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12. 一捆粗细均匀的铜线,质量约为$9\ \mathrm{kg}$,铜线的横截面积是$25\ \mathrm{mm}^2$.这捆铜线的长度约为(
A.$4\ \mathrm{m}$
B.$40\ \mathrm{m}$
C.$400\ \mathrm{m}$
D.$4000\ \mathrm{m}$
B
)A.$4\ \mathrm{m}$
B.$40\ \mathrm{m}$
C.$400\ \mathrm{m}$
D.$4000\ \mathrm{m}$
答案
12. B
解析
已知铜的密度$\rho = 8.9× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，质量$m = 9\ \mathrm{kg}$，横截面积$S = 25\ \mathrm{mm}^2 = 25× 10^{-6}\ \mathrm{m}^2$。
由$\rho=\frac{m}{V}$得，铜线体积$V=\frac{m}{\rho}=\frac{9\ \mathrm{kg}}{8.9× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3}\approx1.01× 10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
又因为$V = SL$，所以长度$L=\frac{V}{S}=\frac{1.01× 10^{-3}\ \mathrm{m}^3}{25× 10^{-6}\ \mathrm{m}^2}\approx40\ \mathrm{m}$。
B
由$\rho=\frac{m}{V}$得，铜线体积$V=\frac{m}{\rho}=\frac{9\ \mathrm{kg}}{8.9× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3}\approx1.01× 10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
又因为$V = SL$，所以长度$L=\frac{V}{S}=\frac{1.01× 10^{-3}\ \mathrm{m}^3}{25× 10^{-6}\ \mathrm{m}^2}\approx40\ \mathrm{m}$。
B
13. 很多同学知道自己的身高和体重,却不知道自己的体积.某同学身高$170\ \mathrm{cm}$,体重$60\ \mathrm{kg}$,他的体积约为(
A.$0.006\ \mathrm{m}^3$
B.$0.06\ \mathrm{m}^3$
C.$0.6\ \mathrm{m}^3$
D.$6\ \mathrm{m}^3$
B
)A.$0.006\ \mathrm{m}^3$
B.$0.06\ \mathrm{m}^3$
C.$0.6\ \mathrm{m}^3$
D.$6\ \mathrm{m}^3$
答案
13. B
解析
人体密度与水的密度相近，取$\rho = 1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
已知$m = 60\ \mathrm{kg}$，由$\rho=\frac{m}{V}$得$V=\frac{m}{\rho}=\frac{60\ \mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}} = 0.06\ \mathrm{m}^{3}$。
B
已知$m = 60\ \mathrm{kg}$，由$\rho=\frac{m}{V}$得$V=\frac{m}{\rho}=\frac{60\ \mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}} = 0.06\ \mathrm{m}^{3}$。
B
14. 建筑工地需要$400\ \mathrm{m}^3$的沙石,为了估测沙石的密度,用一只空桶平平装满一桶沙石,测得桶中的沙石的质量为$52\ \mathrm{kg}$,再用这只桶装满一桶水,测得桶中水的质量为$20\ \mathrm{kg},\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3,g$ 取$10\ \mathrm{N/kg}$.问:
(1) 桶的容积是多少?
(2) 沙石的密度是多少?
(3) 若用一辆载重$4000\ \mathrm{kg}$的卡车将沙石运送到工地,至少要运多少车?
(1) 桶的容积是多少?
(2) 沙石的密度是多少?
(3) 若用一辆载重$4000\ \mathrm{kg}$的卡车将沙石运送到工地,至少要运多少车?
答案
$(1)$ 求桶的容积
解：
已知水的质量$m_{水} = 20\ \mathrm{kg}$，水的密度$\rho_{水}=1.0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形可得$V = \frac{m}{\rho}$。
桶的容积$V$等于水的体积$V_{水}$，即$V = V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}$。
将$m_{水} = 20\ \mathrm{kg}$，$\rho_{水}=1.0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$代入可得：
$V=\frac{20\ \mathrm{kg}}{1.0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}} = 0.02\ \mathrm{m}^{3}$。
$(2)$ 求沙石的密度
解：
已知桶装满沙石时沙石质量$m_{沙}=52\ \mathrm{kg}$，沙石的体积$V_{沙}$等于桶的容积$V = 0.02\ \mathrm{m}^{3}$。
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得沙石密度$\rho_{沙}=\frac{m_{沙}}{V_{沙}}$。
将$m_{沙}=52\ \mathrm{kg}$，$V_{沙}=0.02\ \mathrm{m}^{3}$代入可得：
$\rho_{沙}=\frac{52\ \mathrm{kg}}{0.02\ \mathrm{m}^{3}} = 2.6× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
$(3)$ 求至少要运的车数
解：
已知需要沙石的体积$V_{总}=400\ \mathrm{m}^{3}$，由$\rho=\frac{m}{V}$可得$m=\rho V$，则沙石总质量$m_{总}=\rho_{沙}V_{总}$。
将$\rho_{沙}=2.6× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$，$V_{总}=400\ \mathrm{m}^{3}$代入可得：
$m_{总}=2.6× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×400\ \mathrm{m}^{3}=1.04× 10^{6}\ \mathrm{kg}$。
一辆卡车的载重$m_{载}=4000\ \mathrm{kg}$，则至少要运的车数$n=\frac{m_{总}}{m_{载}}$。
$n=\frac{1.04× 10^{6}\ \mathrm{kg}}{4000\ \mathrm{kg}} = 260$（车）。
综上，答案依次为：$(1)$ $0.02\ \mathrm{m}^{3}$；$(2)$ $2.6× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$；$(3)$ $260$车。
解：
已知水的质量$m_{水} = 20\ \mathrm{kg}$，水的密度$\rho_{水}=1.0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形可得$V = \frac{m}{\rho}$。
桶的容积$V$等于水的体积$V_{水}$，即$V = V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}$。
将$m_{水} = 20\ \mathrm{kg}$，$\rho_{水}=1.0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$代入可得：
$V=\frac{20\ \mathrm{kg}}{1.0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}} = 0.02\ \mathrm{m}^{3}$。
$(2)$ 求沙石的密度
解：
已知桶装满沙石时沙石质量$m_{沙}=52\ \mathrm{kg}$，沙石的体积$V_{沙}$等于桶的容积$V = 0.02\ \mathrm{m}^{3}$。
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得沙石密度$\rho_{沙}=\frac{m_{沙}}{V_{沙}}$。
将$m_{沙}=52\ \mathrm{kg}$，$V_{沙}=0.02\ \mathrm{m}^{3}$代入可得：
$\rho_{沙}=\frac{52\ \mathrm{kg}}{0.02\ \mathrm{m}^{3}} = 2.6× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
$(3)$ 求至少要运的车数
解：
已知需要沙石的体积$V_{总}=400\ \mathrm{m}^{3}$，由$\rho=\frac{m}{V}$可得$m=\rho V$，则沙石总质量$m_{总}=\rho_{沙}V_{总}$。
将$\rho_{沙}=2.6× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$，$V_{总}=400\ \mathrm{m}^{3}$代入可得：
$m_{总}=2.6× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×400\ \mathrm{m}^{3}=1.04× 10^{6}\ \mathrm{kg}$。
一辆卡车的载重$m_{载}=4000\ \mathrm{kg}$，则至少要运的车数$n=\frac{m_{总}}{m_{载}}$。
$n=\frac{1.04× 10^{6}\ \mathrm{kg}}{4000\ \mathrm{kg}} = 260$（车）。
综上，答案依次为：$(1)$ $0.02\ \mathrm{m}^{3}$；$(2)$ $2.6× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$；$(3)$ $260$车。
解析
(1) 桶的容积等于装满水时水的体积，由$\rho = \frac{m}{V}$可得，$V = \frac{m_{水}}{\rho_{水}} = \frac{20\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 0.02\ \mathrm{m}^3$。
(2) 桶中沙石的体积等于桶的容积$V = 0.02\ \mathrm{m}^3$，沙石的密度$\rho_{沙石} = \frac{m_{沙石}}{V} = \frac{52\ \mathrm{kg}}{0.02\ \mathrm{m}^3} = 2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 沙石的总质量$m_{总} = \rho_{沙石}V_{总} = 2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×400\ \mathrm{m}^3 = 1.04×10^6\ \mathrm{kg}$，需要运输的车数$n = \frac{m_{总}}{m_{载}} = \frac{1.04×10^6\ \mathrm{kg}}{4000\ \mathrm{kg/车}} = 260$车。
(2) 桶中沙石的体积等于桶的容积$V = 0.02\ \mathrm{m}^3$，沙石的密度$\rho_{沙石} = \frac{m_{沙石}}{V} = \frac{52\ \mathrm{kg}}{0.02\ \mathrm{m}^3} = 2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 沙石的总质量$m_{总} = \rho_{沙石}V_{总} = 2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×400\ \mathrm{m}^3 = 1.04×10^6\ \mathrm{kg}$，需要运输的车数$n = \frac{m_{总}}{m_{载}} = \frac{1.04×10^6\ \mathrm{kg}}{4000\ \mathrm{kg/车}} = 260$车。
15. 地质勘探队员测量出一块巨石的体积为$20\ \mathrm{m}^3$,从它上面取下$10\ \mathrm{cm}^3$的样品,测得样品质量为$26\ \mathrm{g}$,则这块巨石的质量为多少吨?
答案
15. 52 t
解析
样品的密度：$\rho=\frac{m}{V}=\frac{26\ \mathrm{g}}{10\ \mathrm{cm}^3}=2.6\ \mathrm{g/cm}^3=2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
巨石的质量：$m'=\rho V'=2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×20\ \mathrm{m}^3=5.2×10^4\ \mathrm{kg}=52\ \mathrm{t}$
巨石的质量：$m'=\rho V'=2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×20\ \mathrm{m}^3=5.2×10^4\ \mathrm{kg}=52\ \mathrm{t}$
16. 一矿泉水瓶装满水后,瓶和水的总质量为$700\ \mathrm{g}$(矿泉水的密度为$1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$),空瓶的质量为$200\ \mathrm{g}$.
(1) 这个矿泉水瓶的容积是多少?
(2) 如果用这个空瓶最多可装多少克酒精? $(\rho_{酒精}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3)$
(3) 如果用这个空瓶灌入$500\ \mathrm{g}$果汁(密度为$1.2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$),那么在瓶上方空着的体积有多大?
(4) 如果用这个空瓶灌满某种液体后,质量比原先灌满矿泉水时的质量多了$25\ \mathrm{g}$,那么此液体的密度是多少?
(1) 这个矿泉水瓶的容积是多少?
(2) 如果用这个空瓶最多可装多少克酒精? $(\rho_{酒精}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3)$
(3) 如果用这个空瓶灌入$500\ \mathrm{g}$果汁(密度为$1.2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$),那么在瓶上方空着的体积有多大?
(4) 如果用这个空瓶灌满某种液体后,质量比原先灌满矿泉水时的质量多了$25\ \mathrm{g}$,那么此液体的密度是多少?
答案
$(1)$求矿泉水瓶的容积
解：
已知瓶和水的总质量$m_{总1} = 700g$，空瓶质量$m_{瓶}=200g$，则水的质量$m_{水}=m_{总1}-m_{瓶}=700g - 200g=500g$。
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形可得$V = \frac{m}{\rho}$，水的密度$\rho_{水}=1g/cm^3$（$1×10^{3}kg/m^3 = 1g/cm^3$）。
所以矿泉水瓶的容积$V = V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{500g}{1g/cm^3}=500cm^3$。
$(2)$求空瓶最多可装酒精的质量
解：
酒精的密度$\rho_{酒精}=0.8×10^{3}kg/m^3 = 0.8g/cm^3$，瓶子容积$V = 500cm^3$。
根据$m=\rho V$，可得酒精质量$m_{酒精}=\rho_{酒精}V = 0.8g/cm^3×500cm^3 = 400g$。
$(3)$求瓶上方空着的体积
解：
果汁的密度$\rho_{果汁}=1.2×10^{3}kg/m^3 = 1.2g/cm^3$，果汁质量$m_{果汁}=500g$。
根据$V=\frac{m}{\rho}$，可得果汁的体积$V_{果汁}=\frac{m_{果汁}}{\rho_{果汁}}=\frac{500g}{1.2g/cm^3}=\frac{1250}{3}cm^3\approx416.7cm^3$。
瓶上方空着的体积$V_{空}=V - V_{果汁}=500cm^3-\frac{1250}{3}cm^3=\frac{1500 - 1250}{3}cm^3=\frac{250}{3}cm^3\approx83.3cm^3$。
$(4)$求液体的密度
解：
已知$m_{总1} = 700g$，$\Delta m = 25g$，则液体和瓶的总质量$m_{总2}=m_{总1}+\Delta m=700g + 25g = 725g$。
液体质量$m_{液}=m_{总2}-m_{瓶}=725g - 200g = 525g$，瓶子容积$V = 500cm^3$。
根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得液体密度$\rho_{液}=\frac{m_{液}}{V}=\frac{525g}{500cm^3}=1.05g/cm^3 = 1.05×10^{3}kg/m^3$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{500cm^3}$；$(2)$$\boldsymbol{400g}$；$(3)$$\boldsymbol{\frac{250}{3}cm^3\approx83.3cm^3}$；$(4)$$\boldsymbol{1.05×10^{3}kg/m^3}$。
解：
已知瓶和水的总质量$m_{总1} = 700g$，空瓶质量$m_{瓶}=200g$，则水的质量$m_{水}=m_{总1}-m_{瓶}=700g - 200g=500g$。
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形可得$V = \frac{m}{\rho}$，水的密度$\rho_{水}=1g/cm^3$（$1×10^{3}kg/m^3 = 1g/cm^3$）。
所以矿泉水瓶的容积$V = V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{500g}{1g/cm^3}=500cm^3$。
$(2)$求空瓶最多可装酒精的质量
解：
酒精的密度$\rho_{酒精}=0.8×10^{3}kg/m^3 = 0.8g/cm^3$，瓶子容积$V = 500cm^3$。
根据$m=\rho V$，可得酒精质量$m_{酒精}=\rho_{酒精}V = 0.8g/cm^3×500cm^3 = 400g$。
$(3)$求瓶上方空着的体积
解：
果汁的密度$\rho_{果汁}=1.2×10^{3}kg/m^3 = 1.2g/cm^3$，果汁质量$m_{果汁}=500g$。
根据$V=\frac{m}{\rho}$，可得果汁的体积$V_{果汁}=\frac{m_{果汁}}{\rho_{果汁}}=\frac{500g}{1.2g/cm^3}=\frac{1250}{3}cm^3\approx416.7cm^3$。
瓶上方空着的体积$V_{空}=V - V_{果汁}=500cm^3-\frac{1250}{3}cm^3=\frac{1500 - 1250}{3}cm^3=\frac{250}{3}cm^3\approx83.3cm^3$。
$(4)$求液体的密度
解：
已知$m_{总1} = 700g$，$\Delta m = 25g$，则液体和瓶的总质量$m_{总2}=m_{总1}+\Delta m=700g + 25g = 725g$。
液体质量$m_{液}=m_{总2}-m_{瓶}=725g - 200g = 525g$，瓶子容积$V = 500cm^3$。
根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得液体密度$\rho_{液}=\frac{m_{液}}{V}=\frac{525g}{500cm^3}=1.05g/cm^3 = 1.05×10^{3}kg/m^3$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{500cm^3}$；$(2)$$\boldsymbol{400g}$；$(3)$$\boldsymbol{\frac{250}{3}cm^3\approx83.3cm^3}$；$(4)$$\boldsymbol{1.05×10^{3}kg/m^3}$。
解析
(1) 水的质量：$m_{水}=700\ \mathrm{g}-200\ \mathrm{g}=500\ \mathrm{g}$，矿泉水的密度$\rho_{水}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$，由$\rho=\frac{m}{V}$得，矿泉水瓶的容积$V=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{500\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=500\ \mathrm{cm}^3$。
(2) 酒精的密度$\rho_{酒精}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$，空瓶容积$V=500\ \mathrm{cm}^3$，由$\rho=\frac{m}{V}$得，可装酒精的质量$m_{酒精}=\rho_{酒精}V=0.8\ \mathrm{g/cm}^3×500\ \mathrm{cm}^3=400\ \mathrm{g}$。
(3) 果汁的质量$m_{果汁}=500\ \mathrm{g}$，果汁密度$\rho_{果汁}=1.2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1.2\ \mathrm{g/cm}^3$，由$\rho=\frac{m}{V}$得，果汁的体积$V_{果汁}=\frac{m_{果汁}}{\rho_{果汁}}=\frac{500\ \mathrm{g}}{1.2\ \mathrm{g/cm}^3}\approx416.7\ \mathrm{cm}^3$，空着的体积$V_{空}=V - V_{果汁}=500\ \mathrm{cm}^3 - 416.7\ \mathrm{cm}^3=83.3\ \mathrm{cm}^3$。
(4) 灌满矿泉水时水的质量$m_{水}=500\ \mathrm{g}$，灌满某种液体后质量比灌满矿泉水时多$25\ \mathrm{g}$，则液体的质量$m_{液}=500\ \mathrm{g}+25\ \mathrm{g}=525\ \mathrm{g}$，液体体积$V=500\ \mathrm{cm}^3=500×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$，液体密度$\rho_{液}=\frac{m_{液}}{V}=\frac{525×10^{-3}\ \mathrm{kg}}{500×10^{-6}\ \mathrm{m}^3}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(2) 酒精的密度$\rho_{酒精}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$，空瓶容积$V=500\ \mathrm{cm}^3$，由$\rho=\frac{m}{V}$得，可装酒精的质量$m_{酒精}=\rho_{酒精}V=0.8\ \mathrm{g/cm}^3×500\ \mathrm{cm}^3=400\ \mathrm{g}$。
(3) 果汁的质量$m_{果汁}=500\ \mathrm{g}$，果汁密度$\rho_{果汁}=1.2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1.2\ \mathrm{g/cm}^3$，由$\rho=\frac{m}{V}$得，果汁的体积$V_{果汁}=\frac{m_{果汁}}{\rho_{果汁}}=\frac{500\ \mathrm{g}}{1.2\ \mathrm{g/cm}^3}\approx416.7\ \mathrm{cm}^3$，空着的体积$V_{空}=V - V_{果汁}=500\ \mathrm{cm}^3 - 416.7\ \mathrm{cm}^3=83.3\ \mathrm{cm}^3$。
(4) 灌满矿泉水时水的质量$m_{水}=500\ \mathrm{g}$，灌满某种液体后质量比灌满矿泉水时多$25\ \mathrm{g}$，则液体的质量$m_{液}=500\ \mathrm{g}+25\ \mathrm{g}=525\ \mathrm{g}$，液体体积$V=500\ \mathrm{cm}^3=500×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$，液体密度$\rho_{液}=\frac{m_{液}}{V}=\frac{525×10^{-3}\ \mathrm{kg}}{500×10^{-6}\ \mathrm{m}^3}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
