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7.从三角形(非等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交,该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.如果其中一个小三角形是等腰三角形,另一个与原三角形相似,那么我们把这条线段叫作这个三角形的完美分割线.如图,在△ABC中,DB=1,BC=2,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,则CD的长为
$\frac{3}{2}$
.答案
7.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题首先要准确理解“完美分割线”的定义：分割后其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形与原三角形相似。已知△ACD是以CD为底边的等腰三角形，因此先得出AC=AD；再确定另一个相似的三角形为△BCD∽△BAC（公共角为∠B），利用相似三角形对应边成比例的性质，先求出AB的长度，进而求出AC的长度，最后再通过相似比例计算CD的长度。
【解析】
∵CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形
∴AC=AD，且△BCD∽△BAC
设AD=AC=x，则AB=AD+DB=x+1
∵△BCD∽△BAC，∠B为公共角
∴对应边成比例：$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$
代入BC=2，BD=1，BA=x+1得：
$\frac{2}{x+1}=\frac{1}{2}$
交叉相乘解得：$x+1=4$，即$x=3$
∴AC=3
再由相似三角形对应边成比例：$\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{AC}$
代入BD=1，BC=2，AC=3得：
$\frac{1}{2}=\frac{CD}{3}$
解得：$CD=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题为新定义类题型，解题的核心是正确理解新定义的内涵，结合等腰三角形的性质找到相等的边，再利用相似三角形对应边成比例的性质列式计算，解题过程中需注意相似三角形对应边的对应关系，避免对应错误导致计算失误。
【难度系数】
0.6
解题首先要准确理解“完美分割线”的定义：分割后其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形与原三角形相似。已知△ACD是以CD为底边的等腰三角形，因此先得出AC=AD；再确定另一个相似的三角形为△BCD∽△BAC（公共角为∠B），利用相似三角形对应边成比例的性质，先求出AB的长度，进而求出AC的长度，最后再通过相似比例计算CD的长度。
【解析】
∵CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形
∴AC=AD，且△BCD∽△BAC
设AD=AC=x，则AB=AD+DB=x+1
∵△BCD∽△BAC，∠B为公共角
∴对应边成比例：$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$
代入BC=2，BD=1，BA=x+1得：
$\frac{2}{x+1}=\frac{1}{2}$
交叉相乘解得：$x+1=4$，即$x=3$
∴AC=3
再由相似三角形对应边成比例：$\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{AC}$
代入BD=1，BC=2，AC=3得：
$\frac{1}{2}=\frac{CD}{3}$
解得：$CD=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题为新定义类题型，解题的核心是正确理解新定义的内涵，结合等腰三角形的性质找到相等的边，再利用相似三角形对应边成比例的性质列式计算，解题过程中需注意相似三角形对应边的对应关系，避免对应错误导致计算失误。
【难度系数】
0.6
8.如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 AD,DC 上,$△ABE∽△DEF,AB=6,AE=9,DE=2.$
(1)求 EF 的长.
(2)求证:$∠BEF=90^{\circ }.$
(1)求 EF 的长.
(2)求证:$∠BEF=90^{\circ }.$
答案
8.解:(1)在$\mathrm{Rt}△ABE$中,
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=3\sqrt{13}$,
$\because △ABE∽△DEF$,
$\therefore \frac{EF}{BE}=\frac{DE}{AB}$,即$\frac{EF}{3\sqrt{13}}=\frac{2}{6},\therefore EF=\sqrt{13}.$
(2)证明:$\because △ABE∽△DEF,\therefore ∠AEB=∠DFE.$
又$\because ∠DEF+∠DFE=90°,∠DEF+∠AEB=90°$,
$\therefore ∠BEF=90°.$
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=3\sqrt{13}$,
$\because △ABE∽△DEF$,
$\therefore \frac{EF}{BE}=\frac{DE}{AB}$,即$\frac{EF}{3\sqrt{13}}=\frac{2}{6},\therefore EF=\sqrt{13}.$
(2)证明:$\because △ABE∽△DEF,\therefore ∠AEB=∠DFE.$
又$\because ∠DEF+∠DFE=90°,∠DEF+∠AEB=90°$,
$\therefore ∠BEF=90°.$
解析
【分析】
(1)要求EF的长，已知△ABE∽△DEF，可利用相似三角形对应边成比例求解，因此需要先算出BE的长度；矩形中∠A为直角，结合已知AB、AE的长度，用勾股定理即可求出BE，再代入比例式就能算出EF。
(2)要证明∠BEF=90°，结合平角的定义，只需证明∠AEB+∠DEF=90°即可；利用相似三角形对应角相等，可得∠AEB=∠DFE，再结合直角三角形两锐角互余的性质，通过等量代换即可推导得出结论。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$AB=6$，$AE=9$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$，
∵$△ABE∽△DEF$，
∴对应边成比例，即$\frac{EF}{BE}=\frac{DE}{AB}$，
将$BE=3\sqrt{13}$，$DE=2$，$AB=6$代入得：
$\frac{EF}{3\sqrt{13}}=\frac{2}{6}$，解得$EF=\sqrt{13}$。
(2)证明：
∵$△ABE∽△DEF$，
∴∠AEB=∠DFE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
在$\mathrm{Rt}△DEF$中，∠DEF+∠DFE=90°，
等量代换得：∠DEF+∠AEB=90°，
又
∵∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°（平角的定义），
∴∠BEF=180°-(∠AEB+∠DEF)=180°-90°=90°，即$∠BEF=90^{\circ }$。
【答案】
(1)$EF=\sqrt{13}$；
(2)已证$∠BEF=90^{\circ }$。
【知识点】
相似三角形的性质；勾股定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是相似三角形与矩形性质的基础综合题，解题核心是熟练运用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，结合勾股定理和角的等量代换求解，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.7
(1)要求EF的长，已知△ABE∽△DEF，可利用相似三角形对应边成比例求解，因此需要先算出BE的长度；矩形中∠A为直角，结合已知AB、AE的长度，用勾股定理即可求出BE，再代入比例式就能算出EF。
(2)要证明∠BEF=90°，结合平角的定义，只需证明∠AEB+∠DEF=90°即可；利用相似三角形对应角相等，可得∠AEB=∠DFE，再结合直角三角形两锐角互余的性质，通过等量代换即可推导得出结论。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$AB=6$，$AE=9$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$，
∵$△ABE∽△DEF$，
∴对应边成比例，即$\frac{EF}{BE}=\frac{DE}{AB}$，
将$BE=3\sqrt{13}$，$DE=2$，$AB=6$代入得：
$\frac{EF}{3\sqrt{13}}=\frac{2}{6}$，解得$EF=\sqrt{13}$。
(2)证明：
∵$△ABE∽△DEF$，
∴∠AEB=∠DFE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
在$\mathrm{Rt}△DEF$中，∠DEF+∠DFE=90°，
等量代换得：∠DEF+∠AEB=90°，
又
∵∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°（平角的定义），
∴∠BEF=180°-(∠AEB+∠DEF)=180°-90°=90°，即$∠BEF=90^{\circ }$。
【答案】
(1)$EF=\sqrt{13}$；
(2)已证$∠BEF=90^{\circ }$。
【知识点】
相似三角形的性质；勾股定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是相似三角形与矩形性质的基础综合题，解题核心是熟练运用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，结合勾股定理和角的等量代换求解，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.7
9.一个钢筋三脚架长分别是20 cm,50 cm,60 cm.现要再做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料），作为其余两边，则不同的截法有多少种？请说明理由.
答案
9.解:设截下的两边长为$x\ \mathrm{cm},y\ \mathrm{cm}$,且$x＜y$.假如将30 cm的钢筋截开,则$x+y=30＜50$,不能构成三角形,所以必须将50 cm的钢筋截开.
①当30 cm与60 cm是对应边时,$\frac{20}{x}=\frac{50}{y}=\frac{60}{30}$,
$x=10,y=25$,而$10+25＜50$,故这种情况成立；
②当30 cm与50 cm是对应边时,$\frac{20}{x}=\frac{50}{30}=\frac{60}{y}$,
$x=12,y=36$,而$12+36＜50$,故这种情况也成立；
③当30 cm与20 cm是对应边时,$\frac{20}{30}=\frac{50}{x}=\frac{60}{y}$,
$x=75,y=90$,而$75+90＞50$,故这种情况不成立.
综上所述,有两种不同的截法.
①当30 cm与60 cm是对应边时,$\frac{20}{x}=\frac{50}{y}=\frac{60}{30}$,
$x=10,y=25$,而$10+25＜50$,故这种情况成立；
②当30 cm与50 cm是对应边时,$\frac{20}{x}=\frac{50}{30}=\frac{60}{y}$,
$x=12,y=36$,而$12+36＜50$,故这种情况也成立；
③当30 cm与20 cm是对应边时,$\frac{20}{30}=\frac{50}{x}=\frac{60}{y}$,
$x=75,y=90$,而$75+90＞50$,故这种情况不成立.
综上所述,有两种不同的截法.
解析
【分析】
解题时首先明确两个三脚架相似即对应三角形相似，首先判断哪根钢筋作为完整边：若截30cm的钢筋，两段之和为30cm，小于另一根50cm的钢筋，无法满足三角形三边关系，因此只能以30cm的钢筋为一边，截50cm的钢筋得到另外两边。接下来结合相似三角形对应边成比例的性质，分3种情况讨论30cm边与原三角形三边分别对应的情况，计算出另外两边的长度后，验证两边之和是否不超过50cm，排除不符合的情况即可得到截法数量。
【解析】
解：设截下的两边长为$x\ \mathrm{cm},y\ \mathrm{cm}$，且$x＜y$。
若将30cm的钢筋截开，则$x+y=30＜50$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，因此必须将50cm的钢筋截开，以30cm的钢筋为其中一边。
根据相似三角形对应边成比例，分3种情况讨论：
①当30cm与原三角形60cm边是对应边时，$\frac{20}{x}=\frac{50}{y}=\frac{60}{30}$，解得$x=10,y=25$，此时$10+25=35＜50$，符合要求；
②当30cm与原三角形50cm边是对应边时，$\frac{20}{x}=\frac{50}{30}=\frac{60}{y}$，解得$x=12,y=36$，此时$12+36=48＜50$，符合要求；
③当30cm与原三角形20cm边是对应边时，$\frac{20}{30}=\frac{50}{x}=\frac{60}{y}$，解得$x=75,y=90$，此时$75+90=165＞50$，不符合要求，舍去。
综上所述，共有2种不同的截法。
【答案】
有2种不同的截法。
【知识点】
1.相似三角形的性质 2.三角形三边关系
【点评】
本题是相似三角形性质的实际应用问题，解题的关键是先通过三角形三边关系确定只能以30cm钢筋为完整边，再分情况讨论对应边的关系，解题时需注意验证截得的两段长度之和不超过50cm，避免忽略约束条件导致错解。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确两个三脚架相似即对应三角形相似，首先判断哪根钢筋作为完整边：若截30cm的钢筋，两段之和为30cm，小于另一根50cm的钢筋，无法满足三角形三边关系，因此只能以30cm的钢筋为一边，截50cm的钢筋得到另外两边。接下来结合相似三角形对应边成比例的性质，分3种情况讨论30cm边与原三角形三边分别对应的情况，计算出另外两边的长度后，验证两边之和是否不超过50cm，排除不符合的情况即可得到截法数量。
【解析】
解：设截下的两边长为$x\ \mathrm{cm},y\ \mathrm{cm}$，且$x＜y$。
若将30cm的钢筋截开，则$x+y=30＜50$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，因此必须将50cm的钢筋截开，以30cm的钢筋为其中一边。
根据相似三角形对应边成比例，分3种情况讨论：
①当30cm与原三角形60cm边是对应边时，$\frac{20}{x}=\frac{50}{y}=\frac{60}{30}$，解得$x=10,y=25$，此时$10+25=35＜50$，符合要求；
②当30cm与原三角形50cm边是对应边时，$\frac{20}{x}=\frac{50}{30}=\frac{60}{y}$，解得$x=12,y=36$，此时$12+36=48＜50$，符合要求；
③当30cm与原三角形20cm边是对应边时，$\frac{20}{30}=\frac{50}{x}=\frac{60}{y}$，解得$x=75,y=90$，此时$75+90=165＞50$，不符合要求，舍去。
综上所述，共有2种不同的截法。
【答案】
有2种不同的截法。
【知识点】
1.相似三角形的性质 2.三角形三边关系
【点评】
本题是相似三角形性质的实际应用问题，解题的关键是先通过三角形三边关系确定只能以30cm钢筋为完整边，再分情况讨论对应边的关系，解题时需注意验证截得的两段长度之和不超过50cm，避免忽略约束条件导致错解。
【难度系数】
0.6
