登录
9. (1)若实数$m$，$n$满足$m^{2}-n^{2}=6$，且$m - n=-2$，则$m + n$的值为
(2)若实数$a$，$b$满足$a + b=4$，$a - b=1$，则$(a + 1)^{2}-(b - 1)^{2}$的值为
-3
；(2)若实数$a$，$b$满足$a + b=4$，$a - b=1$，则$(a + 1)^{2}-(b - 1)^{2}$的值为
12
。答案
9. （1）$ -3 $ （2）12
解析
(1)因为$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)=6$，且$m - n=-2$，所以$m + n=6÷(m - n)=6÷(-2)=-3$；
(2)$(a + 1)^{2}-(b - 1)^{2}=[(a + 1)+(b - 1)][(a + 1)-(b - 1)]=(a + b)(a - b + 2)$，因为$a + b=4$，$a - b=1$，所以原式$=4×(1 + 2)=4×3=12$。
(2)$(a + 1)^{2}-(b - 1)^{2}=[(a + 1)+(b - 1)][(a + 1)-(b - 1)]=(a + b)(a - b + 2)$，因为$a + b=4$，$a - b=1$，所以原式$=4×(1 + 2)=4×3=12$。
10. 把下列各式分解因式：
（1）$(x + p)^{2}-(x - q)^{2}$；
（2）$(a - b)^{2}-4b^{2}$；
（3）$(x - 1)^{2}+2(x - 5)$；
（4）$49(x - 2)^{2}-25(x - 3)^{2}$。
（1）$(x + p)^{2}-(x - q)^{2}$；
（2）$(a - b)^{2}-4b^{2}$；
（3）$(x - 1)^{2}+2(x - 5)$；
（4）$49(x - 2)^{2}-25(x - 3)^{2}$。
答案
10. （1）$ (p + q)(2x + p - q) $ （2）$ (a + b)(a - 3b) $ （3）$ (x + 3) · (x - 3) $ （4）$ (12x - 29)(2x + 1) $
解析
（1）$(x + p)^{2}-(x - q)^{2}$
$=[(x + p)+(x - q)][(x + p)-(x - q)]$
$=(2x + p - q)(p + q)$
（2）$(a - b)^{2}-4b^{2}$
$=(a - b)^{2}-(2b)^{2}$
$=[(a - b)+2b][(a - b)-2b]$
$=(a + b)(a - 3b)$
（3）$(x - 1)^{2}+2(x - 5)$
$=x^{2}-2x + 1 + 2x - 10$
$=x^{2}-9$
$=(x + 3)(x - 3)$
（4）$49(x - 2)^{2}-25(x - 3)^{2}$
$=[7(x - 2)]^{2}-[5(x - 3)]^{2}$
$=[7(x - 2)+5(x - 3)][7(x - 2)-5(x - 3)]$
$=(7x - 14 + 5x - 15)(7x - 14 - 5x + 15)$
$=(12x - 29)(2x + 1)$
$=[(x + p)+(x - q)][(x + p)-(x - q)]$
$=(2x + p - q)(p + q)$
（2）$(a - b)^{2}-4b^{2}$
$=(a - b)^{2}-(2b)^{2}$
$=[(a - b)+2b][(a - b)-2b]$
$=(a + b)(a - 3b)$
（3）$(x - 1)^{2}+2(x - 5)$
$=x^{2}-2x + 1 + 2x - 10$
$=x^{2}-9$
$=(x + 3)(x - 3)$
（4）$49(x - 2)^{2}-25(x - 3)^{2}$
$=[7(x - 2)]^{2}-[5(x - 3)]^{2}$
$=[7(x - 2)+5(x - 3)][7(x - 2)-5(x - 3)]$
$=(7x - 14 + 5x - 15)(7x - 14 - 5x + 15)$
$=(12x - 29)(2x + 1)$
11. 利用因式分解计算：
（1）$\frac{1000^{2}}{25^{2}-248^{2}}$；
（2）$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{100^{2}})$。
（1）$\frac{1000^{2}}{25^{2}-248^{2}}$；
（2）$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{100^{2}})$。
答案
11. （1）500 （2）$ \dfrac{101}{200} $
解析
（1）$\begin{aligned}\frac{1000^{2}}{252^{2}-248^{2}}&=\frac{1000^{2}}{(252+248)(252-248)}\\&=\frac{1000^{2}}{500×4}\\&=\frac{1000000}{2000}\\&=500\end{aligned}$
（2）$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{100^{2}})\\=&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})×···×(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}\\=&\frac{1}{2}×\frac{101}{100}\\=&\frac{101}{200}\end{aligned}$
（2）$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{100^{2}})\\=&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})×···×(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}\\=&\frac{1}{2}×\frac{101}{100}\\=&\frac{101}{200}\end{aligned}$
12. 小王同学说：“$2^{48}-1$能被$60$与$70$之间的两个整数整除。”你认为这种说法正确吗？如果正确，请求出这两个整数；如果不正确，请说明理由。
答案
12. 正确 $ \because 2^{48} - 1 = (2^{24} + 1) × (2^{24} - 1) = (2^{24} + 1) × (2^{12} + 1) × (2^{12} - 1) = (2^{24} + 1) × (2^{12} + 1) × (2^{6} + 1) × (2^{6} - 1) = (2^{24} + 1) × (2^{12} + 1) × 65 × 63 $，$ \therefore 2^{48} - 1 $ 中含有因数 65 与 63，即 $ 2^{48} - 1 $ 能被整数 65，63 整除。$ \therefore $ 小王同学的说法正确，符合题意的两个整数为 65 与 63
解析
正确
$\because 2^{48} - 1 = (2^{24} + 1)(2^{24} - 1)$
$= (2^{24} + 1)(2^{12} + 1)(2^{12} - 1)$
$= (2^{24} + 1)(2^{12} + 1)(2^{6} + 1)(2^{6} - 1)$
$= (2^{24} + 1)(2^{12} + 1)×65×63$
$\therefore 2^{48} - 1$能被63和65整除，
这两个整数为63与65。
$\because 2^{48} - 1 = (2^{24} + 1)(2^{24} - 1)$
$= (2^{24} + 1)(2^{12} + 1)(2^{12} - 1)$
$= (2^{24} + 1)(2^{12} + 1)(2^{6} + 1)(2^{6} - 1)$
$= (2^{24} + 1)(2^{12} + 1)×65×63$
$\therefore 2^{48} - 1$能被63和65整除，
这两个整数为63与65。
