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9. 中考趋势·开放性问题 对于题目“分解因式：$x^3 -4x^2 +6x -4$”，小亮和小明有两种不同的解法如下：
请你选择喜欢的解法完成因式分解。
请你选择喜欢的解法完成因式分解。
答案
解：选择拆项法完成因式分解：
$x^3 -4x^2 +6x -4$
$=(x^3 - 2x^2)-(2x^2 - 4x)+(2x - 4)$
$=x^2(x - 2) - 2x(x - 2) + 2(x - 2)$
$=(x - 2)(x^2 - 2x + 2)$
$x^3 -4x^2 +6x -4$
$=(x^3 - 2x^2)-(2x^2 - 4x)+(2x - 4)$
$=x^2(x - 2) - 2x(x - 2) + 2(x - 2)$
$=(x - 2)(x^2 - 2x + 2)$
解析
【分析】
我们选择拆项法解题，首先观察该三次多项式，可知当x=2时原式值为0，说明原式含有因式$(x-2)$，拆项时就是围绕凑公因式$(x-2)$将原式分成三组；题目已经给出拆项分组的结果，接下来先对每一组提取公因式，再提取三组共有的公因式$(x-2)$，剩余的二次因式在实数范围内无法继续分解，即可得到最终结果。
【解析】
选择拆项法完成因式分解：
$\begin{aligned}&x^3 -4x^2 +6x -4\\=&(x^3 - 2x^2)-(2x^2 - 4x)+(2x - 4)\\=&x^2(x - 2) - 2x(x - 2) + 2(x - 2)\\=&(x - 2)(x^2 - 2x + 2)\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{(x-2)(x^2 - 2x + 2)}$
【知识点】
拆项法因式分解，提公因式法，分组分解法
【点评】
本题属于因式分解的技巧性题型，核心是通过合理拆项分组，让每组都产生相同的公因式，再提取公因式完成分解，解题时要注意因式分解需要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
我们选择拆项法解题，首先观察该三次多项式，可知当x=2时原式值为0，说明原式含有因式$(x-2)$，拆项时就是围绕凑公因式$(x-2)$将原式分成三组；题目已经给出拆项分组的结果，接下来先对每一组提取公因式，再提取三组共有的公因式$(x-2)$，剩余的二次因式在实数范围内无法继续分解，即可得到最终结果。
【解析】
选择拆项法完成因式分解：
$\begin{aligned}&x^3 -4x^2 +6x -4\\=&(x^3 - 2x^2)-(2x^2 - 4x)+(2x - 4)\\=&x^2(x - 2) - 2x(x - 2) + 2(x - 2)\\=&(x - 2)(x^2 - 2x + 2)\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{(x-2)(x^2 - 2x + 2)}$
【知识点】
拆项法因式分解，提公因式法，分组分解法
【点评】
本题属于因式分解的技巧性题型，核心是通过合理拆项分组，让每组都产生相同的公因式，再提取公因式完成分解，解题时要注意因式分解需要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
10.若$\frac{(9^2 -1)(11^2 -1)}{k}=8×10×12$，则$k=$
10
答案
10
解析
【分析】
观察到等式左边分子的两个因式都是“数的平方减1”的形式，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$的结构特征，因此可以先利用平方差公式展开分子简化计算，再通过等式变形求出$k$的值；也可以直接计算分子和右边式子的数值后求解。
【解析】
首先对分子的两个因式运用平方差公式展开：
$9^2 -1=(9-1)(9+1)=8×10$
$11^2 -1=(11-1)(11+1)=10×12$
将展开结果代入原式可得：
$\frac{(8×10)×(10×12)}{k}=8×10×12$
等式两边同时乘$k$得：
$8×10×10×12 = 8×10×12×k$
两边同时除以非零的$8×10×12$，解得：
$k=10$
若直接计算验证：
分子$(9^2 -1)(11^2 -1)=(81-1)×(121-1)=80×120=9600$
等式右边$8×10×12=960$
代入得$\frac{9600}{k}=960$，解得$k=9600÷960=10$
【答案】
10
【知识点】
平方差公式；有理数乘除运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查平方差公式的灵活运用，识别公式适用结构可以大幅提升计算效率，即使直接计算数值也能得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
观察到等式左边分子的两个因式都是“数的平方减1”的形式，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$的结构特征，因此可以先利用平方差公式展开分子简化计算，再通过等式变形求出$k$的值；也可以直接计算分子和右边式子的数值后求解。
【解析】
首先对分子的两个因式运用平方差公式展开：
$9^2 -1=(9-1)(9+1)=8×10$
$11^2 -1=(11-1)(11+1)=10×12$
将展开结果代入原式可得：
$\frac{(8×10)×(10×12)}{k}=8×10×12$
等式两边同时乘$k$得：
$8×10×10×12 = 8×10×12×k$
两边同时除以非零的$8×10×12$，解得：
$k=10$
若直接计算验证：
分子$(9^2 -1)(11^2 -1)=(81-1)×(121-1)=80×120=9600$
等式右边$8×10×12=960$
代入得$\frac{9600}{k}=960$，解得$k=9600÷960=10$
【答案】
10
【知识点】
平方差公式；有理数乘除运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查平方差公式的灵活运用，识别公式适用结构可以大幅提升计算效率，即使直接计算数值也能得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
11.利用因式分解计算：
(1)$1965^2 + 1965×70 + 35^2$；
(2)$10×91^2 - 10×9^2$。
(1)$1965^2 + 1965×70 + 35^2$；
(2)$10×91^2 - 10×9^2$。
答案
(1)4 000 000
(2)82 000
(2)82 000
解析
【分析】
（1）观察式子结构，发现1965²、35²是两个平方项，中间项1965×70可改写为2×1965×35，刚好符合完全平方和公式的形式，套用公式即可快速计算，无需直接计算大数平方。
（2）式子中两项都含有公因式10，先提取公因式，剩余部分91²-9²符合平方差公式的结构，套用平方差公式计算可简化运算过程。
【解析】
(1) 解：
原式$=1965^2 + 2×1965×35 + 35^2$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，代入$a=1965$，$b=35$得：
原式$=(1965+35)^2$
$=2000^2$
$=4000000$
(2) 解：
先提取公因式10得：
原式$=10×(91^2 - 9^2)$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，代入$a=91$，$b=9$得：
原式$=10×(91-9)×(91+9)$
$=10×82×100$
$=82000$
【答案】
(1)4 000 000
(2)82 000
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解实现简便运算，解题核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，通过观察式子特点匹配对应公式，可有效降低大数运算的错误率，提升计算效率。
【难度系数】
0.8
（1）观察式子结构，发现1965²、35²是两个平方项，中间项1965×70可改写为2×1965×35，刚好符合完全平方和公式的形式，套用公式即可快速计算，无需直接计算大数平方。
（2）式子中两项都含有公因式10，先提取公因式，剩余部分91²-9²符合平方差公式的结构，套用平方差公式计算可简化运算过程。
【解析】
(1) 解：
原式$=1965^2 + 2×1965×35 + 35^2$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，代入$a=1965$，$b=35$得：
原式$=(1965+35)^2$
$=2000^2$
$=4000000$
(2) 解：
先提取公因式10得：
原式$=10×(91^2 - 9^2)$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，代入$a=91$，$b=9$得：
原式$=10×(91-9)×(91+9)$
$=10×82×100$
$=82000$
【答案】
(1)4 000 000
(2)82 000
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解实现简便运算，解题核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，通过观察式子特点匹配对应公式，可有效降低大数运算的错误率，提升计算效率。
【难度系数】
0.8
12. 【中考趋势·代数推理】【观察】$(2+3)^2 - 2^2 = (2+3+2)×(2+3-2)=7×3$，$(4+3)^2 - 4^2=(4+3+4)×(4+3-4)=11×3$，$(6+3)^2 -6^2=(6+3+6)×(6+3-6)=15×3,…$
【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除.
【验证】
(1)若这个偶数是10,通过计算说明13和10的平方差能否被3整除；
(2)若设这个偶数为$2n$,试说明比$2n$大3的数与$2n$的平方差能否被3整除；
【延伸】
(3)试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除.
【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除.
【验证】
(1)若这个偶数是10,通过计算说明13和10的平方差能否被3整除；
(2)若设这个偶数为$2n$,试说明比$2n$大3的数与$2n$的平方差能否被3整除；
【延伸】
(3)试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除.
答案
解：
(1) 计算13和10的平方差：
$13^2 - 10^2 = 169 - 100 = 69$
$\because 69÷3=23$，结果为整数，
$\therefore$ 13和10的平方差能被3整除。
(2) 由题意得，比偶数$2n$大3的数为$2n+3$，
则两数的平方差为：
$\begin{aligned}(2n+3)^2 - (2n)^2&=[(2n+3)+2n][(2n+3)-2n]\\&=(4n+3)×3\\&=3(4n+3)\end{aligned}$
$\because n$是整数，$\therefore 4n+3$是整数，
$\therefore 3(4n+3)$是3的倍数，即比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除。
(3) 设任意一个整数为$a$，则比它大9的数为$a+9$，
两数的平方差为：
$\begin{aligned}(a+9)^2 - a^2&=[(a+9)+a][(a+9)-a]\\&=(2a+9)×9\\&=9(2a+9)\end{aligned}$
$\because a$是整数，$\therefore 2a+9$是整数，
$\therefore 9(2a+9)$是9的倍数，即比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9整除。
(1) 计算13和10的平方差：
$13^2 - 10^2 = 169 - 100 = 69$
$\because 69÷3=23$，结果为整数，
$\therefore$ 13和10的平方差能被3整除。
(2) 由题意得，比偶数$2n$大3的数为$2n+3$，
则两数的平方差为：
$\begin{aligned}(2n+3)^2 - (2n)^2&=[(2n+3)+2n][(2n+3)-2n]\\&=(4n+3)×3\\&=3(4n+3)\end{aligned}$
$\because n$是整数，$\therefore 4n+3$是整数，
$\therefore 3(4n+3)$是3的倍数，即比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除。
(3) 设任意一个整数为$a$，则比它大9的数为$a+9$，
两数的平方差为：
$\begin{aligned}(a+9)^2 - a^2&=[(a+9)+a][(a+9)-a]\\&=(2a+9)×9\\&=9(2a+9)\end{aligned}$
$\because a$是整数，$\therefore 2a+9$是整数，
$\therefore 9(2a+9)$是9的倍数，即比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9整除。
解析
【分析】
本题考查平方差公式在代数推理中的应用，解题思路如下：
1. 第(1)问是具体数值验证，直接计算两个数的平方差，再除以3，判断结果是否为整数即可；
2. 第(2)问是一般化的偶数情况，先根据题意写出两个数分别为$2n$和$2n+3$，再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对两数的平方差因式分解，整理后判断是否含有因数3，结合$n$是整数的条件即可验证整除性；
3. 第(3)问拓展到任意整数的情况，同理设整数为$a$，对应较大数为$a+9$，同样用平方差公式分解平方差，判断是否含有因数9，结合$a$是整数的条件验证结论。
【解析】
(1) 计算13和10的平方差：
$13^2 - 10^2 = 169 - 100 = 69$
$\because 69÷3=23$，结果为整数，
$\therefore$ 13和10的平方差能被3整除。
(2) 由题意得，比偶数$2n$大3的数为$2n+3$，
则两数的平方差为：
$\begin{aligned}(2n+3)^2 - (2n)^2&=[(2n+3)+2n][(2n+3)-2n]\\&=(4n+3)×3\\&=3(4n+3)\end{aligned}$
$\because n$是整数，$\therefore 4n+3$是整数，
$\therefore 3(4n+3)$是3的倍数，即比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除。
(3) 设任意一个整数为$a$，则比它大9的数为$a+9$，
两数的平方差为：
$\begin{aligned}(a+9)^2 - a^2&=[(a+9)+a][(a+9)-a]\\&=(2a+9)×9\\&=9(2a+9)\end{aligned}$
$\because a$是整数，$\therefore 2a+9$是整数，
$\therefore 9(2a+9)$是9的倍数，即比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9整除。
【答案】
(1) 13和10的平方差能被3整除；
(2) 比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除；
(3) 比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9整除。
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用，整除判定
【点评】
本题属于代数推理类题型，遵循从特殊实例到一般规律的探究逻辑，核心是灵活运用平方差公式对平方差形式的代数式进行因式分解，通过判断因式的整数性验证整除结论，有助于培养逻辑推理能力和代数应用意识。
【难度系数】
0.7
本题考查平方差公式在代数推理中的应用，解题思路如下：
1. 第(1)问是具体数值验证，直接计算两个数的平方差，再除以3，判断结果是否为整数即可；
2. 第(2)问是一般化的偶数情况，先根据题意写出两个数分别为$2n$和$2n+3$，再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对两数的平方差因式分解，整理后判断是否含有因数3，结合$n$是整数的条件即可验证整除性；
3. 第(3)问拓展到任意整数的情况，同理设整数为$a$，对应较大数为$a+9$，同样用平方差公式分解平方差，判断是否含有因数9，结合$a$是整数的条件验证结论。
【解析】
(1) 计算13和10的平方差：
$13^2 - 10^2 = 169 - 100 = 69$
$\because 69÷3=23$，结果为整数，
$\therefore$ 13和10的平方差能被3整除。
(2) 由题意得，比偶数$2n$大3的数为$2n+3$，
则两数的平方差为：
$\begin{aligned}(2n+3)^2 - (2n)^2&=[(2n+3)+2n][(2n+3)-2n]\\&=(4n+3)×3\\&=3(4n+3)\end{aligned}$
$\because n$是整数，$\therefore 4n+3$是整数，
$\therefore 3(4n+3)$是3的倍数，即比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除。
(3) 设任意一个整数为$a$，则比它大9的数为$a+9$，
两数的平方差为：
$\begin{aligned}(a+9)^2 - a^2&=[(a+9)+a][(a+9)-a]\\&=(2a+9)×9\\&=9(2a+9)\end{aligned}$
$\because a$是整数，$\therefore 2a+9$是整数，
$\therefore 9(2a+9)$是9的倍数，即比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9整除。
【答案】
(1) 13和10的平方差能被3整除；
(2) 比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除；
(3) 比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9整除。
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用，整除判定
【点评】
本题属于代数推理类题型，遵循从特殊实例到一般规律的探究逻辑，核心是灵活运用平方差公式对平方差形式的代数式进行因式分解，通过判断因式的整数性验证整除结论，有助于培养逻辑推理能力和代数应用意识。
【难度系数】
0.7
