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2. 若等式$x^2 + 4x + 2 = 2(\dfrac{1}{2}x^2 - mx - n)$对一切$x$都成立，求$m$，$n$的值。
答案
2. 由题意得$x^2+4x+2=x^2−2mx−2n$，整理得$(4+2m)x+2+2n=0$. 因为等式对一切x都成立，所以4+2m=0，2+2n=0，解得m=−2，n=−1.
解析
【分析】
首先明确“等式对一切x都成立”的含义：等式两边化简后，同类项的系数必须对应相等，否则等式仅能在部分x的取值下成立。解题第一步先利用去括号法则化简等式右侧，再通过移项合并同类项，最后令x的一次项系数和常数项分别为0，即可列出一元一次方程求解m、n的值。
【解析】
先对等式右侧去括号：
$2(\dfrac{1}{2}x^2 - mx - n) = x^2 - 2mx - 2n$
因此原等式可转化为：
$x^2 + 4x + 2 = x^2 - 2mx - 2n$
两边同时减去$x^2$，再将右侧所有项移到左侧合并同类项：
$4x + 2 + 2mx + 2n = 0$
整理得：
$(4+2m)x + (2+2n) = 0$
由于等式对所有x都成立，因此x的一次项系数和常数项必须同时为0，可列方程组：
$\begin{cases}4+2m=0\\2+2n=0\end{cases}$
分别解两个一元一次方程：
由$4+2m=0$得$2m=-4$，解得$m=-2$；
由$2+2n=0$得$2n=-2$，解得$n=-1$。
【答案】
$m=-2$，$n=-1$
【知识点】
去括号运算，多项式恒等性质，解一元一次方程
【点评】
本题核心考查整式运算和恒等式的性质，解题的关键是理解“对一切x都成立”等价于等式两边同类项系数对应相等，熟练掌握去括号运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先明确“等式对一切x都成立”的含义：等式两边化简后，同类项的系数必须对应相等，否则等式仅能在部分x的取值下成立。解题第一步先利用去括号法则化简等式右侧，再通过移项合并同类项，最后令x的一次项系数和常数项分别为0，即可列出一元一次方程求解m、n的值。
【解析】
先对等式右侧去括号：
$2(\dfrac{1}{2}x^2 - mx - n) = x^2 - 2mx - 2n$
因此原等式可转化为：
$x^2 + 4x + 2 = x^2 - 2mx - 2n$
两边同时减去$x^2$，再将右侧所有项移到左侧合并同类项：
$4x + 2 + 2mx + 2n = 0$
整理得：
$(4+2m)x + (2+2n) = 0$
由于等式对所有x都成立，因此x的一次项系数和常数项必须同时为0，可列方程组：
$\begin{cases}4+2m=0\\2+2n=0\end{cases}$
分别解两个一元一次方程：
由$4+2m=0$得$2m=-4$，解得$m=-2$；
由$2+2n=0$得$2n=-2$，解得$n=-1$。
【答案】
$m=-2$，$n=-1$
【知识点】
去括号运算，多项式恒等性质，解一元一次方程
【点评】
本题核心考查整式运算和恒等式的性质，解题的关键是理解“对一切x都成立”等价于等式两边同类项系数对应相等，熟练掌握去括号运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
3. 某校七年级实行小班教学. 若每间教室安排20名学生，则恰好缺少3间教室；若每间教室安排24名学生，则恰好空出1间教室. 问这所学校为七年级学生安排了多少间教室？
答案
3. 设安排了x间教室，则20(x+3)=24(x−1)，解得x=21. 所以这所学校为七年级学生安排了21间教室.
解析
【分析】
本题是一元一次方程的实际应用问题，解题核心是抓住不变量：七年级学生总人数不变。首先设安排的教室数量为$ x $间，再分别根据两种教室安排方案表示出总人数：第一种方案每间20人时缺少3间教室，说明需要$ x+3 $间教室才能容纳全部学生，总人数为$ 20(x+3) $；第二种方案每间24人时空出1间教室，说明仅需要$ x-1 $间教室就能容纳全部学生，总人数为$ 24(x-1) $；最后根据总人数相等列方程求解即可。
【解析】
解：设这所学校为七年级学生安排了$ x $间教室。
由学生总人数不变可列方程：
$ 20(x+3) = 24(x-1) $
去括号，得：
$ 20x + 60 = 24x - 24 $
移项，得：
$ 20x - 24x = -24 - 60 $
合并同类项，得：
$ -4x = -84 $
系数化为1，得：
$ x = 21 $
【答案】
21间
【知识点】
一元一次方程应用，去括号解方程，等量关系分析
【点评】
本题是分配类实际问题的典型题目，解题的关键是找准不同分配方案下的不变量建立等量关系，答题时要注意两种方案中实际使用教室数量的表示，避免符号混淆，解方程时需遵守去括号的运算规则。
【难度系数】
0.75
本题是一元一次方程的实际应用问题，解题核心是抓住不变量：七年级学生总人数不变。首先设安排的教室数量为$ x $间，再分别根据两种教室安排方案表示出总人数：第一种方案每间20人时缺少3间教室，说明需要$ x+3 $间教室才能容纳全部学生，总人数为$ 20(x+3) $；第二种方案每间24人时空出1间教室，说明仅需要$ x-1 $间教室就能容纳全部学生，总人数为$ 24(x-1) $；最后根据总人数相等列方程求解即可。
【解析】
解：设这所学校为七年级学生安排了$ x $间教室。
由学生总人数不变可列方程：
$ 20(x+3) = 24(x-1) $
去括号，得：
$ 20x + 60 = 24x - 24 $
移项，得：
$ 20x - 24x = -24 - 60 $
合并同类项，得：
$ -4x = -84 $
系数化为1，得：
$ x = 21 $
【答案】
21间
【知识点】
一元一次方程应用，去括号解方程，等量关系分析
【点评】
本题是分配类实际问题的典型题目，解题的关键是找准不同分配方案下的不变量建立等量关系，答题时要注意两种方案中实际使用教室数量的表示，避免符号混淆，解方程时需遵守去括号的运算规则。
【难度系数】
0.75
4. 小亮和小红课间去校园操场锻炼，两人沿400 m环形跑道跑步，每次总是小红跑完2圈时，小亮跑完3圈. 一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮最后发现两人第一次相遇用时40 s.
(1)求两人的速度.
(2)若两人同时同地沿该跑道同向跑，则经过多长时间两人第一次相遇?
(3)一天，小亮与小红约定在此操场进行800 m赛跑，两人同时同地沿该跑道同向跑，等小亮完成全程的$\frac{1}{4}$时，原地停留1 min后以原来的速度开始匀速追赶小红. 在此过程中，小红始终保持速度不变，小亮能否在800 m终点前追上小红？如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由.
(1)求两人的速度.
(2)若两人同时同地沿该跑道同向跑，则经过多长时间两人第一次相遇?
(3)一天，小亮与小红约定在此操场进行800 m赛跑，两人同时同地沿该跑道同向跑，等小亮完成全程的$\frac{1}{4}$时，原地停留1 min后以原来的速度开始匀速追赶小红. 在此过程中，小红始终保持速度不变，小亮能否在800 m终点前追上小红？如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由.
答案
4. (1)设小亮的速度为3x m/s，小红的速度为2x m/s，根据题意得40(3x+2x)=400，解得x=2，所以3x=6，2x=4. 所以小亮的速度为6 m/s，小红的速度为4 m/s.
(2)设经过t s两人第一次相遇，根据题意得6t−4t=400，解得t=200. 所以经过200 s两人第一次相遇.
(3)小亮能在800 m终点前追上小红. 理由：因为小红到800 m终点时需要的时间为800÷4=200(s)，小亮到800 m终点需要的时间为$\frac{800}{6}+60=193\frac{1}{3}$(s). 因为$200＞193\frac{1}{3}$，所以小亮能在800 m终点前追上小红. 设小亮追上小红需要的时间为m s，根据题意得$200+6m=(\frac{200}{6}+60+m)×4$，解得$m=\frac{260}{3}$，所以$800−(200+6m)=800−(200+6×\frac{260}{3})=80$(m). 所以小亮能在800 m终点前追上小红，追上时距离终点还有80 m.
(2)设经过t s两人第一次相遇，根据题意得6t−4t=400，解得t=200. 所以经过200 s两人第一次相遇.
(3)小亮能在800 m终点前追上小红. 理由：因为小红到800 m终点时需要的时间为800÷4=200(s)，小亮到800 m终点需要的时间为$\frac{800}{6}+60=193\frac{1}{3}$(s). 因为$200＞193\frac{1}{3}$，所以小亮能在800 m终点前追上小红. 设小亮追上小红需要的时间为m s，根据题意得$200+6m=(\frac{200}{6}+60+m)×4$，解得$m=\frac{260}{3}$，所以$800−(200+6m)=800−(200+6×\frac{260}{3})=80$(m). 所以小亮能在800 m终点前追上小红，追上时距离终点还有80 m.
解析
【分析】
（1）根据“小红跑完2圈时小亮跑完3圈”可知，相同时间内两人的路程比为2:3，因此速度比也为2:3，可设小红速度为2x m/s，小亮速度为3x m/s；反向跑第一次相遇时两人路程之和等于跑道周长400m，结合相遇时间40s列一元一次方程求解，即可得到两人速度。
（2）同向跑第一次相遇时，速度更快的小亮比小红多跑1圈即400m，根据“路程差=速度差×时间”列方程求解即可。
（3）首先分别计算两人跑完800m的总时间，通过比较时间大小初步判断能否追上；若能追上，找准等量关系：小亮追上时的总路程=小红在对应总时间内跑的路程，其中小亮的总路程=先跑的200m+追赶阶段跑的路程，小红的总时间=小亮跑前200m的时间+小亮停留的60s+追赶时间，列方程求出追赶时间后，再计算距离终点的距离即可。
【解析】
(1) 解：由题意得相同时间内小红和小亮的路程比为2:3，因此速度比为2:3，设小红的速度为2x m/s，小亮的速度为3x m/s。
两人反向跑第一次相遇时路程和为400m，列方程：
$40(3x + 2x) = 400$
解得$x=2$
则$3x=3×2=6$，$2x=2×2=4$
(2) 解：设经过t s两人第一次相遇。
同向跑第一次相遇时小亮比小红多跑1圈即400m，列方程：
$6t - 4t = 400$
解得$t=200$
(3) 解：先计算两人跑完全程的总时间：
小红跑800m的总时间：$800÷4=200(s)$
小亮跑800m的总时间（含停留$1\mathrm{min}=60\mathrm{s}$）：$\frac{800}{6} + 60 = 193\frac{1}{3}(s)$
因为$200 ＞ 193\frac{1}{3}$，所以小亮跑完全程用时更短，能在终点前追上小红。
设小亮追上小红需要的时间为m s。
小亮先跑的路程：$800×\frac{1}{4}=200(m)$，跑前200m用时：$\frac{200}{6}s$
追上时两人路程相等，列方程：
$200 + 6m = 4×(\frac{200}{6} + 60 + m)$
解得$m=\frac{260}{3}$
此时小亮跑的总路程：$200 + 6×\frac{260}{3}=720(m)$
距离终点的距离：$800 - 720 = 80(m)$
【答案】
(1) 小亮的速度为6 m/s，小红的速度为4 m/s；
(2) 经过200 s两人第一次相遇；
(3) 能追上，追上时距离终点还有80 m。
【知识点】
一元一次方程的应用，环形跑道行程问题，追及相遇问题
【点评】
本题以操场跑步为实际场景，综合考查了行程问题的反向相遇、同向追及两类基础模型，第三问需要梳理清楚不同阶段的运动状态，找准路程、时间的等量关系，能够有效锻炼学生分析复杂运动过程、建立方程模型的能力。
【难度系数】
0.6
（1）根据“小红跑完2圈时小亮跑完3圈”可知，相同时间内两人的路程比为2:3，因此速度比也为2:3，可设小红速度为2x m/s，小亮速度为3x m/s；反向跑第一次相遇时两人路程之和等于跑道周长400m，结合相遇时间40s列一元一次方程求解，即可得到两人速度。
（2）同向跑第一次相遇时，速度更快的小亮比小红多跑1圈即400m，根据“路程差=速度差×时间”列方程求解即可。
（3）首先分别计算两人跑完800m的总时间，通过比较时间大小初步判断能否追上；若能追上，找准等量关系：小亮追上时的总路程=小红在对应总时间内跑的路程，其中小亮的总路程=先跑的200m+追赶阶段跑的路程，小红的总时间=小亮跑前200m的时间+小亮停留的60s+追赶时间，列方程求出追赶时间后，再计算距离终点的距离即可。
【解析】
(1) 解：由题意得相同时间内小红和小亮的路程比为2:3，因此速度比为2:3，设小红的速度为2x m/s，小亮的速度为3x m/s。
两人反向跑第一次相遇时路程和为400m，列方程：
$40(3x + 2x) = 400$
解得$x=2$
则$3x=3×2=6$，$2x=2×2=4$
(2) 解：设经过t s两人第一次相遇。
同向跑第一次相遇时小亮比小红多跑1圈即400m，列方程：
$6t - 4t = 400$
解得$t=200$
(3) 解：先计算两人跑完全程的总时间：
小红跑800m的总时间：$800÷4=200(s)$
小亮跑800m的总时间（含停留$1\mathrm{min}=60\mathrm{s}$）：$\frac{800}{6} + 60 = 193\frac{1}{3}(s)$
因为$200 ＞ 193\frac{1}{3}$，所以小亮跑完全程用时更短，能在终点前追上小红。
设小亮追上小红需要的时间为m s。
小亮先跑的路程：$800×\frac{1}{4}=200(m)$，跑前200m用时：$\frac{200}{6}s$
追上时两人路程相等，列方程：
$200 + 6m = 4×(\frac{200}{6} + 60 + m)$
解得$m=\frac{260}{3}$
此时小亮跑的总路程：$200 + 6×\frac{260}{3}=720(m)$
距离终点的距离：$800 - 720 = 80(m)$
【答案】
(1) 小亮的速度为6 m/s，小红的速度为4 m/s；
(2) 经过200 s两人第一次相遇；
(3) 能追上，追上时距离终点还有80 m。
【知识点】
一元一次方程的应用，环形跑道行程问题，追及相遇问题
【点评】
本题以操场跑步为实际场景，综合考查了行程问题的反向相遇、同向追及两类基础模型，第三问需要梳理清楚不同阶段的运动状态，找准路程、时间的等量关系，能够有效锻炼学生分析复杂运动过程、建立方程模型的能力。
【难度系数】
0.6
