2026年预学与导学八年级数学下册浙教版第42页答案
1. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$E$，$∠ CDA$的平分线交$BC$于点$F$。求证：$DE = BF$。
小贴士：可以不借助三角形全等来证明。

答案

∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$∠ ABC=∠ CDA$，$AD=BC$。
∵ $BE$平分$∠ ABC$，$DF$平分$∠ CDA$，
∴ $∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ FDA=\frac{1}{2}∠ CDA$，
∴ $∠ EBC=∠ FDA$。
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ FDA=∠ DFC$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ EBC=∠ DFC$，
∴ $BE// DF$。
又
∵ $AD// BC$，即$DE// BF$，
∴ 四边形$BFDE$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ $DE=BF$（平行四边形的对边相等）。
2. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ ABC = 3∠ A$，点$E$在$CD$上，$CE = 1$，$FE⊥ CD$于点$E$，$AD = 1$，求$BF$的长。

答案

在$□ ABCD$中，$AD// BC$，$∠ A + ∠ ABC = 180°$，$∠ C = ∠ A$，$BC = AD = 1$。
已知$∠ ABC = 3∠ A$，则$∠ A + 3∠ A = 180°$，解得$∠ A = 45°$，故$∠ C = 45°$。
因为$FE⊥ CD$，所以$△ CEF$是等腰直角三角形，又$CE = 1$，根据勾股定理得$FC = \sqrt{CE^2 + EF^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
因此$BF = FC - BC = \sqrt{2} - 1$。
3. 在$□ ABCD$中，$∠ BAD$，$∠ ABC$的平分线$AF$，$BG$分别与直线$CD$相交于点$F$，$G$，$AF$与$BG$相交于点$E$。
(1) 求证：$AF⊥ BG$，$CF = DG$。
(2) 若$AB = 10$，$FG = 6$，求$AD$的长。
小贴士：图形位置不同，答案也可能不同哦！

答案

(1) ① 证明$AF⊥BG$：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，故$∠ BAD + ∠ ABC = 180°$。
因为$AF$平分$∠ BAD$，$BG$平分$∠ ABC$，所以$∠ FAB = \frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ ABE = \frac{1}{2}∠ ABC$。
则$∠ FAB + ∠ ABE = \frac{1}{2}(∠ BAD + ∠ ABC) = 90°$，在$△ ABE$中，$∠ AEB = 180° - (∠ FAB + ∠ ABE) = 90°$，所以$AF⊥ BG$。
② 证明$CF = DG$：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AD=BC$，$AB=CD$。
由$AB// CD$得$∠ F = ∠ FAB$，又$AF$平分$∠ BAD$，$∠ FAB = ∠ FAD$，故$∠ F = ∠ FAD$，所以$AD=DF$。
同理，$∠ G = ∠ GBA$，$BG$平分$∠ ABC$，$∠ GBA = ∠ GBC$，故$∠ G = ∠ GBC$，所以$BC=CG$。
因为$AD=BC$，所以$DF=CG$，因此$CF=DG$。
(2) 分两种情况：
① 当点$F$、$G$分别在$CD$的延长线和反向延长线上时：
已知$AB=CD=10$，$DF=AD$，$CG=AD$，由$DF + CG - FG = CD$，即$AD + AD - 6 = 10$，解得$AD=8$。
② 当点$F$、$G$在$CD$的同侧时：
$CF=CD - AD$，$DG=CD - AD$，由$FG=CF + DG - CD$得$6=(10-AD)+(10-AD)-10$，解得$AD=2$。
综上，$AD$的长为$8$或$2$。