1. 定义：一般地，若两个变量 $ x $，$ y $ 之间的对应关系可以表示成 $ y = ax^{2}+bx + c $（$ a $，$ b $，$ c $ 为常数且 $ a $）的形式，则称 $ y $ 是 $ x $ 的二次函数。

 ≠0

2. 图象：二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a ≠ 0) $ 的图象是一条，其顶点坐标为（，），对称轴为直线。

2. 抛物线 $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$ $x = -\frac{b}{2a}$

3. 抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c(a ≠ 0) $ 的特征：
（1）当 $ a ＞ 0 $ 时，抛物线开口向，并且向无限延伸。图象有最点（，）。
（2）当 $ a ＜ 0 $ 时，抛物线开口向，并且向无限延伸。图象有最点（，）。
（3）当 $ c ＞ 0 $ 时，抛物线交 $ y $ 轴于半轴，当 $ c ＜ 0 $ 时，抛物线交 $ y $ 轴于半轴，当 $ c = 0 $ 时，抛物线过。
（4）当 $ b = 0 $ 时，抛物线的对称轴为，当 $ a $，$ b $ 同号时，对称轴在 $ y $ 轴侧，当 $ a $，$ b $ 异号时，对称轴在 $ y $ 轴侧。

3. (1)上 上 低 $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$
(2)下 下 高 $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$
(3)正 负 原点
(4)y轴 左 右

4. 抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c(a ≠ 0) $ 与 $ x $ 轴的交点：
①与 $ x $ 轴有个公共点 $ ⇔ \Delta ＞ 0 ⇔ $ 一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a ≠ 0) $ 有的实数根；
②与 $ x $ 轴有个公共点 $ ⇔ \Delta = 0 ⇔ $ 一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a ≠ 0) $ 有的实数根；
③与 $ x $ 轴公共点 $ ⇔ \Delta ＜ 0 ⇔ $ 一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a ≠ 0) $实数根。

4. ①两 两个不相等 ②一 两个相等 ③没有 没有

5. 二次函数的表达式有三种形式：
①一般式为；
②顶点式为，其图象顶点坐标是 $ (h,k) $，对称轴是；
③交点式为（仅在 $ \Delta $0 时可用）。其中 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 是抛物线与 $ x $ 轴两交点的坐标。

5. ①$y = ax^{2} + bx + c(a ≠ 0)$
②$y = a(x - h)^{2} + k(a ≠ 0)$ 直线$x = h$
③$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})(a ≠ 0)$ ≥ 横