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12. 四边形 $ ABCD $ 是正方形，$ BE⊥BF $，$ BE=BF $，$ EF $ 与 $ BC $ 交于点 $ G $。
(1) 求证：$ AE=CF $。
(2) 若 $ ∠ABE=55° $，求 $ ∠EGC $ 的大小。
答案
12. (1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°.
∵BE⊥BF，
∴∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF.
∵AB=BC，∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE=CF.
(2)解：
∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠BEF=45°.
∵∠ABC=90°，∠ABE=55°，
∴∠GBE=35°，
∴∠EGC=80°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°.
∵BE⊥BF，
∴∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF.
∵AB=BC，∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE=CF.
(2)解：
∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠BEF=45°.
∵∠ABC=90°，∠ABE=55°，
∴∠GBE=35°，
∴∠EGC=80°.
解析
12. (1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°.
∵BE⊥BF，
∴∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF.
∵AB=BC，∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE=CF.
(2)解：
∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠BEF=45°.
∵∠ABC=90°，∠ABE=55°，
∴∠GBE=35°，
∴∠EGC=80°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°.
∵BE⊥BF，
∴∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF.
∵AB=BC，∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE=CF.
(2)解：
∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠BEF=45°.
∵∠ABC=90°，∠ABE=55°，
∴∠GBE=35°，
∴∠EGC=80°.
13. 如图，已知矩形 $ ABCD $ 中，$ E $ 是 $ AD $ 上的一点，$ F $ 是 $ AB $ 上的一点，$ EF⊥EC $，且 $ EF=EC $，$ DE=4\ cm $，矩形 $ ABCD $ 的周长为 $ 32\ cm $，求 $ AE $ 的长。
答案
13. 解：
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°
∴∠AEF+∠DEC=90°，
又
∵矩形ABCD中，∠FAE=∠EDC=90°
∴∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD
∵EF=EC，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD
∵矩形ABCD的周长为32cm，AD=AE+4.
∴2(AE+AE+4)=32.
解得AE=6(cm).
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°
∴∠AEF+∠DEC=90°，
又
∵矩形ABCD中，∠FAE=∠EDC=90°
∴∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD
∵EF=EC，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD
∵矩形ABCD的周长为32cm，AD=AE+4.
∴2(AE+AE+4)=32.
解得AE=6(cm).
解析
13. 解：
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°
∴∠AEF+∠DEC=90°，
又
∵矩形ABCD中，∠FAE=∠EDC=90°
∴∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD
∵EF=EC，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD
∵矩形ABCD的周长为32cm，AD=AE+4.
∴2(AE+AE+4)=32.
解得AE=6(cm).
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°
∴∠AEF+∠DEC=90°，
又
∵矩形ABCD中，∠FAE=∠EDC=90°
∴∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD
∵EF=EC，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD
∵矩形ABCD的周长为32cm，AD=AE+4.
∴2(AE+AE+4)=32.
解得AE=6(cm).
14. 如图，在 $ △ABC $ 中，$ AB=AC $，$ AD⊥BC $，垂足为点 $ D $，$ AN $ 是 $ △ABC $ 外角 $ ∠CAM $ 的平分线，$ CE⊥AN $，垂足为点 $ E $。
(1) 求证：四边形 $ ADCE $ 为矩形；
(2) 当 $ △ABC $ 满足什么条件时，四边形 $ ADCE $ 是一个正方形？并给出证明。
答案
14. (1)证明：在△ABC中，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC.
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=$\dfrac{1}{2}$×180°=90°.
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形.
理由：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°.
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形，
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形.
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC.
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=$\dfrac{1}{2}$×180°=90°.
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形.
理由：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°.
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形，
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形.
解析
14. (1)证明：在△ABC中，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC.
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=$\dfrac{1}{2}$×180°=90°.
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形.
理由：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°.
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形，
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形.
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC.
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=$\dfrac{1}{2}$×180°=90°.
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形.
理由：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°.
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形，
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形.
