7. 如图①，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ A = 90^{\circ}$，$\tan B = \frac{3}{4}$，点 $P$ 在线段 $AB$ 上运动，点 $Q$，$R$ 分别在线段 $BC$，$AC$ 上，且使得四边形 $APQR$ 是矩形. 设 $AP$ 的长为 $x$，矩形 $APQR$ 的面积为 $y$，已知 $y$ 是 $x$ 的函数，其图象是过点 $(12, 36)$ 的抛物线的一部分(如图②所示)。
(1)求 $AB$ 的长。
(2)当 $AP$ 为何值时，矩形 $APQR$ 的面积最大？并求出最大值。
为了解决问题，小明和研究性学习小组的同学做了如下讨论：
乐乐：“图②中的抛物线过点 $(12, 36)$ 在图①中表示什么呢？”
康康：“因为抛物线上的点 $(x, y)$ 是表示图①中 $AP$ 的长与矩形 $APQR$ 面积的对应关系，那么 $(12, 36)$ 表示当 $AP = 12$ 时，$AP$ 的长与矩形 $APQR$ 面积的对应关系。”
小亮：“对，我知道纵坐标 36 是什么意思了！”
小明：“哦，这样就可以算出 $AB$，这个问题就可以解决了。”
请根据上述对话，帮他们解决问题。
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7. 解:(1)当 $ AP = 12 $ 时, $ AP · PQ = 36 $,
$ \therefore PQ = 3 $. 又在 $ \mathrm{Rt} △ PBQ $ 中, $ \tan B = \frac{3}{4} $,
$ \therefore \frac{PQ}{PB} = \frac{3}{4} $, $ \therefore PB = 4 $,
$ \therefore AB = 16 $.
(2)设 $ AP = x $,则 $ PB = 16 - x $, $ PQ = \frac{3}{4}(16 - x) $,
$ \therefore y = \frac{3}{4}(16 - x)x $,整理得 $ y = -\frac{3}{4}(x - 8)^2 + 48 $.
$ \therefore $ 当 $ x = 8 $ 时, $ y_{\mathrm{最大值}} = 48 $.

8. (绍兴)课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案：当窗户半圆的半径约为 $0.35\ \mathrm{m}$ 时，透光面积的最大值约为 $1.05\ \mathrm{m}^2$。
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为 6 m，利用图③，解答下列问题：
(1)若 $AB$ 为 $1\ \mathrm{m}$，求此时窗户的透光面积。
(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明。
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8. 解:(1)由已知可得 $ AD = \frac{6 - 1 - 1 - 1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{4} \, (\mathrm{m}) $,
则此时窗户的透光面积为 $ 1 × \frac{5}{4} = \frac{5}{4} \, (\mathrm{m}^2) $.
(2)设 $ AB = x \, \mathrm{m} $,则 $ AD = (3 - \frac{7}{4}x ) \, \mathrm{m} $,
$ \because 3 - \frac{7}{4}x ＞ 0 $, $ \therefore 0 ＜ x ＜ \frac{12}{7} $. 设窗户透光面积为 $ S $,
由已知得, $ S = AB · AD = x (3 - \frac{7}{4}x ) = -\frac{7}{4}x^2 + 3x = -\frac{7}{4} (x - \frac{6}{7} )^2 + \frac{9}{7} $,
当 $ x = \frac{6}{7} $ 时, $ S_{\mathrm{最大值}} = \frac{9}{7} \, \mathrm{m}^2 ＞ 1.05 \, \mathrm{m}^2 $,
$ \therefore $ 与课本中的例题比较,现在窗户透光面积的最大值变大.