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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，$BC=5$，将$△ ABC$绕边$AC$所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（
A.$25π$
B.$65π$
C.$90π$
D.$130π$
B
）A.$25π$
B.$65π$
C.$90π$
D.$130π$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先需要明确直角三角形绕直角边旋转后得到的圆锥各部分与原三角形边长的对应关系，再结合圆锥侧面积公式计算即可。解题思路如下：第一步，先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，也就是旋转后圆锥的母线长；第二步，确定旋转后圆锥的底面半径；第三步，代入圆锥侧面积公式计算结果，对应选项选出答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，$BC=5$，根据勾股定理可得斜边$AB$的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$
将$△ ABC$绕边$AC$所在直线旋转一周得到圆锥，此时圆锥的底面半径$r=BC=5$，母线长$l=AB=13$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入数据得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×5×13=65π$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；圆锥的认识；圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题的核心是明确旋转形成的圆锥各部分参数与原三角形边长的对应关系，熟练掌握圆锥侧面积计算公式就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们首先需要明确直角三角形绕直角边旋转后得到的圆锥各部分与原三角形边长的对应关系，再结合圆锥侧面积公式计算即可。解题思路如下：第一步，先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，也就是旋转后圆锥的母线长；第二步，确定旋转后圆锥的底面半径；第三步，代入圆锥侧面积公式计算结果，对应选项选出答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，$BC=5$，根据勾股定理可得斜边$AB$的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$
将$△ ABC$绕边$AC$所在直线旋转一周得到圆锥，此时圆锥的底面半径$r=BC=5$，母线长$l=AB=13$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入数据得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×5×13=65π$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；圆锥的认识；圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题的核心是明确旋转形成的圆锥各部分参数与原三角形边长的对应关系，熟练掌握圆锥侧面积计算公式就能快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 一个圆锥的母线长为5 cm，高为4 cm，则这个圆锥的侧面积为（
A.$5\ \mathrm{cm}^2$
B.$10π\ \mathrm{cm}^2$
C.$15π\ \mathrm{cm}^2$
D.$20π\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$5\ \mathrm{cm}^2$
B.$10π\ \mathrm{cm}^2$
C.$15π\ \mathrm{cm}^2$
D.$20π\ \mathrm{cm}^2$
答案
2. C
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先需要明确圆锥侧面积的计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长）。本题中母线长已知，缺少底面半径，而圆锥的母线、高、底面半径刚好构成以母线为斜边的直角三角形，因此可以先通过勾股定理求出底面半径，再代入侧面积公式计算即可。
【解析】
首先计算圆锥的底面半径：
已知圆锥母线长$l=5\mathrm{cm}$，高$h=4\mathrm{cm}$，根据勾股定理，底面半径$r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$。
再代入圆锥侧面积公式：
$S_{\mathrm{侧}}=π rl=π×3×5=15π\mathrm{cm}^2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥的结构特征、勾股定理、圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥侧面积的计算，解题的关键是明确圆锥各部分的对应关系，熟练运用勾股定理求出未知的底面半径，牢记圆锥侧面积公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的侧面积，首先需要明确圆锥侧面积的计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长）。本题中母线长已知，缺少底面半径，而圆锥的母线、高、底面半径刚好构成以母线为斜边的直角三角形，因此可以先通过勾股定理求出底面半径，再代入侧面积公式计算即可。
【解析】
首先计算圆锥的底面半径：
已知圆锥母线长$l=5\mathrm{cm}$，高$h=4\mathrm{cm}$，根据勾股定理，底面半径$r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$。
再代入圆锥侧面积公式：
$S_{\mathrm{侧}}=π rl=π×3×5=15π\mathrm{cm}^2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥的结构特征、勾股定理、圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥侧面积的计算，解题的关键是明确圆锥各部分的对应关系，熟练运用勾股定理求出未知的底面半径，牢记圆锥侧面积公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 用一个半径为6 cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的表面积为（
A.$(6π +6)\ \mathrm{cm}^2$
B.$12π\ \mathrm{cm}^2$
C.$18π\ \mathrm{cm}^2$
D.$27π\ \mathrm{cm}^2$
D
）A.$(6π +6)\ \mathrm{cm}^2$
B.$12π\ \mathrm{cm}^2$
C.$18π\ \mathrm{cm}^2$
D.$27π\ \mathrm{cm}^2$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先要明确半圆围成圆锥的对应关系：半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，半圆的面积就是圆锥的侧面积。圆锥的表面积为侧面积加底面积，因此解题步骤为：先计算半圆的面积得到圆锥侧面积，再通过半圆弧长求出圆锥底面半径，进而计算底面积，最后将侧面积和底面积相加得到总表面积。
【解析】
1. 计算圆锥的侧面积：侧面积等于半径为6cm的半圆的面积
$ S_{\mathrm{侧}} = \frac{1}{2} π r^2 = \frac{1}{2} × π × 6^2 = 18π \ \mathrm{cm}^2 $
2. 计算半圆的弧长（即圆锥底面圆的周长）：
$ L = \frac{1}{2} × 2π r = π × 6 = 6π \ \mathrm{cm} $
3. 求圆锥底面半径$ R $：设底面圆半径为$ R $，由圆的周长公式$ C=2π R $得
$ 2π R = 6π \implies R=3\ \mathrm{cm} $
4. 计算圆锥底面积：
$ S_{\mathrm{底}} = π R^2 = π × 3^2 =9π \ \mathrm{cm}^2 $
5. 计算圆锥总表面积：
$ S_{\mathrm{表}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 18π +9π =27π \ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
D
【知识点】
圆锥的计算；弧长公式；圆的面积计算
【点评】
本题考查平面图形与立体图形的转化应用，解题核心是找准半圆和圆锥各部分的对应关系，易错点是容易遗漏计算圆锥的底面积，直接把半圆面积当作最终结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确半圆围成圆锥的对应关系：半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，半圆的面积就是圆锥的侧面积。圆锥的表面积为侧面积加底面积，因此解题步骤为：先计算半圆的面积得到圆锥侧面积，再通过半圆弧长求出圆锥底面半径，进而计算底面积，最后将侧面积和底面积相加得到总表面积。
【解析】
1. 计算圆锥的侧面积：侧面积等于半径为6cm的半圆的面积
$ S_{\mathrm{侧}} = \frac{1}{2} π r^2 = \frac{1}{2} × π × 6^2 = 18π \ \mathrm{cm}^2 $
2. 计算半圆的弧长（即圆锥底面圆的周长）：
$ L = \frac{1}{2} × 2π r = π × 6 = 6π \ \mathrm{cm} $
3. 求圆锥底面半径$ R $：设底面圆半径为$ R $，由圆的周长公式$ C=2π R $得
$ 2π R = 6π \implies R=3\ \mathrm{cm} $
4. 计算圆锥底面积：
$ S_{\mathrm{底}} = π R^2 = π × 3^2 =9π \ \mathrm{cm}^2 $
5. 计算圆锥总表面积：
$ S_{\mathrm{表}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 18π +9π =27π \ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
D
【知识点】
圆锥的计算；弧长公式；圆的面积计算
【点评】
本题考查平面图形与立体图形的转化应用，解题核心是找准半圆和圆锥各部分的对应关系，易错点是容易遗漏计算圆锥的底面积，直接把半圆面积当作最终结果。
【难度系数】
0.6
4. 已知圆锥的底面圆的半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为（
A.2.5
B.5
C.10
D.15
C
）A.2.5
B.5
C.10
D.15
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先回忆圆锥侧面展开图的相关性质：圆锥的底面周长等于其侧面展开图的弧长，侧面展开图的半径等于圆锥的母线长。本题中侧面展开后是半圆，因此可以通过“底面周长=半圆弧长”建立等量关系求解母线长。具体思路为：①先根据底面半径算出底面周长；②设母线长为$l$，用$l$表示出展开后半圆的弧长；③根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设该圆锥的母线长为$l$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
已知底面半径$r=5$，根据圆的周长公式可得：
$C_{\mathrm{底}}=2π r=2π×5=10π$
2. 表示侧面展开半圆的弧长：
侧面展开半圆的半径等于圆锥母线长$l$，因此半圆弧长为整圆周长的一半：
$C_{\mathrm{弧}}=\frac{1}{2}×2π l=π l$
3. 列方程求解：
根据“圆锥底面周长=侧面展开图弧长”的等量关系列方程：
$π l=10π$
两边同时消去$π$，解得$l=10$
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面展开图特征、圆的周长计算
【点评】
本题属于圆锥相关的基础常考题，解题核心是抓住圆锥底面周长与侧面展开图弧长相等的对应关系，掌握该等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆锥侧面展开图的相关性质：圆锥的底面周长等于其侧面展开图的弧长，侧面展开图的半径等于圆锥的母线长。本题中侧面展开后是半圆，因此可以通过“底面周长=半圆弧长”建立等量关系求解母线长。具体思路为：①先根据底面半径算出底面周长；②设母线长为$l$，用$l$表示出展开后半圆的弧长；③根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设该圆锥的母线长为$l$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
已知底面半径$r=5$，根据圆的周长公式可得：
$C_{\mathrm{底}}=2π r=2π×5=10π$
2. 表示侧面展开半圆的弧长：
侧面展开半圆的半径等于圆锥母线长$l$，因此半圆弧长为整圆周长的一半：
$C_{\mathrm{弧}}=\frac{1}{2}×2π l=π l$
3. 列方程求解：
根据“圆锥底面周长=侧面展开图弧长”的等量关系列方程：
$π l=10π$
两边同时消去$π$，解得$l=10$
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面展开图特征、圆的周长计算
【点评】
本题属于圆锥相关的基础常考题，解题核心是抓住圆锥底面周长与侧面展开图弧长相等的对应关系，掌握该等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 已知一个圆锥的侧面积恰好等于其底面圆面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角为
$180°$
.答案
5. $180°$
解析
【分析】
解决本题的核心是梳理圆锥各个量之间的对应关系：首先明确圆锥的底面积、侧面积公式，结合题干“侧面积是底面积的2倍”的条件，先推导出母线长和底面半径的数量关系；再利用圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面周长的性质，代入推导得到的母线与半径的关系，即可求出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$，侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 根据面积关系推导母线与底面半径的关系：
圆锥底面积为$π r^2$，侧面积为$π rl$，由题意得：
$π rl = 2× π r^2$
两边同时约去不为0的$π r$，可得$l=2r$。
2. 结合侧面展开图的弧长性质求圆心角：
圆锥侧面展开图是扇形，其弧长等于圆锥底面周长，因此有：
$\frac{nπ l}{180} = 2π r$
将$l=2r$代入上式，得：
$\frac{nπ · 2r}{180} = 2π r$
两边同时约去不为0的$2π r$，可得$\frac{n}{180}=1$，解得$n=180$。
【答案】
$180°$
【知识点】
1. 圆锥侧面积公式
2. 圆锥与侧面展开图的对应关系
3. 扇形弧长公式
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，解题的关键是牢记圆锥底面半径、母线长与侧面展开图扇形各量的对应等量关系，熟练运用相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是梳理圆锥各个量之间的对应关系：首先明确圆锥的底面积、侧面积公式，结合题干“侧面积是底面积的2倍”的条件，先推导出母线长和底面半径的数量关系；再利用圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面周长的性质，代入推导得到的母线与半径的关系，即可求出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$，侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 根据面积关系推导母线与底面半径的关系：
圆锥底面积为$π r^2$，侧面积为$π rl$，由题意得：
$π rl = 2× π r^2$
两边同时约去不为0的$π r$，可得$l=2r$。
2. 结合侧面展开图的弧长性质求圆心角：
圆锥侧面展开图是扇形，其弧长等于圆锥底面周长，因此有：
$\frac{nπ l}{180} = 2π r$
将$l=2r$代入上式，得：
$\frac{nπ · 2r}{180} = 2π r$
两边同时约去不为0的$2π r$，可得$\frac{n}{180}=1$，解得$n=180$。
【答案】
$180°$
【知识点】
1. 圆锥侧面积公式
2. 圆锥与侧面展开图的对应关系
3. 扇形弧长公式
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，解题的关键是牢记圆锥底面半径、母线长与侧面展开图扇形各量的对应等量关系，熟练运用相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 把半径为4 cm的半圆围成一个圆锥，使半圆圆心为圆锥的顶点，那么这个圆锥的高是
$2\sqrt{3}$
cm（结果保留根号）。答案
6. $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解决本题的核心是理清半圆与围成圆锥的对应关系：①原半圆的半径就是圆锥的母线长；②原半圆的弧长等于圆锥底面的周长。解题时先通过半圆的弧长求出圆锥底面半径，再结合勾股定理，利用母线长、底面半径、圆锥高的数量关系求出高即可。
【解析】
设圆锥的底面半径为$ r\ \mathrm{cm} $，圆锥的母线长为$ l\ \mathrm{cm} $：
1. 确定母线长：由题意得，母线长等于原半圆的半径，即$ l = 4\ \mathrm{cm} $。
2. 计算底面半径：原半圆的弧长为$ \frac{1}{2} × 2π × 4 = 4π\ \mathrm{cm} $，该弧长等于圆锥底面周长，因此有$ 2π r = 4π $，解得$ r = 2\ \mathrm{cm} $。
3. 计算圆锥的高：圆锥的高$ h $、母线$ l $、底面半径$ r $满足勾股定理，因此：
$ h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $
【答案】
$ 2\sqrt{3} $
【知识点】
圆锥的计算；弧长的计算；勾股定理
【点评】
本题是圆锥侧面展开相关的基础题型，解题的关键是准确建立侧面展开图和圆锥各参数的对应关系，结合基础几何公式即可求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是理清半圆与围成圆锥的对应关系：①原半圆的半径就是圆锥的母线长；②原半圆的弧长等于圆锥底面的周长。解题时先通过半圆的弧长求出圆锥底面半径，再结合勾股定理，利用母线长、底面半径、圆锥高的数量关系求出高即可。
【解析】
设圆锥的底面半径为$ r\ \mathrm{cm} $，圆锥的母线长为$ l\ \mathrm{cm} $：
1. 确定母线长：由题意得，母线长等于原半圆的半径，即$ l = 4\ \mathrm{cm} $。
2. 计算底面半径：原半圆的弧长为$ \frac{1}{2} × 2π × 4 = 4π\ \mathrm{cm} $，该弧长等于圆锥底面周长，因此有$ 2π r = 4π $，解得$ r = 2\ \mathrm{cm} $。
3. 计算圆锥的高：圆锥的高$ h $、母线$ l $、底面半径$ r $满足勾股定理，因此：
$ h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $
【答案】
$ 2\sqrt{3} $
【知识点】
圆锥的计算；弧长的计算；勾股定理
【点评】
本题是圆锥侧面展开相关的基础题型，解题的关键是准确建立侧面展开图和圆锥各参数的对应关系，结合基础几何公式即可求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD=6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为
4
cm.答案
7. 4
解析
【分析】
解题的核心等量关系是：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先设AB的长为x cm，先计算扇形ABF的弧长：扇形是圆心角为90°、半径为x的四分之一圆，代入弧长公式即可求出弧长。再分析右侧矩形EFCD中最大圆的参数：矩形的短边长度为(6-x) cm，即最大圆的直径为(6-x) cm，进而求出底面圆的周长。最后根据弧长与底面周长相等列方程求解即可。
【解析】
解：设AB的长为$x$ cm。
∵ 四边形ABFE是正方形，
∴ $AB=BF=x$ cm，$∠ B=90°$，
∴ 扇形ABF的弧长为 $\frac{90π x}{180}=\frac{π x}{2}$ cm。
∵ $AD=6$ cm，$BC=AD$，
∴ $FC=BC-BF=6-x$ cm，
矩形EFCD内半径最大的圆的直径等于FC的长度，即直径$d=6-x$ cm，
∴ 该圆的周长为 $π d=π(6-x)$ cm。
∵ 扇形和圆恰好可作为圆锥的侧面和底面，
∴ 扇形弧长 = 底面圆周长，即：
$\frac{π x}{2}=π(6-x)$
两边同时除以$π$得：$\frac{x}{2}=6-x$，
解得：$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
圆锥侧底面关系，弧长计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是几何与方程结合的基础应用题，解题的关键是找准扇形弧长和底面圆周长相等的等量关系，同时需要结合图形特征准确得到各线段的长度，侧重考察读图分析能力和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
解题的核心等量关系是：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先设AB的长为x cm，先计算扇形ABF的弧长：扇形是圆心角为90°、半径为x的四分之一圆，代入弧长公式即可求出弧长。再分析右侧矩形EFCD中最大圆的参数：矩形的短边长度为(6-x) cm，即最大圆的直径为(6-x) cm，进而求出底面圆的周长。最后根据弧长与底面周长相等列方程求解即可。
【解析】
解：设AB的长为$x$ cm。
∵ 四边形ABFE是正方形，
∴ $AB=BF=x$ cm，$∠ B=90°$，
∴ 扇形ABF的弧长为 $\frac{90π x}{180}=\frac{π x}{2}$ cm。
∵ $AD=6$ cm，$BC=AD$，
∴ $FC=BC-BF=6-x$ cm，
矩形EFCD内半径最大的圆的直径等于FC的长度，即直径$d=6-x$ cm，
∴ 该圆的周长为 $π d=π(6-x)$ cm。
∵ 扇形和圆恰好可作为圆锥的侧面和底面，
∴ 扇形弧长 = 底面圆周长，即：
$\frac{π x}{2}=π(6-x)$
两边同时除以$π$得：$\frac{x}{2}=6-x$，
解得：$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
圆锥侧底面关系，弧长计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是几何与方程结合的基础应用题，解题的关键是找准扇形弧长和底面圆周长相等的等量关系，同时需要结合图形特征准确得到各线段的长度，侧重考察读图分析能力和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
8. 一个圆锥的高为 $3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，侧面展开图是半圆，求：
（1）圆锥母线长与底面圆的半径的比；
（2）圆锥的全面积（结果保留 $π$）。
（1）圆锥母线长与底面圆的半径的比；
（2）圆锥的全面积（结果保留 $π$）。
答案
8. 解（1）设圆锥母线长为 $l$，底面圆的半径为 $r$. 由题意得 $2πr = \dfrac{180πl}{180}$，所以 $l=2r$. 所以圆锥母线长与底面半径的比为 $2:1$.
（2）因为 $r^2 + (3\sqrt{3})^2 = l^2$，
即 $r^2 + (3\sqrt{3})^2 = 4r^2$，所以 $r=3$.
所以 $l=6$. 所以圆锥的全面积$= π×3^2 + \dfrac{1}{2}×2π×3×6 = 27π\ (\mathrm{cm}^2)$.
（2）因为 $r^2 + (3\sqrt{3})^2 = l^2$，
即 $r^2 + (3\sqrt{3})^2 = 4r^2$，所以 $r=3$.
所以 $l=6$. 所以圆锥的全面积$= π×3^2 + \dfrac{1}{2}×2π×3×6 = 27π\ (\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
本题考查圆锥的相关计算，解题思路如下：
（1）要求母线长与底面半径的比，首先明确圆锥侧面展开图（半圆）的弧长等于圆锥底面圆的周长，分别表示出两个长度列等式，即可得到母线长$l$和底面半径$r$的数量关系，进而求出比值。
（2）要求全面积，需要先求出$r$和$l$的具体值：圆锥的高、母线、底面半径刚好构成直角三角形，结合勾股定理和第一问得到的$l=2r$的关系，就能解出$r$和$l$的长度，再代入“全面积=底面积+侧面积”的公式计算即可。
【解析】
（1）设圆锥母线长为$l$，底面圆的半径为$r$。
圆锥侧面展开图是半圆，其弧长为$\frac{180π l}{180}=π l$，该弧长等于圆锥底面圆的周长$2π r$，因此可得：
$2π r=π l$
化简得$l=2r$，因此母线长与底面圆半径的比为$l:r=2r:r=2:1$。
（2）圆锥的高、母线、底面半径构成直角三角形，由勾股定理可得：
$r^2 + h^2 = l^2$，其中高$h=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，结合$l=2r$代入得：
$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = (2r)^2$
计算得$r^2 + 27 = 4r^2$，整理得$3r^2=27$，解得$r=3\ \mathrm{cm}$（半径为正数，舍去负解）。
因此$l=2r=6\ \mathrm{cm}$。
圆锥全面积为底面积加侧面积：
$S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{底}} + S_{\mathrm{侧}} = π r^2 + π r l = π×3^2 + π×3×6 = 9π + 18π = 27π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
（1）$2:1$；（2）$27π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥侧面展开图的性质；勾股定理；圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥计算的基础题型，解题的核心是抓住两个等量关系：一是侧面展开图的弧长等于底面周长，二是圆锥的高、母线、底面半径满足勾股定理，熟练掌握相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题考查圆锥的相关计算，解题思路如下：
（1）要求母线长与底面半径的比，首先明确圆锥侧面展开图（半圆）的弧长等于圆锥底面圆的周长，分别表示出两个长度列等式，即可得到母线长$l$和底面半径$r$的数量关系，进而求出比值。
（2）要求全面积，需要先求出$r$和$l$的具体值：圆锥的高、母线、底面半径刚好构成直角三角形，结合勾股定理和第一问得到的$l=2r$的关系，就能解出$r$和$l$的长度，再代入“全面积=底面积+侧面积”的公式计算即可。
【解析】
（1）设圆锥母线长为$l$，底面圆的半径为$r$。
圆锥侧面展开图是半圆，其弧长为$\frac{180π l}{180}=π l$，该弧长等于圆锥底面圆的周长$2π r$，因此可得：
$2π r=π l$
化简得$l=2r$，因此母线长与底面圆半径的比为$l:r=2r:r=2:1$。
（2）圆锥的高、母线、底面半径构成直角三角形，由勾股定理可得：
$r^2 + h^2 = l^2$，其中高$h=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，结合$l=2r$代入得：
$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = (2r)^2$
计算得$r^2 + 27 = 4r^2$，整理得$3r^2=27$，解得$r=3\ \mathrm{cm}$（半径为正数，舍去负解）。
因此$l=2r=6\ \mathrm{cm}$。
圆锥全面积为底面积加侧面积：
$S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{底}} + S_{\mathrm{侧}} = π r^2 + π r l = π×3^2 + π×3×6 = 9π + 18π = 27π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
（1）$2:1$；（2）$27π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥侧面展开图的性质；勾股定理；圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥计算的基础题型，解题的核心是抓住两个等量关系：一是侧面展开图的弧长等于底面周长，二是圆锥的高、母线、底面半径满足勾股定理，熟练掌握相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
