4. 在$△ ABC$和$△ CDE$中，$CA=CB$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=α$，$AE$与$BD$相交于点$F$.
(1) 如图①，当$α=90°$时，求证：
①$△ ACE≌△ BCD$；②$AE⊥ BD$.
(2) 如图②，当$α=60°$时，$∠ AFB=$.
(3) 如图③，$∠ AFD$的度数为（用含$α$的式子表示）.

4.(1)证明：①略. ②略. (2)$60°$ (3)$180°-α$

【分析】
本题属于共顶点双等腰三角形的“手拉手”全等模型问题，解题思路如下：
(1)①要证△ACE≌△BCD，已知两组对应边CA=CB、CD=CE相等，只需证两边夹角相等，利用∠ACB=∠DCE，同时加公共角∠BCE即可得到∠ACE=∠BCD，用SAS即可证明全等；②要证AE⊥BD，即证∠AFB=90°，利用全等对应角相等得∠CAE=∠CBD，结合三角形内角和定理，将角转化到△AFB中推导角度即可。
(2)(3)是(1)的延伸，沿用全等证法得到角的等量关系，再通过三角形内角和推导∠AFB的度数，进而得到∠AFD的度数。
【解析】
(1)证明：
①
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即$∠ ACE=∠ BCD$，
在$△ ACE$和$△ BCD$中：
$\{\begin{array}{l}CA=CB\\ ∠ ACE=∠ BCD\\ CE=CD\end{array} $
∴$△ ACE≌△ BCD$（SAS）；
②由①得$△ ACE≌△ BCD$，
∴$∠ CAE=∠ CBD$，
∵$∠ ACB=90°$，$CA=CB$，
∴$∠ CAB+∠ CBA=90°$，
即$∠ CAE+∠ EAB+∠ CBA=90°$，
将$∠ CAE$替换为$∠ CBD$得：$∠ CBD+∠ EAB+∠ CBA=∠ EAB+∠ ABF=90°$，
在$△ AFB$中，$∠ AFB=180°-(∠ EAB+∠ ABF)=90°$，
∴$AE⊥ BD$。
(2)同(1)的方法可证$△ ACE≌△ BCD$，得$∠ CAE=∠ CBD$，
在$△ AFB$中：
$∠ AFB=180°-(∠ FAB+∠ ABF)$
$=180°-(∠ FAB+∠ ABC+∠ CBD)$
$=180°-(∠ FAB+∠ ABC+∠ CAE)$
$=180°-(∠ CAB+∠ ABC)$
∵$∠ ACB=60°$，
∴$∠ CAB+∠ ABC=180°-60°=120°$，
∴$∠ AFB=180°-120°=60°$。
(3)同理可得$∠ AFB=∠ ACB=α$，
∵$∠ AFB+∠ AFD=180°$，
∴$∠ AFD=180°-α$。
【答案】
(1)①②证明见解析；(2)$60°$；(3)$180°-α$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是手拉手全等模型的典型考题，核心是通过共顶点的等角推导相等夹角，证明全等后利用对应角相等实现角的等量代换，进而求解未知角度，掌握该模型规律可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7

5. [2026 六安期末] 如图，在$△ ABC$ 中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$D$，$E$ 为边 $BC$ 上的点，且$∠ DAE=45°$，将$△ ABD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$得到$△ ACF$，连接 $EF$.
(1)$∠ ECF=$$°$；
(2)求证：$△ ADE ≌ △ AFE$.

5.(1)90 (2)证明：略.

【分析】
(1) 要求∠ECF的度数，首先根据等腰直角三角形的性质得到∠B和∠ACB的度数，再结合旋转的性质，旋转前后对应角相等，可得∠ACF=∠B，最后将∠ACB与∠ACF相加即可得到结果。
(2) 要证明△ADE≌△AFE，首先根据旋转的性质可得AD=AF，∠BAD=∠CAF，再结合已知的∠DAE=45°、∠BAC=90°，通过角度和差推导得到∠DAE=∠FAE，最后结合公共边AE，利用SAS即可判定两个三角形全等。
【解析】
(1) 解：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ACF=∠B=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°。
(2) 证明：由旋转的性质可得：AD=AF，∠BAD=∠CAF，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAC - ∠DAE=90°-45°=45°，
∴∠CAF+∠CAE=∠EAF=45°，
∴∠DAE=∠EAF，
在△ADE和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}AD=AF\\ ∠ DAE=∠ FAE\\ AE=AE\end{array} $
∴△ADE≌△AFE（SAS）。
【答案】
(1) $\boxed{90}$
(2) 证明见解析
【知识点】
等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的SAS判定
【点评】
本题是全等三角形的常考题型，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，结合角度和差推导得到全等所需的条件，难度不大。
【难度系数】
0.8

6. [2026淮南期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=120°$,$AB=AC$,$D$,$E$是边$BC$上的点,$∠ DAE=60°$,将$△ ABD$绕点$A$逆时针旋转$120°$得到$△ ACF$,连接$EF$.求证:
(1)$∠ ECF=60°$;
(2)$△ ADE≌△ AFE$.

6.证明：(1)略. (2)略.

【分析】
要证明(1)∠ECF=60°，先根据等腰△ABC的顶角角度求出底角∠B和∠ACB的度数，再利用旋转的性质得到△ABD≌△ACF，推出∠ACF=∠B，将∠ACB与∠ACF相加即可得到∠ECF的度数；要证明(2)△ADE≌△AFE，先由旋转性质得到AD=AF、∠BAD=∠CAF，结合已知角度推出∠EAF=∠DAE=60°，再结合公共边AE，即可用SAS判定两个三角形全等。
【解析】
(1) 证明：
∵ 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴ $∠ B=∠ ACB=\frac{180° - 120°}{2}=30°$，
∵ △ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，
∴ △ABD≌△ACF，
∴ $∠ ACF=∠ B=30°$，
∴ $∠ ECF=∠ ACB+∠ ACF=30°+30°=60°$。
(2) 证明：
由旋转的性质可得：$AD=AF$，$∠ BAD=∠ CAF$，
∵ $∠ BAC=120°$，$∠ DAE=60°$，
∴ $∠ BAD+∠ CAE=∠ BAC-∠ DAE=120°-60°=60°$，
∴ $∠ CAF+∠ CAE=60°$，即$∠ EAF=60°$，
∴ $∠ DAE=∠ EAF=60°$，
在△ADE和△AFE中：
$\begin{cases}AD=AF \\∠ DAE=∠ FAE \\AE=AE\end{cases}$
∴ △ADE≌△AFE（SAS）。
【答案】
(1) ∠ECF=60°得证；
(2) △ADE≌△AFE得证。
【知识点】
等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是旋转类全等证明的基础典型题，解题核心是抓住旋转前后图形对应边、对应角相等的性质，结合已知角度推导全等所需的条件，能很好地锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7