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3. 故宫的文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作. 如果让一名文物修复师单独修复该文物需要60年完成. 假设每名文物修复师的工作效率相同, 先由18名文物修复师一起修复了1年, 然后需要再增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？
答案
3. 设需要再增加x名文物修复师，根据题意列方程得 $\frac{1}{60}×18+\frac{1}{60×12}×(18+x)×(30-12)=1$，解得x=10. 所以需要再增加10名文物修复师.
解析
【分析】
这是一道典型的工程问题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，第一步先统一时间单位，题目同时出现年和月，需将单位统一后计算单人工作效率：已知1名修复师单独完成需60年，因此单人年工作效率为$\frac{1}{60}$，单人月工作效率为$\frac{1}{60×12}$。其次拆分工作阶段：总工期为30个月，第一阶段是18人工作1年（即12个月），第二阶段是增加x人后工作剩余的$30-12=18$个月。最后根据工程问题核心等量关系“两阶段工作量之和=总工作量1”，分别表示两个阶段的工作量即可列方程求解。
【解析】
设需要再增加x名文物修复师，把总工作量看作单位1。
前1年18名修复师完成的工作量为：$\frac{1}{60}×18$
剩余工作时间为$30-12=18$个月，后期（18+x）名修复师完成的工作量为：$\frac{1}{60×12}×(18+x)×18$
根据总工作量为1列方程得：
$\frac{1}{60}×18+\frac{1}{60×12}×(18+x)×(30-12)=1$
化简方程：
$\frac{3}{10}+\frac{18+x}{40}=1$
两边同乘40消去分母：
$12+18+x=40$
解得：$x=10$
【答案】
需要再增加10名文物修复师。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，工作效率计算
【点评】
本题是工程类常规应用题，解题关键是牢记总工作量为单位“1”的设定，准确计算各阶段的工作量，注意计算时需统一时间单位，避免因单位不统一出现计算错误，能有效考查学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道典型的工程问题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，第一步先统一时间单位，题目同时出现年和月，需将单位统一后计算单人工作效率：已知1名修复师单独完成需60年，因此单人年工作效率为$\frac{1}{60}$，单人月工作效率为$\frac{1}{60×12}$。其次拆分工作阶段：总工期为30个月，第一阶段是18人工作1年（即12个月），第二阶段是增加x人后工作剩余的$30-12=18$个月。最后根据工程问题核心等量关系“两阶段工作量之和=总工作量1”，分别表示两个阶段的工作量即可列方程求解。
【解析】
设需要再增加x名文物修复师，把总工作量看作单位1。
前1年18名修复师完成的工作量为：$\frac{1}{60}×18$
剩余工作时间为$30-12=18$个月，后期（18+x）名修复师完成的工作量为：$\frac{1}{60×12}×(18+x)×18$
根据总工作量为1列方程得：
$\frac{1}{60}×18+\frac{1}{60×12}×(18+x)×(30-12)=1$
化简方程：
$\frac{3}{10}+\frac{18+x}{40}=1$
两边同乘40消去分母：
$12+18+x=40$
解得：$x=10$
【答案】
需要再增加10名文物修复师。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，工作效率计算
【点评】
本题是工程类常规应用题，解题关键是牢记总工作量为单位“1”的设定，准确计算各阶段的工作量，注意计算时需统一时间单位，避免因单位不统一出现计算错误，能有效考查学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
4. 在数学综合实践活动中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体. 经讨论，形成了如下制作方案.
几何体制作方案
步骤1：裁剪长方形彩纸.
一张长方形彩纸可按
方式裁为2块小长方形纸片，或按方式裁为3块小正方形纸片.
步骤2：制作三角插和圆部式基本单元.
一块小长方形纸片可折成一个三角插基本单元；
一块小正方形纸片可折成一个圆部式基本单元.
步骤3：制作几何体.
40个三角插基本单元和10个圆部式基本单元，可做成一个A型几何体；30个三角插基本单元和20个圆部式基本单元，可做成一个B型几何体.
请你根据制作方案，完成下列问题：
(1)若有210张长方形彩纸全部用来制作A型几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作三角插和圆部式基本单元？
(2)经过进一步讨论，同学们决定用250张长方形彩纸制作A型和B型几何体共11个，同样在不浪费纸张的前提下，用于制作三角插基本单元的彩纸应有多少张？能制作多少个A型几何体？
几何体制作方案
步骤1：裁剪长方形彩纸.
一张长方形彩纸可按
方式裁为2块小长方形纸片，或按方式裁为3块小正方形纸片.步骤2：制作三角插和圆部式基本单元.
一块小长方形纸片可折成一个三角插基本单元；
一块小正方形纸片可折成一个圆部式基本单元.
步骤3：制作几何体.
40个三角插基本单元和10个圆部式基本单元，可做成一个A型几何体；30个三角插基本单元和20个圆部式基本单元，可做成一个B型几何体.
请你根据制作方案，完成下列问题：
(1)若有210张长方形彩纸全部用来制作A型几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作三角插和圆部式基本单元？
(2)经过进一步讨论，同学们决定用250张长方形彩纸制作A型和B型几何体共11个，同样在不浪费纸张的前提下，用于制作三角插基本单元的彩纸应有多少张？能制作多少个A型几何体？
答案
4. (1)设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作2x个“三角插”，有(210−x)张按图2剪裁，则共能制作3(210−x)个“圆部式”. 若不浪费，则列出方程为$\frac{2x}{40}=\frac{3(210-x)}{10}$，解得x=180. 即用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”.
(2)设共制作m个A型几何体，(11−m)个B型几何体，则列出方程为$\frac{40m+30(11-m)}{2}+\frac{10m+20(11-m)}{3}=250$，解得m=7. 因为11−m=4，所以制作“三角插”的彩纸数量为$\frac{40×7+30×4}{2}=200$(个)，即用于制作“三角插”基本单元的彩纸应有200张，能制作7个A型几何体.
(2)设共制作m个A型几何体，(11−m)个B型几何体，则列出方程为$\frac{40m+30(11-m)}{2}+\frac{10m+20(11-m)}{3}=250$，解得m=7. 因为11−m=4，所以制作“三角插”的彩纸数量为$\frac{40×7+30×4}{2}=200$(个)，即用于制作“三角插”基本单元的彩纸应有200张，能制作7个A型几何体.
解析
【分析】
(1) 第一问首先明确两种剪裁方式的产量：1张彩纸按图1裁可得2个三角插，按图2裁可得3个圆部式。要制作A型几何体且不浪费，需满足三角插总数与圆部式总数刚好配套，即三角插总个数÷40 = 圆部式总个数÷10，据此设未知数列方程即可求解。
(2) 第二问先设A型几何体个数为m，可得B型个数为11-m，先计算两类几何体共需的三角插总个数、圆部式总个数；再根据“制作三角插的彩纸数+制作圆部式的彩纸数=250张”的等量关系列方程求解，最后代入计算制作三角插的彩纸数量即可。
【解析】
(1) 设用x张彩纸按图1剪裁制作三角插，则用$(210-x)$张彩纸按图2剪裁制作圆部式。
x张彩纸可制作三角插$2x$个，$(210-x)$张彩纸可制作圆部式$3(210-x)$个。
要配套制作A型几何体且不浪费，列方程：
$\frac{2x}{40}=\frac{3(210-x)}{10}$
解方程：
两边同乘40得$2x=12(210-x)$，
展开得$2x=2520-12x$，
移项合并得$14x=2520$，
解得$x=180$，
制作圆部式的彩纸数量为$210-180=30$张。
(2) 设制作m个A型几何体，则制作$(11-m)$个B型几何体。
总需三角插数量为$40m+30(11-m)$个，对应需要彩纸$\frac{40m+30(11-m)}{2}$张；
总需圆部式数量为$10m+20(11-m)$个，对应需要彩纸$\frac{10m+20(11-m)}{3}$张；
根据总彩纸数为250张，列方程：
$\frac{40m+30(11-m)}{2}+\frac{10m+20(11-m)}{3}=250$
解方程：
化简得$5m+165+\frac{-10m+220}{3}=250$，
两边同乘3得$15m+495-10m+220=750$，
合并同类项得$5m+715=750$，
解得$m=7$。
制作三角插的彩纸数量为$\frac{40×7+30×(11-7)}{2}=200$张。
【答案】
(1) 用180张彩纸制作三角插基本单元，30张彩纸制作圆部式基本单元；
(2) 用于制作三角插基本单元的彩纸应有200张，能制作7个A型几何体。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 配套问题
【点评】
本题结合手工制作的实践场景考查方程应用题，解题核心是准确梳理不同操作对应的数量关系，找准配套等量关系建立方程，能够有效考察信息提取能力和数学建模应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问首先明确两种剪裁方式的产量：1张彩纸按图1裁可得2个三角插，按图2裁可得3个圆部式。要制作A型几何体且不浪费，需满足三角插总数与圆部式总数刚好配套，即三角插总个数÷40 = 圆部式总个数÷10，据此设未知数列方程即可求解。
(2) 第二问先设A型几何体个数为m，可得B型个数为11-m，先计算两类几何体共需的三角插总个数、圆部式总个数；再根据“制作三角插的彩纸数+制作圆部式的彩纸数=250张”的等量关系列方程求解，最后代入计算制作三角插的彩纸数量即可。
【解析】
(1) 设用x张彩纸按图1剪裁制作三角插，则用$(210-x)$张彩纸按图2剪裁制作圆部式。
x张彩纸可制作三角插$2x$个，$(210-x)$张彩纸可制作圆部式$3(210-x)$个。
要配套制作A型几何体且不浪费，列方程：
$\frac{2x}{40}=\frac{3(210-x)}{10}$
解方程：
两边同乘40得$2x=12(210-x)$，
展开得$2x=2520-12x$，
移项合并得$14x=2520$，
解得$x=180$，
制作圆部式的彩纸数量为$210-180=30$张。
(2) 设制作m个A型几何体，则制作$(11-m)$个B型几何体。
总需三角插数量为$40m+30(11-m)$个，对应需要彩纸$\frac{40m+30(11-m)}{2}$张；
总需圆部式数量为$10m+20(11-m)$个，对应需要彩纸$\frac{10m+20(11-m)}{3}$张；
根据总彩纸数为250张，列方程：
$\frac{40m+30(11-m)}{2}+\frac{10m+20(11-m)}{3}=250$
解方程：
化简得$5m+165+\frac{-10m+220}{3}=250$，
两边同乘3得$15m+495-10m+220=750$，
合并同类项得$5m+715=750$，
解得$m=7$。
制作三角插的彩纸数量为$\frac{40×7+30×(11-7)}{2}=200$张。
【答案】
(1) 用180张彩纸制作三角插基本单元，30张彩纸制作圆部式基本单元；
(2) 用于制作三角插基本单元的彩纸应有200张，能制作7个A型几何体。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 配套问题
【点评】
本题结合手工制作的实践场景考查方程应用题，解题核心是准确梳理不同操作对应的数量关系，找准配套等量关系建立方程，能够有效考察信息提取能力和数学建模应用能力。
【难度系数】
0.6
