1.已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是 （）

1.C

【分析】
首先分析已知△MNP的特征：它是等腰三角形，两腰MP=MN=6，已知底角∠P=75°，先根据等腰三角形两底角相等得到∠N=75°，再用三角形内角和为180°算出顶角∠M=30°。要判断哪个三角形与它相似，可利用相似三角形的SAS判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。原三角形夹30°顶角的两边均为6，比值为1:1，只需找选项中夹30°角、且两边比值为1:1的三角形即可。
【解析】
先计算△MNP的内角度数：
∵ 在△MNP中，MP=MN=6，
∴ △MNP是等腰三角形，∠N=∠P=75°，
∴ ∠M=180°-∠P-∠N=180°-75°-75°=30°，
即△MNP夹30°角的两边长度相等，比值为1:1。
逐一分析选项：
A选项：夹75°角的两边均为5，其顶角为75°，底角为(180°-75°)÷2=52.5°，角度不对应，不相似；
B选项：三边均为5，是等边三角形，三个角均为60°，角度不对应，不相似；
C选项：夹30°角的两边均为5，两边比值为1:1，与△MNP夹30°角的两边比值相等，且夹角均为30°，满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定条件，与△MNP相似；
D选项：夹40°角的两边均为5，顶角为40°，角度不对应，不相似。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和，相似三角形判定
【点评】
本题侧重考查基础定理的应用，解题关键是先求出原三角形的内角度数和边的比例关系，再结合相似三角形判定定理逐一筛选选项。
【难度系数】
0.7

2.如图,下列条件中,能使$△ ACD ∽ △ ABC$的是 （）

A.$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$
B.$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}$
C.$CD^2 = AD · BD$
D.$AC^2 = AD · AB$
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
（第5题图）

2.D

【分析】
要判定$△ ACD ∽ △ ABC$，首先观察两个三角形的公共角：$∠ A$是两个三角形共有的相等角。根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理，只需找到$∠ A$的两组夹边对应成比例的条件即可。先明确$△ ACD$中$∠ A$的夹边是$AD$、$AC$，$△ ABC$中$∠ A$的夹边是$AC$、$AB$，推导得到对应比例式后再匹配选项即可。
【解析】
已知$△ ACD$和$△ ABC$有公共角$∠ A$，即$∠ A = ∠ A$。
根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，要使$△ ACD ∽ △ ABC$，需满足$∠ A$的两组夹边对应成比例，即：
$\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$
对上述比例式交叉相乘，可得：
$AC^2 = AD · AB$
逐一分析选项：
A选项：$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$，对应边不是$∠ A$的夹边，夹角不匹配，不符合判定条件，错误；
B选项：$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，对应边比例与所需判定的相似三角形的夹边比例不符，错误；
C选项：$CD^2 = AD · BD$，该式对应$△ CDA$与$△ BDC$的边关系，无法推出$△ ACD ∽ △ ABC$，错误；
D选项：$AC^2 = AD · AB$，与推导得到的判定条件一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用，解题的核心是先找到两个三角形的公共角，再对应找准夹角的两组边的比例关系，要注意相似三角形对应边不要混淆，避免匹配错误。
【难度系数】
0.7

3.如图,在$△ ABC$中,点$D$,$E$分别在$△ ABC$的边$AB$,$AC$上.如果添加下列其中之一的条件,不一定能使$△ ADE$与$△ ABC$相似,那么这个条件是 ()

A.$∠ AED=∠ B$
B.$∠ ADE=∠ C$
C.$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$
D.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$

3.D

【分析】
本题考查相似三角形的判定，首先观察可得△ADE与△ABC有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理逐一分析选项即可：若添加角相等的条件，结合公共角满足AA判定即可证相似；若添加边成比例的条件，需保证成比例的两组边的夹角为公共角∠A，才满足SAS判定，否则无法确定两个三角形相似。
【解析】
已知△ADE和△ABC有公共角，即$∠ A=∠ A$。
选项A：若$∠ AED=∠ B$，结合$∠ A=∠ A$，根据“两角对应相等的两个三角形相似（AA）”，可判定$△ ADE ∽ △ ACB$，不符合题意；
选项B：若$∠ ADE=∠ C$，结合$∠ A=∠ A$，根据AA判定定理，可判定$△ ADE ∽ △ ACB$，不符合题意；
选项C：若$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$，且两组边的夹角均为$∠ A$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）”，可判定$△ ADE ∽ △ ACB$，不符合题意；
选项D：若$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$，相等的$∠ A$不是成比例的两组边AD、DE与AB、BC的夹角，不满足SAS判定条件，无法判定$△ ADE$与$△ ABC$一定相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，夹角的识别
【点评】
本题是相似三角形判定的基础易错题，易错点为使用两边成比例判定相似时，忽略相等的角必须是两组对应边的夹角这一前提，需牢记各相似判定定理的使用条件，避免错选。
【难度系数】
0.7

4.如图，BC平分∠ABD，AB=9，BD=25，当BC=时，△ABC∽△CBD.

4.15

【分析】
要判定△ABC∽△CBD，已知BC平分∠ABD，可得∠ABC=∠CBD，已有一组对应角相等，根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等”的判定定理，只需让这组等角的夹边对应成比例，即可得到相似关系，进而列出比例式求解BC的长度。
【解析】
解：
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD。
若要△ABC∽△CBD，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，需满足：
$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}$，
即$BC^2=AB· BD$。
将AB=9，BD=25代入得：
$BC^2=9×25=225$，
∵BC为线段长度，大于0，
∴$BC=\sqrt{225}=15$。
【答案】
15
【知识点】
角平分线的定义；相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的应用，解题的关键是结合已知的等角，找准对应边列出比例式，计算难度较低，掌握相似三角形的判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

5.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$是边$AB$上的一点，$CD⊥ AB$于点$D$，$AD=2$，$BD=6$，则边$AC$的长为________。

5.4

【分析】
解题时首先观察图形特征：Rt△ABC中∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，可先通过“两角对应相等的两个三角形相似”证明△ACD与△ABC相似；再利用相似三角形对应边成比例，推导得出$AC^2=AD· AB$的关系；最后代入AD、BD的长度算出AB，即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又
∵∠A是△ACD和△ABC的公共角，
∴△ACD∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^2=AD· AB$。
已知AD=2，BD=6，因此AB=AD+BD=2+6=8，
将AD=2，AB=8代入得：$AC^2=2×8=16$，
∵AC为三角形的边长，是正数，
∴AC=4。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；射影定理
【点评】
本题是相似三角形应用的常见基础题型，核心是掌握直角三角形斜边上的高将原三角形分成的两个小直角三角形均与原三角形相似的结论，也可直接利用射影定理快速计算，解题时注意边长为正，开方时取正根即可。
【难度系数】
0.7

6.如图，已知$AB=3AC$，$BD=3AE$，且$BD// AC$，点$B$，$A$，$E$在同一条直线上.
（1）求证：$△ ABD ∽ △ CAE$.
（2）如果$AC=BD$，$AD=2\sqrt{2}BD$，设$BD=a$，求$BC$的长.

6.解:(1)证明:$\because BD// AC$,点$B,A,E$在同一条直线上,$\therefore ∠ ABD=∠ CAE$.
又$\because \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AE}=3$,
$\therefore △ ABD∽ △ CAE$;
(2)$\because △ ABD∽ △ CAE,\frac{AB}{AC}=3,AC=a$,
$\therefore AB=3a$,在$△ ABD$中,
$AB^2=9a^2=BD^2+AD^2,\therefore AD⊥ BD$.
过点$C$作$CF⊥ BD$交$BD$的延长线于点$F$,
$\therefore DF=AC=a,CF=AD=2\sqrt{2}a$,
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中,$BC=\sqrt{BF^2+CF^2}=2\sqrt{3}a$.

【分析】
（1）要证明△ABD∽△CAE，优先用两边成比例且夹角相等的相似判定定理：首先根据BD//AC、B、A、E共线的条件，可推出对应角∠ABD=∠CAE；再结合已知AB=3AC、BD=3AE，可得两组对应边的比值均为3，满足相似判定条件即可得证。
（2）先将BD=a代入条件，把相关线段长度用a表示，通过勾股定理逆定理判断△ABD为直角三角形，得到AD⊥BD；再作CF垂直BD的延长线，构造矩形ACFD，将AD、AC长度转化为Rt△BCF的直角边长度，最后用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
（1）证明：
∵ $BD// AC$，点$B,A,E$在同一条直线上，
∴ $∠ ABD=∠ CAE$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $AB=3AC$，$BD=3AE$，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AE}=3$，
∴ $△ ABD ∽ △ CAE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
（2）解：
已知$BD=a$，由$AC=BD$得$AC=a$，
∵ $AB=3AC$，
∴ $AB=3a$，
∵ $AD=2\sqrt{2}BD$，
∴ $AD=2\sqrt{2}a$，
在$△ ABD$中，$AB^2=(3a)^2=9a^2$，$BD^2+AD^2=a^2+(2\sqrt{2}a)^2=9a^2$，
∴ $AB^2=BD^2+AD^2$，即$∠ ADB=90°$，$AD⊥ BD$。
过点$C$作$CF⊥ BD$交$BD$的延长线于点$F$，
∵ $AC// BD$，$AD⊥ BD$，$CF⊥ BD$，
∴ 四边形$ACFD$是矩形，
∴ $DF=AC=a$，$CF=AD=2\sqrt{2}a$，
∴ $BF=BD+DF=a+a=2a$，
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BF^2+CF^2}=\sqrt{(2a)^2+(2\sqrt{2}a)^2}=\sqrt{12a^2}=2\sqrt{3}a$。
【答案】
(1) $△ ABD ∽ △ CAE$，证明成立；(2) $BC$的长为$2\sqrt{3}a$

【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是中等难度的几何综合题，结合了相似三角形、勾股定理、矩形的相关知识，第一问侧重基础的相似判定，第二问的辅助线构造是解题关键，能够有效考查学生的几何逻辑推理能力和综合运算能力。
【难度系数】
0.6