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【例2】如图，顶点为M的抛物线$y=ax^2+bx+3$与x轴交于$A(3,0),B(-1,0)$两点，与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线对应的函数解析式.
(2)在y轴上是否存在一点P，使得$△ PAM$
为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)求这条抛物线对应的函数解析式.
(2)在y轴上是否存在一点P，使得$△ PAM$
为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
(1) $y=-x^2+2x+3$。
(2)当点P的坐标为$(0,\frac{7}{2})$或$(0,1)$或$(0,3)$或$(0,-\frac{3}{2})$时，$△ PAM$为直角三角形。
(2)当点P的坐标为$(0,\frac{7}{2})$或$(0,1)$或$(0,3)$或$(0,-\frac{3}{2})$时，$△ PAM$为直角三角形。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可将两点坐标代入抛物线一般式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求得系数，进而得到函数解析式。
(2) 这是直角三角形存在性问题，需分类讨论三个顶点分别为直角顶点的情况：①直角顶点为A；②直角顶点为M；③直角顶点为P。先求出顶点M的坐标，设y轴上点P坐标为(0,p)，利用坐标法表示出三角形三边长度的平方，再根据勾股定理列方程求解p的值，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 将$A(3,0)$、$B(-1,0)$代入$y=ax^2+bx+3$，得：
$\begin{cases}9a+3b+3=0 \\a-b+3=0 \end{cases}$
由第二个方程得$b=a+3$，代入第一个方程：
$9a+3(a+3)+3=0$，解得$a=-1$，则$b=-1+3=2$
所以抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 存在，理由如下：
先将抛物线解析式配方求顶点M坐标：
$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，所以顶点$M(1,4)$
设y轴上点P坐标为$(0,p)$，根据坐标距离公式计算三边平方：
$PA^2=(3-0)^2+(0-p)^2=p^2+9$
$AM^2=(3-1)^2+(0-4)^2=20$
$PM^2=(1-0)^2+(4-p)^2=p^2-8p+17$
分三种情况讨论：
① 当$∠ PAM=90°$时，$PA^2+AM^2=PM^2$
代入得：$p^2+9+20=p^2-8p+17$，解得$p=-\frac{3}{2}$，即$P(0,-\frac{3}{2})$
② 当$∠ AMP=90°$时，$AM^2+PM^2=PA^2$
代入得：$20+p^2-8p+17=p^2+9$，解得$p=\frac{7}{2}$，即$P(0,\frac{7}{2})$
③ 当$∠ APM=90°$时，$PA^2+PM^2=AM^2$
代入得：$p^2+9+p^2-8p+17=20$，整理得$p^2-4p+3=0$，解得$p=1$或$p=3$，即$P(0,1)$或$P(0,3)$
综上，满足条件的P点共有4个。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$
(2) 存在，点P的坐标为$(0,\frac{7}{2})$或$(0,1)$或$(0,3)$或$(0,-\frac{3}{2})$
【知识点】
二次函数解析式求解，直角三角形存在性，勾股定理应用
【点评】
本题是二次函数与几何结合的常考题型，解题核心是掌握分类讨论思想，对直角顶点的所有可能情况逐一分析，避免漏解，同时要熟练运用坐标法结合勾股定理列方程求解未知量。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可将两点坐标代入抛物线一般式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求得系数，进而得到函数解析式。
(2) 这是直角三角形存在性问题，需分类讨论三个顶点分别为直角顶点的情况：①直角顶点为A；②直角顶点为M；③直角顶点为P。先求出顶点M的坐标，设y轴上点P坐标为(0,p)，利用坐标法表示出三角形三边长度的平方，再根据勾股定理列方程求解p的值，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 将$A(3,0)$、$B(-1,0)$代入$y=ax^2+bx+3$，得：
$\begin{cases}9a+3b+3=0 \\a-b+3=0 \end{cases}$
由第二个方程得$b=a+3$，代入第一个方程：
$9a+3(a+3)+3=0$，解得$a=-1$，则$b=-1+3=2$
所以抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 存在，理由如下：
先将抛物线解析式配方求顶点M坐标：
$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，所以顶点$M(1,4)$
设y轴上点P坐标为$(0,p)$，根据坐标距离公式计算三边平方：
$PA^2=(3-0)^2+(0-p)^2=p^2+9$
$AM^2=(3-1)^2+(0-4)^2=20$
$PM^2=(1-0)^2+(4-p)^2=p^2-8p+17$
分三种情况讨论：
① 当$∠ PAM=90°$时，$PA^2+AM^2=PM^2$
代入得：$p^2+9+20=p^2-8p+17$，解得$p=-\frac{3}{2}$，即$P(0,-\frac{3}{2})$
② 当$∠ AMP=90°$时，$AM^2+PM^2=PA^2$
代入得：$20+p^2-8p+17=p^2+9$，解得$p=\frac{7}{2}$，即$P(0,\frac{7}{2})$
③ 当$∠ APM=90°$时，$PA^2+PM^2=AM^2$
代入得：$p^2+9+p^2-8p+17=20$，整理得$p^2-4p+3=0$，解得$p=1$或$p=3$，即$P(0,1)$或$P(0,3)$
综上，满足条件的P点共有4个。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$
(2) 存在，点P的坐标为$(0,\frac{7}{2})$或$(0,1)$或$(0,3)$或$(0,-\frac{3}{2})$
【知识点】
二次函数解析式求解，直角三角形存在性，勾股定理应用
【点评】
本题是二次函数与几何结合的常考题型，解题核心是掌握分类讨论思想，对直角顶点的所有可能情况逐一分析，避免漏解，同时要熟练运用坐标法结合勾股定理列方程求解未知量。
【难度系数】
0.6
【例1】某中学在科技实验活动中，设计制作了一款“水火箭”，已知该款“水火箭”的升空高度$h$（单位：m）与飞行时间$t$（单位：s）满足函数解析式$h=at^2+bt+1$。已知该款“水火箭”飞行3 s和飞行9 s时的升空高度相同，飞行8 s时的升空高度为33 m，则该款“水火箭”升空的最大高度为
37
m.答案
37
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：第一步，根据“飞行3s和飞行9s时升空高度相同”，结合二次函数的对称性，可求出函数的对称轴；第二步，利用二次函数对称轴公式，得到a和b的数量关系；第三步，将t=8、h=33代入函数解析式，结合a、b的关系求解出a和b的值，确定函数解析式；第四步，将二次函数配方为顶点式，或直接代入对称轴对应的t值，即可求出最大升空高度。
【解析】
∵ 飞行3 s和飞行9 s时的升空高度相同，
∴ 二次函数$h=at^2+bt+1$的对称轴为直线$t=\frac{3+9}{2}=6$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为$t=-\frac{b}{2a}$，因此：
$-\frac{b}{2a}=6$，整理得$b=-12a$ ①。
又
∵ 飞行8 s时升空高度为33 m，将$t=8$，$h=33$代入解析式得：
$a×8^2 + b×8 +1=33$，整理得$64a+8b=32$，即$8a+b=4$ ②。
将①代入②得：$8a-12a=4$，解得$a=-1$。
把$a=-1$代入①得：$b=-12×(-1)=12$。
∴ 函数解析式为$h=-t^2+12t+1$，配方得：
$h=-(t^2-12t)+1=-(t-6)^2+36+1=-(t-6)^2+37$。
∵ $a=-1＜0$，二次函数开口向下，
∴ 当$t=6$时，$h$取得最大值37，即最大升空高度为37 m。
【答案】
37
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合科技实验的实际场景考查二次函数的相关应用，解题的核心是利用二次函数的对称性快速确定对称轴，再结合已知条件求出函数解析式，最终得到最值，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：第一步，根据“飞行3s和飞行9s时升空高度相同”，结合二次函数的对称性，可求出函数的对称轴；第二步，利用二次函数对称轴公式，得到a和b的数量关系；第三步，将t=8、h=33代入函数解析式，结合a、b的关系求解出a和b的值，确定函数解析式；第四步，将二次函数配方为顶点式，或直接代入对称轴对应的t值，即可求出最大升空高度。
【解析】
∵ 飞行3 s和飞行9 s时的升空高度相同，
∴ 二次函数$h=at^2+bt+1$的对称轴为直线$t=\frac{3+9}{2}=6$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为$t=-\frac{b}{2a}$，因此：
$-\frac{b}{2a}=6$，整理得$b=-12a$ ①。
又
∵ 飞行8 s时升空高度为33 m，将$t=8$，$h=33$代入解析式得：
$a×8^2 + b×8 +1=33$，整理得$64a+8b=32$，即$8a+b=4$ ②。
将①代入②得：$8a-12a=4$，解得$a=-1$。
把$a=-1$代入①得：$b=-12×(-1)=12$。
∴ 函数解析式为$h=-t^2+12t+1$，配方得：
$h=-(t^2-12t)+1=-(t-6)^2+36+1=-(t-6)^2+37$。
∵ $a=-1＜0$，二次函数开口向下，
∴ 当$t=6$时，$h$取得最大值37，即最大升空高度为37 m。
【答案】
37
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合科技实验的实际场景考查二次函数的相关应用，解题的核心是利用二次函数的对称性快速确定对称轴，再结合已知条件求出函数解析式，最终得到最值，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
【例2】如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx(a＜0)$与正比例函数$y=kx$的图象都经过点$A(3,3)$,点$P$为二次函数图象上点$O$与点$A$之间的一点,过点$P$作$x$轴的垂线,交$OA$于点$C$,交$x$轴于点$D$.
(1)若点$A$为该二次函数图象的顶点.
①求该二次函数的解析式.
②求线段$PC$长度的最大值.
(2)若该二次函数图象与$x$轴的一个交点为$B(m,0)$,且$m＞4$,求$a$的取值范围.
(1)若点$A$为该二次函数图象的顶点.
①求该二次函数的解析式.
②求线段$PC$长度的最大值.
(2)若该二次函数图象与$x$轴的一个交点为$B(m,0)$,且$m＞4$,求$a$的取值范围.
答案
(1)① $y=-\frac{1}{3}x^2+2x$。
②线段$PC$长度的最大值为$\frac{3}{4}$。
(2)$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
②线段$PC$长度的最大值为$\frac{3}{4}$。
(2)$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
解析
【分析】
（1）①已知二次函数顶点为$A(3,3)$，可结合顶点坐标公式与点$A$在二次函数图象上的条件，联立方程组求解$a$、$b$的值，得到二次函数解析式。②先求出直线$OA$的解析式，设出点$P$的横坐标，用含横坐标的代数式分别表示$P$、$C$两点的纵坐标，两点纵坐标之差即为$PC$的长度，将$PC$的长度转化为关于横坐标的二次函数，利用二次函数的性质求最大值。（2）先将点$A$代入二次函数解析式得到$a$与$b$的关系，再求出二次函数与$x$轴交点$B$的横坐标表达式，结合$m＞4$的条件列不等式，结合$a＜0$的已知条件求解$a$的取值范围。
【解析】
(1)①
∵二次函数$y=ax^2+bx(a＜0)$的顶点为$A(3,3)$，
∴顶点横坐标满足：$-\frac{b}{2a}=3$，
将$A(3,3)$代入二次函数解析式得：$9a+3b=3$，
联立得方程组$\begin{cases}-\frac{b}{2a}=3\\9a+3b=3\end{cases}$，
由第一个方程得$b=-6a$，代入第二个方程：
$9a+3×(-6a)=3$，解得$a=-\frac{1}{3}$，
则$b=-6×(-\frac{1}{3})=2$，
∴二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{3}x^2+2x$。
②设直线$OA$的解析式为$y=kx$，将$A(3,3)$代入得$3k=3$，解得$k=1$，
∴直线$OA$的解析式为$y=x$。
设点$P$的横坐标为$t(0＜t＜3)$，
∵$PD⊥ x$轴，
∴$P(t,-\frac{1}{3}t^2+2t)$，$C(t,t)$，
∴$PC=(-\frac{1}{3}t^2+2t)-t=-\frac{1}{3}t^2+t$，
该二次函数开口向下，当$t=-\frac{1}{2×(-\frac{1}{3})}=\frac{3}{2}$时，$PC$取得最大值，
最大值为$-\frac{1}{3}×(\frac{3}{2})^2+\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$。
(2)将$A(3,3)$代入$y=ax^2+bx$得：$9a+3b=3$，化简得$b=1-3a$，
令$y=0$，则$ax^2+bx=0$，即$x(ax+b)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-\frac{b}{a}$，
∴点$B$的坐标为$(-\frac{b}{a},0)$，即$m=-\frac{b}{a}$，
由题意$m＞4$，
∴$-\frac{b}{a}＞4$，
将$b=1-3a$代入得：$-\frac{1-3a}{a}＞4$，即$\frac{3a-1}{a}＞4$，
∵$a＜0$，不等式两边同时乘$a$，不等号方向改变，得：
$3a-1＜4a$，解得$a＞-1$，
又
∵$a＜0$，
∴$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)① $y=-\frac{1}{3}x^2+2x$；②线段$PC$长度的最大值为$\frac{3}{4}$；(2)$-1＜a＜0$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的典型综合题，解题时需结合数形结合思想梳理点坐标与函数的对应关系，求解参数范围时要注意不等式两边乘负数时不等号方向的变化，对二次函数的基础性质应用要求较高。
【难度系数】
0.65
（1）①已知二次函数顶点为$A(3,3)$，可结合顶点坐标公式与点$A$在二次函数图象上的条件，联立方程组求解$a$、$b$的值，得到二次函数解析式。②先求出直线$OA$的解析式，设出点$P$的横坐标，用含横坐标的代数式分别表示$P$、$C$两点的纵坐标，两点纵坐标之差即为$PC$的长度，将$PC$的长度转化为关于横坐标的二次函数，利用二次函数的性质求最大值。（2）先将点$A$代入二次函数解析式得到$a$与$b$的关系，再求出二次函数与$x$轴交点$B$的横坐标表达式，结合$m＞4$的条件列不等式，结合$a＜0$的已知条件求解$a$的取值范围。
【解析】
(1)①
∵二次函数$y=ax^2+bx(a＜0)$的顶点为$A(3,3)$，
∴顶点横坐标满足：$-\frac{b}{2a}=3$，
将$A(3,3)$代入二次函数解析式得：$9a+3b=3$，
联立得方程组$\begin{cases}-\frac{b}{2a}=3\\9a+3b=3\end{cases}$，
由第一个方程得$b=-6a$，代入第二个方程：
$9a+3×(-6a)=3$，解得$a=-\frac{1}{3}$，
则$b=-6×(-\frac{1}{3})=2$，
∴二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{3}x^2+2x$。
②设直线$OA$的解析式为$y=kx$，将$A(3,3)$代入得$3k=3$，解得$k=1$，
∴直线$OA$的解析式为$y=x$。
设点$P$的横坐标为$t(0＜t＜3)$，
∵$PD⊥ x$轴，
∴$P(t,-\frac{1}{3}t^2+2t)$，$C(t,t)$，
∴$PC=(-\frac{1}{3}t^2+2t)-t=-\frac{1}{3}t^2+t$，
该二次函数开口向下，当$t=-\frac{1}{2×(-\frac{1}{3})}=\frac{3}{2}$时，$PC$取得最大值，
最大值为$-\frac{1}{3}×(\frac{3}{2})^2+\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$。
(2)将$A(3,3)$代入$y=ax^2+bx$得：$9a+3b=3$，化简得$b=1-3a$，
令$y=0$，则$ax^2+bx=0$，即$x(ax+b)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-\frac{b}{a}$，
∴点$B$的坐标为$(-\frac{b}{a},0)$，即$m=-\frac{b}{a}$，
由题意$m＞4$，
∴$-\frac{b}{a}＞4$，
将$b=1-3a$代入得：$-\frac{1-3a}{a}＞4$，即$\frac{3a-1}{a}＞4$，
∵$a＜0$，不等式两边同时乘$a$，不等号方向改变，得：
$3a-1＜4a$，解得$a＞-1$，
又
∵$a＜0$，
∴$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)① $y=-\frac{1}{3}x^2+2x$；②线段$PC$长度的最大值为$\frac{3}{4}$；(2)$-1＜a＜0$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的典型综合题，解题时需结合数形结合思想梳理点坐标与函数的对应关系，求解参数范围时要注意不等式两边乘负数时不等号方向的变化，对二次函数的基础性质应用要求较高。
【难度系数】
0.65
