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1. 若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长的平方是
100或28
。答案
1. 100或28
解析
【分析】
本题是直角三角形已知两边求第三边平方的问题，解题关键是明确题目未说明已知的两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，再结合勾股定理求解：①已知的两条边都是直角边；②较长的已知边是斜边，短边是直角边。
【解析】
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况计算：
1. 当长为6和8的边均为直角边时，第三边为斜边，第三边长的平方为：
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
2. 当长为8的边为斜边，长为6的边为直角边时，第三边为另一条直角边，第三边长的平方为：
$8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$
综上，第三边长的平方是100或28。
【答案】
100或28
【知识点】
勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认8为直角边，只算出100这一个结果。解答直角三角形边长类问题时，若未明确已知边的属性，要先分情况讨论，再结合勾股定理计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是直角三角形已知两边求第三边平方的问题，解题关键是明确题目未说明已知的两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，再结合勾股定理求解：①已知的两条边都是直角边；②较长的已知边是斜边，短边是直角边。
【解析】
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况计算：
1. 当长为6和8的边均为直角边时，第三边为斜边，第三边长的平方为：
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
2. 当长为8的边为斜边，长为6的边为直角边时，第三边为另一条直角边，第三边长的平方为：
$8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$
综上，第三边长的平方是100或28。
【答案】
100或28
【知识点】
勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认8为直角边，只算出100这一个结果。解答直角三角形边长类问题时，若未明确已知边的属性，要先分情况讨论，再结合勾股定理计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=25$，$BC=7$，求$AC$的长。
答案
2. AC=24。
解析
【分析】
这是直角三角形边长求解的基础题，首先明确△ABC是直角三角形（∠C=90°），满足勾股定理的使用条件。直角所对的边AB为斜边，BC、AC是两条直角边，我们可以根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”变形，用斜边的平方减去已知直角边的平方，即可算出待求直角边的平方，再取正的平方根就得到AC的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°
∴ △ABC是直角三角形，AB为斜边
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
公式变形得：$AC^2 = AB^2 - BC^2$
将AB=25，BC=7代入式子：
$AC^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$
∵ 三角形的边长为正数
∴ $AC = \sqrt{576} = 24$
【答案】
AC=24
【知识点】
勾股定理；平方根计算
【点评】
本题是勾股定理的直接应用类题目，解题关键是准确区分直角三角形的斜边和直角边，代入公式计算时注意边长结果只能取正值，主要考察对勾股定理的基础掌握程度。
【难度系数】
0.8
这是直角三角形边长求解的基础题，首先明确△ABC是直角三角形（∠C=90°），满足勾股定理的使用条件。直角所对的边AB为斜边，BC、AC是两条直角边，我们可以根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”变形，用斜边的平方减去已知直角边的平方，即可算出待求直角边的平方，再取正的平方根就得到AC的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°
∴ △ABC是直角三角形，AB为斜边
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
公式变形得：$AC^2 = AB^2 - BC^2$
将AB=25，BC=7代入式子：
$AC^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$
∵ 三角形的边长为正数
∴ $AC = \sqrt{576} = 24$
【答案】
AC=24
【知识点】
勾股定理；平方根计算
【点评】
本题是勾股定理的直接应用类题目，解题关键是准确区分直角三角形的斜边和直角边，代入公式计算时注意边长结果只能取正值，主要考察对勾股定理的基础掌握程度。
【难度系数】
0.8
例2 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一。如图1，以$\mathrm{Rt}△ ABC$的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为$S_1$，$S_2$，$S_3$。若已知$S_1=2$，$S_2=5$，$S_3=8$，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形$DEFG$）的面积为 （
A.7
B.10
C.13
D.15
归纳总结
以直角三角形两条直角边为边长所作的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
D
）A.7
B.10
C.13
D.15
归纳总结
以直角三角形两条直角边为边长所作的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
答案
D
解析
【分析】
首先根据勾股定理的面积结论可知，以Rt△ABC三边为边作正方形时，两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积。接下来分析最大正方形的面积组成：最大正方形的面积等于三个阴影部分的面积加上两个较小正方形在其内部覆盖的面积；而两个较小正方形存在重叠区域，因此它们的总面积等于覆盖面积加上重叠部分（四边形DEFG）的面积。将勾股定理的面积关系代入上述等量关系，化简后即可得到重叠部分面积与三个阴影面积的关系，代入数值计算即可。
【解析】
设Rt△ABC的直角边AB=c、AC=b，斜边BC=a，根据勾股定理可得：
$a^2 = b^2 + c^2$，即最大正方形的面积等于两个较小正方形的面积之和。
观察图2，最大正方形的面积可表示为：$S_1+S_2+S_3 + (b^2 + c^2 - S_{DEFG})$，其中$b^2 + c^2 - S_{DEFG}$是两个较小正方形在最大正方形内的覆盖面积（减去重叠部分避免重复计算）。
因为最大正方形面积为$a^2$，因此可列等式：
$a^2 = S_1+S_2+S_3 + b^2 + c^2 - S_{DEFG}$
将$a^2 = b^2 + c^2$代入上式，两边同时消去$b^2 + c^2$，得：
$0 = S_1+S_2+S_3 - S_{DEFG}$
因此$S_{DEFG}=S_1+S_2+S_3=2+5+8=15$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，面积的和差计算
【点评】
本题将勾股定理与图形面积的和差关系结合，不需要计算各正方形的边长，通过等量代换即可快速求解，解题的关键是理清各部分面积之间的等量关系，灵活运用勾股定理的面积结论。
【难度系数】
0.6
首先根据勾股定理的面积结论可知，以Rt△ABC三边为边作正方形时，两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积。接下来分析最大正方形的面积组成：最大正方形的面积等于三个阴影部分的面积加上两个较小正方形在其内部覆盖的面积；而两个较小正方形存在重叠区域，因此它们的总面积等于覆盖面积加上重叠部分（四边形DEFG）的面积。将勾股定理的面积关系代入上述等量关系，化简后即可得到重叠部分面积与三个阴影面积的关系，代入数值计算即可。
【解析】
设Rt△ABC的直角边AB=c、AC=b，斜边BC=a，根据勾股定理可得：
$a^2 = b^2 + c^2$，即最大正方形的面积等于两个较小正方形的面积之和。
观察图2，最大正方形的面积可表示为：$S_1+S_2+S_3 + (b^2 + c^2 - S_{DEFG})$，其中$b^2 + c^2 - S_{DEFG}$是两个较小正方形在最大正方形内的覆盖面积（减去重叠部分避免重复计算）。
因为最大正方形面积为$a^2$，因此可列等式：
$a^2 = S_1+S_2+S_3 + b^2 + c^2 - S_{DEFG}$
将$a^2 = b^2 + c^2$代入上式，两边同时消去$b^2 + c^2$，得：
$0 = S_1+S_2+S_3 - S_{DEFG}$
因此$S_{DEFG}=S_1+S_2+S_3=2+5+8=15$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，面积的和差计算
【点评】
本题将勾股定理与图形面积的和差关系结合，不需要计算各正方形的边长，通过等量代换即可快速求解，解题的关键是理清各部分面积之间的等量关系，灵活运用勾股定理的面积结论。
【难度系数】
0.6
如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为25，144，则阴影部分的面积为
139
。答案
139
解析
【分析】
首先，已知正方形ABFG和ACDE的面积，根据正方形面积等于边长的平方，可得到Rt△ABC两条直角边AB、AC的长度；再利用勾股定理求出斜边BC的平方，即可得到以BC为边长的正方形的面积；最后观察图形可知，阴影部分面积等于以BC为边的正方形面积减去Rt△ABC的面积，代入数据计算即可。
【解析】
解：
∵正方形ABFG的面积为25，
∴$AB^2=25$，即$AB=5$；
∵正方形ACDE的面积为144，
∴$AC^2=144$，即$AC=12$；
∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，根据勾股定理得：
$BC^2=AB^2+AC^2=25+144=169$，即以BC为边长的正方形面积为169；
Rt△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × AC=\frac{1}{2} × 5 × 12=30$；
观察图形可得，阴影部分的面积 = 以BC为边的正方形面积 - $S_{△ ABC}$，
∴$S_{阴影}=169-30=139$。
【答案】
139
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是结合正方形面积的性质，明确直角三角形三边对应的正方形面积之间的关系，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
首先，已知正方形ABFG和ACDE的面积，根据正方形面积等于边长的平方，可得到Rt△ABC两条直角边AB、AC的长度；再利用勾股定理求出斜边BC的平方，即可得到以BC为边长的正方形的面积；最后观察图形可知，阴影部分面积等于以BC为边的正方形面积减去Rt△ABC的面积，代入数据计算即可。
【解析】
解：
∵正方形ABFG的面积为25，
∴$AB^2=25$，即$AB=5$；
∵正方形ACDE的面积为144，
∴$AC^2=144$，即$AC=12$；
∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，根据勾股定理得：
$BC^2=AB^2+AC^2=25+144=169$，即以BC为边长的正方形面积为169；
Rt△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × AC=\frac{1}{2} × 5 × 12=30$；
观察图形可得，阴影部分的面积 = 以BC为边的正方形面积 - $S_{△ ABC}$，
∴$S_{阴影}=169-30=139$。
【答案】
139
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是结合正方形面积的性质，明确直角三角形三边对应的正方形面积之间的关系，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
请根据本课所学，构建知识体系。
答案
a²+b²=c²
解析
【分析】
本题考查勾股定理的基础识记，解题时首先回忆勾股定理的内容：勾股定理描述的是直角三角形三边的数量关系，若设定直角三角形的两条直角边长度为a、b，斜边长度为c，那么三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方，对应写出表达式即可。
【解析】
勾股定理的内容为：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，若用a、b表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度，那么三边满足的关系为$a^2+b^2=c^2$，因此横线处填写该式。
【答案】
$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
勾股定理；直角三角形三边关系
【点评】
本题属于基础识记类习题，核心考查对勾股定理核心内容的掌握情况，熟练记忆勾股定理的内容是后续运用勾股定理解决边长计算、实际应用等问题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理的基础识记，解题时首先回忆勾股定理的内容：勾股定理描述的是直角三角形三边的数量关系，若设定直角三角形的两条直角边长度为a、b，斜边长度为c，那么三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方，对应写出表达式即可。
【解析】
勾股定理的内容为：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，若用a、b表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度，那么三边满足的关系为$a^2+b^2=c^2$，因此横线处填写该式。
【答案】
$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
勾股定理；直角三角形三边关系
【点评】
本题属于基础识记类习题，核心考查对勾股定理核心内容的掌握情况，熟练记忆勾股定理的内容是后续运用勾股定理解决边长计算、实际应用等问题的基础。
【难度系数】
0.9
任务导学
任务一 验证勾股定理
上节课我们在网格中探索发现了勾股定理，
这节课我们再用拼图的方式来验证一下勾股定理吧！
探究1：为了计算大正方形的面积，小明对图1中的大正方形适当割补，你们有哪些表
示大正方形面积的方式？如何验证勾股定理呢？与同伴进行交流。
探究2：你能利用图2验证勾股定理吗？
探究3：观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足$a^2 + b^2 = c^2$。
归纳总结
勾股定理的验证方法是用不同方法来计算同一图形的面积，利用所得面积相等来列等式。这种方法叫作等积法。
任务一 验证勾股定理
上节课我们在网格中探索发现了勾股定理，
这节课我们再用拼图的方式来验证一下勾股定理吧！
探究1：为了计算大正方形的面积，小明对图1中的大正方形适当割补，你们有哪些表
示大正方形面积的方式？如何验证勾股定理呢？与同伴进行交流。
探究2：你能利用图2验证勾股定理吗？
探究3：观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足$a^2 + b^2 = c^2$。
归纳总结
勾股定理的验证方法是用不同方法来计算同一图形的面积，利用所得面积相等来列等式。这种方法叫作等积法。
答案
探究1 解：(方法一)如图1，四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=c^2$，化简，得$a^2+b^2=c^2$。
(方法二)如图2，大正方形的面积-4个直角三角形的面积=小正方形的面积，即$(a+b)^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2$，化简，得$a^2+b^2=c^2$。
探究2 解：梯形的面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，三个直角三角形的面积之和为$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，所以$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$。化简，得$a^2+b^2=c^2$。
探究3 不满足。
解析
【分析】
验证勾股定理的核心是等积法，即对同一图形用两种不同方式计算面积，利用面积相等列等式，化简后即可推导得到勾股定理。探究1中，图1可将边长为c的大正方形面积拆分为4个全等直角三角形与中间小正方形的面积之和；图2可将边长为c的正方形面积转化为边长为(a+b)的大正方形面积减去4个全等直角三角形的面积。探究2中将梯形面积拆分为3个直角三角形的面积和，列等式化简即可验证。探究3中勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不满足对应三边关系。
【解析】
探究1
方法一（对应图1）：设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c。
大正方形边长为c，面积为$c^2$；大正方形由4个全等的直角三角形和1个边长为$(b-a)$的小正方形组成，4个直角三角形总面积为$4×\frac{1}{2}ab$，小正方形面积为$(b-a)^2$。
根据面积相等列等式：
$4×\frac{1}{2}ab + (b-a)^2 = c^2$
化简得：$2ab + a^2 - 2ab + b^2 = c^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
方法二（对应图2）：边长为$(a+b)$的大正方形面积为$(a+b)^2$，减去4个全等直角三角形的面积后，剩余部分是边长为c的正方形，面积为$c^2$。
列等式：
$(a+b)^2 - 4×\frac{1}{2}ab = c^2$
化简得：$a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = c^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
探究2
观察图形为上底长a、下底长b、高为$(a+b)$的梯形，根据梯形面积公式，其面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$。
同时该梯形可拆分为2个直角边为a、b的全等直角三角形，和1个直角边为c的等腰直角三角形，三个三角形的面积和为$2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$。
根据面积相等列等式：
$\frac{1}{2}(a+b)^2 = 2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$
两边同乘2后化简得：$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
探究3
勾股定理的适用前提是三角形为直角三角形，题图中的三角形不是直角三角形，因此三边长不满足$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
探究1 解：(方法一)如图1，四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=c^2$，化简，得$a^2+b^2=c^2$。
(方法二)如图2，大正方形的面积-4个直角三角形的面积=小正方形的面积，即$(a+b)^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2$，化简，得$a^2+b^2=c^2$。
探究2 解：梯形的面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，三个直角三角形的面积之和为$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，所以$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$。化简，得$a^2+b^2=c^2$。
探究3 不满足。
【知识点】
勾股定理的验证；等积法求面积；勾股定理适用范围
【点评】
本题围绕勾股定理的验证展开，核心考查等积法的应用，通过不同方法计算同一图形面积建立等式推导结论，同时明确勾股定理仅适用于直角三角形，是对勾股定理基础认知的考查。
【难度系数】
0.7
验证勾股定理的核心是等积法，即对同一图形用两种不同方式计算面积，利用面积相等列等式，化简后即可推导得到勾股定理。探究1中，图1可将边长为c的大正方形面积拆分为4个全等直角三角形与中间小正方形的面积之和；图2可将边长为c的正方形面积转化为边长为(a+b)的大正方形面积减去4个全等直角三角形的面积。探究2中将梯形面积拆分为3个直角三角形的面积和，列等式化简即可验证。探究3中勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不满足对应三边关系。
【解析】
探究1
方法一（对应图1）：设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c。
大正方形边长为c，面积为$c^2$；大正方形由4个全等的直角三角形和1个边长为$(b-a)$的小正方形组成，4个直角三角形总面积为$4×\frac{1}{2}ab$，小正方形面积为$(b-a)^2$。
根据面积相等列等式：
$4×\frac{1}{2}ab + (b-a)^2 = c^2$
化简得：$2ab + a^2 - 2ab + b^2 = c^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
方法二（对应图2）：边长为$(a+b)$的大正方形面积为$(a+b)^2$，减去4个全等直角三角形的面积后，剩余部分是边长为c的正方形，面积为$c^2$。
列等式：
$(a+b)^2 - 4×\frac{1}{2}ab = c^2$
化简得：$a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = c^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
探究2
观察图形为上底长a、下底长b、高为$(a+b)$的梯形，根据梯形面积公式，其面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$。
同时该梯形可拆分为2个直角边为a、b的全等直角三角形，和1个直角边为c的等腰直角三角形，三个三角形的面积和为$2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$。
根据面积相等列等式：
$\frac{1}{2}(a+b)^2 = 2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$
两边同乘2后化简得：$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
探究3
勾股定理的适用前提是三角形为直角三角形，题图中的三角形不是直角三角形，因此三边长不满足$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
探究1 解：(方法一)如图1，四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=c^2$，化简，得$a^2+b^2=c^2$。
(方法二)如图2，大正方形的面积-4个直角三角形的面积=小正方形的面积，即$(a+b)^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2$，化简，得$a^2+b^2=c^2$。
探究2 解：梯形的面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，三个直角三角形的面积之和为$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，所以$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$。化简，得$a^2+b^2=c^2$。
探究3 不满足。
【知识点】
勾股定理的验证；等积法求面积；勾股定理适用范围
【点评】
本题围绕勾股定理的验证展开，核心考查等积法的应用，通过不同方法计算同一图形面积建立等式推导结论，同时明确勾股定理仅适用于直角三角形，是对勾股定理基础认知的考查。
【难度系数】
0.7
