，坐标与线段长度
【点评】本题属于基础题，主要考查位似图形相似比的计算，解题时要注意相似比的前后对应顺序，不要将原图形和新图形的顺序搞反导致出错。
【难度系数】0.8
2.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别是O(0,0),A(2,1),B(1,2),以原点O为位似中心,在第三象限画△OA'B'与△OAB位似.若△OA'B'与△OAB的相似比为2,则点A的对应点A'的坐标为（
A.$(-2,-1)$
B.$(-4,-2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-2,-4)$
B
）A.$(-2,-1)$
B.$(-4,-2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-2,-4)$
答案
2.B
解析
【分析】
首先提取题目的关键条件：位似中心为原点O，△OA'B'与△OAB的相似比为2，且△OA'B'在第三象限，原△OAB在第一象限。接下来回忆相关规律：平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换，若相似比为k，当两个位似图形在原点同侧时，对应点坐标为原坐标乘k；当两个图形在原点异侧时，对应点坐标为原坐标乘-k。最后结合本题条件，两个图形在原点异侧，所以k取-2，代入A点坐标计算即可得到A'的坐标。
【解析】
解：
∵ 以原点O为位似中心，△OA'B'与△OAB的相似比为2，且△OA'B'位于第三象限，与第一象限的△OAB在原点异侧，
∴ 位似变换的对应点坐标为原坐标乘以-2，
已知点A的坐标为(2,1)，因此点A的对应点A'的坐标为：
$ 2×(-2)=-4 $，$ 1×(-2)=-2 $，即A'(-4,-2)。
【答案】
B
【知识点】
1.位似变换的坐标规律；2.相似比的应用
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换，解题时要注意结合位似图形的位置判断坐标符号，不能只关注相似比的大小而忽略符号，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
首先提取题目的关键条件：位似中心为原点O，△OA'B'与△OAB的相似比为2，且△OA'B'在第三象限，原△OAB在第一象限。接下来回忆相关规律：平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换，若相似比为k，当两个位似图形在原点同侧时，对应点坐标为原坐标乘k；当两个图形在原点异侧时，对应点坐标为原坐标乘-k。最后结合本题条件，两个图形在原点异侧，所以k取-2，代入A点坐标计算即可得到A'的坐标。
【解析】
解：
∵ 以原点O为位似中心，△OA'B'与△OAB的相似比为2，且△OA'B'位于第三象限，与第一象限的△OAB在原点异侧，
∴ 位似变换的对应点坐标为原坐标乘以-2，
已知点A的坐标为(2,1)，因此点A的对应点A'的坐标为：
$ 2×(-2)=-4 $，$ 1×(-2)=-2 $，即A'(-4,-2)。
【答案】
B
【知识点】
1.位似变换的坐标规律；2.相似比的应用
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换，解题时要注意结合位似图形的位置判断坐标符号，不能只关注相似比的大小而忽略符号，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC与矩形OA'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,点B的坐标为(8,4).若AA'=2,则CC'的长是 (
A.3
B.4
C.4.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.4.5
D.6
答案
3.B
解析
【分析】
解决本题首先回忆位似图形的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应线段的比等于位似比。第一步先根据点B的坐标，结合矩形的性质得到OA、OC的长度；第二步根据AA'的长度求出OA'的长度，进而得到两个矩形的位似比；第三步利用位似比求出OC'的长度，最后计算CC'的长度即可。
【解析】
∵ 四边形OABC是矩形，点B的坐标为(8,4)
∴ A(0,4)，C(8,0)，即OA=4，OC=8
∵ AA'=2
∴ OA'=OA+AA'=4+2=6
∵ 矩形OABC与矩形OA'B'C'以点O为位似中心
∴ 位似比$k=\frac{OA'}{OA}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
∴ $OC'=OC× k=8×\frac{3}{2}=12$
∴ $CC'=OC'-OC=12-8=4$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题考查位似图形的实际应用，解题的关键是结合矩形的边长准确求出位似比，再利用位似比计算对应线段的长度，掌握位似图形对应线段的比等于位似比是解题核心。
【难度系数】
0.8
解决本题首先回忆位似图形的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应线段的比等于位似比。第一步先根据点B的坐标，结合矩形的性质得到OA、OC的长度；第二步根据AA'的长度求出OA'的长度，进而得到两个矩形的位似比；第三步利用位似比求出OC'的长度，最后计算CC'的长度即可。
【解析】
∵ 四边形OABC是矩形，点B的坐标为(8,4)
∴ A(0,4)，C(8,0)，即OA=4，OC=8
∵ AA'=2
∴ OA'=OA+AA'=4+2=6
∵ 矩形OABC与矩形OA'B'C'以点O为位似中心
∴ 位似比$k=\frac{OA'}{OA}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
∴ $OC'=OC× k=8×\frac{3}{2}=12$
∴ $CC'=OC'-OC=12-8=4$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题考查位似图形的实际应用，解题的关键是结合矩形的边长准确求出位似比，再利用位似比计算对应线段的长度，掌握位似图形对应线段的比等于位似比是解题核心。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△CDE是位似图形，点O是坐标原点，点A，B，C，D，E都在格点上，且A(-2,0)，则位似中心的坐标是（
A.(-1,-1)
B.(-2,2)
C.(2,2)
D.(-2,0)
C
）A.(-1,-1)
B.(-2,2)
C.(2,2)
D.(-2,0)
答案
4.C
解析
【分析】
要确定两个位似图形的位似中心，需结合位似图形的性质：位似图形的所有对应顶点的连线都经过位似中心，即两组对应顶点连线的交点就是位似中心。解题时先找到△ABO和△CDE的两组对应顶点，分别过每组对应顶点作直线，两条直线的交点即为所求的位似中心。
【解析】
根据位似中心的定义，位似中心是位似图形对应顶点连线的公共交点：
1. 首先确定两组对应顶点，分别连接点B与点E、点A与点D；
2. 将这两条线段向图形的同侧延长，可观察到两条直线的交点坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$，该点就是两个三角形的位似中心。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；位似中心的确定；平面直角坐标系
【点评】
本题考查平面直角坐标系中位似中心的求解，解题核心是牢记位似中心是位似图形对应点连线的交点，找到两组对应点连线求交点即可得到答案，属于对基础概念的应用型考题。
【难度系数】
0.7
要确定两个位似图形的位似中心，需结合位似图形的性质：位似图形的所有对应顶点的连线都经过位似中心，即两组对应顶点连线的交点就是位似中心。解题时先找到△ABO和△CDE的两组对应顶点，分别过每组对应顶点作直线，两条直线的交点即为所求的位似中心。
【解析】
根据位似中心的定义，位似中心是位似图形对应顶点连线的公共交点：
1. 首先确定两组对应顶点，分别连接点B与点E、点A与点D；
2. 将这两条线段向图形的同侧延长，可观察到两条直线的交点坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$，该点就是两个三角形的位似中心。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；位似中心的确定；平面直角坐标系
【点评】
本题考查平面直角坐标系中位似中心的求解，解题核心是牢记位似中心是位似图形对应点连线的交点，找到两组对应点连线求交点即可得到答案，属于对基础概念的应用型考题。
【难度系数】
0.7
5.(2025·绥化)在平面直角坐标系中,把△ABC以原点O为位似中心放大,得到△A'B'C'.若点A和它的对应点A'的坐标分别为(3,7),(-9,-21),则△ABC与△A'B'C'的相似比为
$\frac{1}{3}$
.答案
5.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换性质。首先明确相似比是原图形△ABC与位似后得到的新图形△A'B'C'的对应边的比值，再结合对应点的坐标计算比值即可，注意相似比取正值，且要明确比值的前后顺序不能颠倒。
【解析】
∵ 以原点O为位似中心，把△ABC放大得到△A'B'C'，
∴ 点A与其对应点A'的坐标比的绝对值等于△ABC与△A'B'C'的相似比。
已知A(3,7)，A'(-9,-21)，
则 $\left|\frac{3}{-9}\right|=\frac{1}{3}$，$\left|\frac{7}{-21}\right|=\frac{1}{3}$，
∴ △ABC与△A'B'C'的相似比为 $\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
平面直角坐标系位似变换；位似的性质；相似比
【点评】
本题属于基础题，重点考查位似变换在平面直角坐标系中的应用，解题时需注意相似比的前后对应顺序，避免因颠倒原图形和新图形的顺序算错位似比。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换性质。首先明确相似比是原图形△ABC与位似后得到的新图形△A'B'C'的对应边的比值，再结合对应点的坐标计算比值即可，注意相似比取正值，且要明确比值的前后顺序不能颠倒。
【解析】
∵ 以原点O为位似中心，把△ABC放大得到△A'B'C'，
∴ 点A与其对应点A'的坐标比的绝对值等于△ABC与△A'B'C'的相似比。
已知A(3,7)，A'(-9,-21)，
则 $\left|\frac{3}{-9}\right|=\frac{1}{3}$，$\left|\frac{7}{-21}\right|=\frac{1}{3}$，
∴ △ABC与△A'B'C'的相似比为 $\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
平面直角坐标系位似变换；位似的性质；相似比
【点评】
本题属于基础题，重点考查位似变换在平面直角坐标系中的应用，解题时需注意相似比的前后对应顺序，避免因颠倒原图形和新图形的顺序算错位似比。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(-2,2),B(-3,0),C(-1,-1)$.
(1)以原点$O$为位似中心,在$y$轴右侧画一个$△ A_1B_1C_1$,使它与$△ ABC$位似,且相似比为2,其中点$A,B,C$的对应点分别为点$A_1,B_1,C_1$.
(2)在(1)的条件下,若$M(a,b)$是线段$AB$上一点,则点$M$的对应点$M_1$的坐标为________.
(1)以原点$O$为位似中心,在$y$轴右侧画一个$△ A_1B_1C_1$,使它与$△ ABC$位似,且相似比为2,其中点$A,B,C$的对应点分别为点$A_1,B_1,C_1$.
(2)在(1)的条件下,若$M(a,b)$是线段$AB$上一点,则点$M$的对应点$M_1$的坐标为________.
答案
6.解:(1)图略.(2)$(-2a,-2b)$
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换，解题思路如下：1. 先回忆位似变换的坐标规律：当位似中心为原点，相似比为k时，若位似图形与原图形在位似中心同侧，对应点坐标乘k；若在异侧，对应点坐标乘-k。2. 第一问要求位似图形在y轴右侧，原△ABC所有点横坐标均为负，说明新图形与原图形在原点两侧，相似比为2，因此对应点坐标需乘-2，计算出A₁、B₁、C₁的坐标后描点连线即可。3. 第二问直接套用上述坐标变换规律，即可得到M点对应点的坐标。
【解析】
(1) 已知位似中心为原点O，相似比为2，且△A₁B₁C₁在y轴右侧，与△ABC在原点异侧，因此△A₁B₁C₁各顶点坐标为原顶点坐标乘-2：
点A(-2,2)对应A₁的坐标：$(-2×(-2),2×(-2))=(4,-4)$
点B(-3,0)对应B₁的坐标：$(-3×(-2),0×(-2))=(6,0)$
点C(-1,-1)对应C₁的坐标：$(-1×(-2),-1×(-2))=(2,2)$
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁，图略。
(2) 根据上述位似坐标变换规律，线段AB上的点M(a,b)的对应点M₁的坐标为原坐标乘-2，即$(-2a,-2b)$。
【答案】
(1) 图略；(2) $\boldsymbol{(-2a,-2b)}$
【知识点】
位似的坐标变换、位似图形的性质
【点评】
本题核心考察位似变换的坐标规律，解题的关键是判断位似图形与原图形在位似中心的同侧还是异侧，从而确定坐标的符号变化，掌握位似坐标变换规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系中的位似变换，解题思路如下：1. 先回忆位似变换的坐标规律：当位似中心为原点，相似比为k时，若位似图形与原图形在位似中心同侧，对应点坐标乘k；若在异侧，对应点坐标乘-k。2. 第一问要求位似图形在y轴右侧，原△ABC所有点横坐标均为负，说明新图形与原图形在原点两侧，相似比为2，因此对应点坐标需乘-2，计算出A₁、B₁、C₁的坐标后描点连线即可。3. 第二问直接套用上述坐标变换规律，即可得到M点对应点的坐标。
【解析】
(1) 已知位似中心为原点O，相似比为2，且△A₁B₁C₁在y轴右侧，与△ABC在原点异侧，因此△A₁B₁C₁各顶点坐标为原顶点坐标乘-2：
点A(-2,2)对应A₁的坐标：$(-2×(-2),2×(-2))=(4,-4)$
点B(-3,0)对应B₁的坐标：$(-3×(-2),0×(-2))=(6,0)$
点C(-1,-1)对应C₁的坐标：$(-1×(-2),-1×(-2))=(2,2)$
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁，图略。
(2) 根据上述位似坐标变换规律，线段AB上的点M(a,b)的对应点M₁的坐标为原坐标乘-2，即$(-2a,-2b)$。
【答案】
(1) 图略；(2) $\boldsymbol{(-2a,-2b)}$
【知识点】
位似的坐标变换、位似图形的性质
【点评】
本题核心考察位似变换的坐标规律，解题的关键是判断位似图形与原图形在位似中心的同侧还是异侧，从而确定坐标的符号变化，掌握位似坐标变换规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 在平面直角坐标系中，$△ COD$与$△ AOB$位似，且相似比为$\frac{1}{2}$，位似中心为原点$O$.若点$C$的坐标为$(-3,-2)$，则其对应点$A$的坐标是________.
答案
7.$(-6,-4)$或$(6,4)$
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标特征：位似中心为原点时，位似图形对应点的坐标之比等于相似比或相似比的相反数，分别对应位似图形在位似中心同侧、异侧两种情况。其次明确相似比的对应关系：本题中△COD与△AOB的相似比为$\frac{1}{2}$，即△AOB是△COD放大2倍的位似图形，因此点A的坐标是点C坐标的±2倍。最后代入点C的坐标计算即可，注意不要漏解。
【解析】
解：已知平面直角坐标系中，以原点为位似中心的两个位似图形，对应点的坐标比等于相似比或其相反数。
∵△COD与△AOB位似，位似中心为原点O，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴△AOB与△COD的相似比为2，即点A的坐标为点C坐标乘以2或乘以-2。
∵点C的坐标为$(-3,-2)$，
①当两个位似图形位于原点同侧时：
$A(-3×2, -2×2)=(-6,-4)$；
②当两个位似图形位于原点异侧时：
$A(-3×(-2), -2×(-2))=(6,4)$。
综上，点A的坐标为$(-6,-4)$或$(6,4)$。
【答案】
$(-6,-4)$或$(6,4)$
【知识点】
位似的坐标规律，相似比
【点评】
本题考查原点为位似中心的位似图形坐标变化规律，解题时要注意明确相似比的前后对应关系，同时考虑到位似图形的两种位置情况，避免因忽略异侧情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标特征：位似中心为原点时，位似图形对应点的坐标之比等于相似比或相似比的相反数，分别对应位似图形在位似中心同侧、异侧两种情况。其次明确相似比的对应关系：本题中△COD与△AOB的相似比为$\frac{1}{2}$，即△AOB是△COD放大2倍的位似图形，因此点A的坐标是点C坐标的±2倍。最后代入点C的坐标计算即可，注意不要漏解。
【解析】
解：已知平面直角坐标系中，以原点为位似中心的两个位似图形，对应点的坐标比等于相似比或其相反数。
∵△COD与△AOB位似，位似中心为原点O，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴△AOB与△COD的相似比为2，即点A的坐标为点C坐标乘以2或乘以-2。
∵点C的坐标为$(-3,-2)$，
①当两个位似图形位于原点同侧时：
$A(-3×2, -2×2)=(-6,-4)$；
②当两个位似图形位于原点异侧时：
$A(-3×(-2), -2×(-2))=(6,4)$。
综上，点A的坐标为$(-6,-4)$或$(6,4)$。
【答案】
$(-6,-4)$或$(6,4)$
【知识点】
位似的坐标规律，相似比
【点评】
本题考查原点为位似中心的位似图形坐标变化规律，解题时要注意明确相似比的前后对应关系，同时考虑到位似图形的两种位置情况，避免因忽略异侧情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
