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10.端午节是我国的传统节日,民间有端午节吃粽子的习俗.在端午节来临之际,某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动,对学生的活动情况按10分制进行评分,成绩(单位:分)均为不低于6的整数.为了解这次活动的效果,现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理,并绘制统计图表,部分信息如下:
七年级10名学生活动成绩扇形统计图
八年级10名学生活动成绩统计表
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分.
请根据以上信息,回答下列问题:
(1)样本中,七年级活动成绩为7分的学生人数是
(2)a=
(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”,请根据样本数据,判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高,并说明理由.
七年级10名学生活动成绩扇形统计图
八年级10名学生活动成绩统计表
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分.
请根据以上信息,回答下列问题:
(1)样本中,七年级活动成绩为7分的学生人数是
1
,七年级活动成绩的众数为8
分;(2)a=
2
,b=3
;(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”,请根据样本数据,判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高,并说明理由.
答案
10.解:(1)根据扇形统计图,七年级活动成绩为7分的学生数的占比为1-50%-20%-20%=10%,所以样本中,七年级活动成绩为7分的学生数是10×10%=1.根据扇形统计图,七年级活动成绩的众数为8分.故答案为1,8.
(2)
∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分,
∴排第5的学生为8分,排第6的学生为9分,
∴a=5-1-2=2,b=10-1-2-2-2=3.故答案为2,3.
(3)优秀率高的年级不一定平均成绩也高.理由如下:七年级优秀率为20%+20%=40%,平均成绩为7×10%+8×50%+9×20%+10×20%=8.5;八年级优秀率为$\frac{3+2}{10}×100\%=50\%＞40\%$,平均成绩为$\frac{1}{10}×(6+2×7+2×8+3×9+2×10)=8.3＜8.5$,
∴优秀率高的年级为八年级,但平均成绩七年级更高,
∴优秀率高的年级不一定平均成绩也高.
(2)
∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分,
∴排第5的学生为8分,排第6的学生为9分,
∴a=5-1-2=2,b=10-1-2-2-2=3.故答案为2,3.
(3)优秀率高的年级不一定平均成绩也高.理由如下:七年级优秀率为20%+20%=40%,平均成绩为7×10%+8×50%+9×20%+10×20%=8.5;八年级优秀率为$\frac{3+2}{10}×100\%=50\%＞40\%$,平均成绩为$\frac{1}{10}×(6+2×7+2×8+3×9+2×10)=8.3＜8.5$,
∴优秀率高的年级为八年级,但平均成绩七年级更高,
∴优秀率高的年级不一定平均成绩也高.
解析
【分析】
（1）解决第一问时，先根据扇形统计图各部分占比之和为1，求出七年级成绩为7分的学生占比，再乘抽取的总人数10即可得到对应人数；众数是出现次数最多的成绩，找占比最高的分数即可。
（2）解决第二问时，10个数据的中位数是排序后第5、第6个数据的平均数，已知中位数为8.5，说明第5个数据是8分、第6个数据是9分，据此先算出8分的人数a，再用总人数减去其余分数段的人数得到b。
（3）解决第三问时，分别计算两个年级的优秀率（不低于9分的人数占比）和加权平均成绩，对比优秀率更高的年级和平均成绩更高的年级是否一致即可。
【解析】
（1）七年级成绩为7分的学生占比为$1-50\%-20\%-20\%=10\%$，对应人数为$10×10\%=1$；扇形统计图中8分的占比最高，所以七年级活动成绩的众数为8分。
（2）八年级共10名学生，中位数是第5、6名成绩的平均数，已知中位数为8.5分，说明第5名成绩为8分，第6名成绩为9分。6分有1人，7分有2人，所以8分的人数$a=5-1-2=2$；总人数为10，所以9分的人数$b=10-1-2-2-2=3$。
（3）优秀率高的年级平均成绩不一定更高，理由如下：
七年级优秀率为$20\%+20\%=40\%$，平均成绩为$7×10\% + 8×50\% + 9×20\% + 10×20\% = 8.5$分；
八年级优秀率为$\frac{3+2}{10}×100\%=50\%$，高于七年级的40%，平均成绩为$\frac{1}{10}×(6 + 2×7 + 2×8 + 3×9 + 2×10)=8.3$分，低于七年级的8.5分。
因此优秀率更高的八年级，平均成绩反而低于七年级，故优秀率高的年级不一定平均成绩也高。
【答案】
(1) $\boxed{1}$，$\boxed{8}$；
(2) $\boxed{2}$，$\boxed{3}$；
(3) 优秀率高的年级不一定平均成绩也高，理由见解析。
【知识点】
扇形统计图，中位数与众数，加权平均数
【点评】
本题结合传统节日的实践活动场景，考查统计核心知识点的应用，需要学生具备从统计图表中提取信息、结合中位数等概念计算未知量、运用加权平均数和占比计算进行数据对比的能力，综合性较强但难度适中。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问时，先根据扇形统计图各部分占比之和为1，求出七年级成绩为7分的学生占比，再乘抽取的总人数10即可得到对应人数；众数是出现次数最多的成绩，找占比最高的分数即可。
（2）解决第二问时，10个数据的中位数是排序后第5、第6个数据的平均数，已知中位数为8.5，说明第5个数据是8分、第6个数据是9分，据此先算出8分的人数a，再用总人数减去其余分数段的人数得到b。
（3）解决第三问时，分别计算两个年级的优秀率（不低于9分的人数占比）和加权平均成绩，对比优秀率更高的年级和平均成绩更高的年级是否一致即可。
【解析】
（1）七年级成绩为7分的学生占比为$1-50\%-20\%-20\%=10\%$，对应人数为$10×10\%=1$；扇形统计图中8分的占比最高，所以七年级活动成绩的众数为8分。
（2）八年级共10名学生，中位数是第5、6名成绩的平均数，已知中位数为8.5分，说明第5名成绩为8分，第6名成绩为9分。6分有1人，7分有2人，所以8分的人数$a=5-1-2=2$；总人数为10，所以9分的人数$b=10-1-2-2-2=3$。
（3）优秀率高的年级平均成绩不一定更高，理由如下：
七年级优秀率为$20\%+20\%=40\%$，平均成绩为$7×10\% + 8×50\% + 9×20\% + 10×20\% = 8.5$分；
八年级优秀率为$\frac{3+2}{10}×100\%=50\%$，高于七年级的40%，平均成绩为$\frac{1}{10}×(6 + 2×7 + 2×8 + 3×9 + 2×10)=8.3$分，低于七年级的8.5分。
因此优秀率更高的八年级，平均成绩反而低于七年级，故优秀率高的年级不一定平均成绩也高。
【答案】
(1) $\boxed{1}$，$\boxed{8}$；
(2) $\boxed{2}$，$\boxed{3}$；
(3) 优秀率高的年级不一定平均成绩也高，理由见解析。
【知识点】
扇形统计图，中位数与众数，加权平均数
【点评】
本题结合传统节日的实践活动场景，考查统计核心知识点的应用，需要学生具备从统计图表中提取信息、结合中位数等概念计算未知量、运用加权平均数和占比计算进行数据对比的能力，综合性较强但难度适中。
【难度系数】
0.7
11.某中学举办“网络安全知识竞赛”,初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛,两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示.
(1)根据图示计算$a,b,c$的值.
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析,哪个队的决赛成绩较好?
(3)计算初中代表队决赛成绩的方差$s_{初中}^2$,并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.
(1)根据图示计算$a,b,c$的值.
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析,哪个队的决赛成绩较好?
(3)计算初中代表队决赛成绩的方差$s_{初中}^2$,并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.
答案
11.解:(1)初中5名选手的平均分$a=\frac{75+80+85+85+100}{5}=85$,众数$b=85$,高中5名选手的成绩是70,75,80,100,100,故中位数$c=80$.
(2)由表格可知初中部与高中部的平均分相同,初中部的中位数高,故初中部决赛成绩较好.
(3)$s_{初中}^2=\frac{1}{5}×[(75-85)^2+(80-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(100-85)^2]=70$,
∵$s_{初中}^2＜s_{高中}^2$,
∴初中代表队选手成绩较为稳定.
(2)由表格可知初中部与高中部的平均分相同,初中部的中位数高,故初中部决赛成绩较好.
(3)$s_{初中}^2=\frac{1}{5}×[(75-85)^2+(80-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(100-85)^2]=70$,
∵$s_{初中}^2＜s_{高中}^2$,
∴初中代表队选手成绩较为稳定.
解析
【分析】
(1) 求解a、b、c需先明确三个统计量的定义：a是初中代表队的平均分，等于初中5名选手成绩总和除以参赛人数5；b是初中代表队成绩的众数，即成绩中出现次数最多的数值；c是高中代表队成绩的中位数，需先将高中5名选手的成绩从小到大排序，取排在第3位的数值即可。
(2) 判断哪个队成绩更好时，先对比两队的平均数，若平均数相同，再对比中位数，中位数更高的队伍整体成绩更优。
(3) 计算初中队方差需用方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，算出结果后和高中队方差比较，方差越小说明成绩波动越小，队伍成绩越稳定。
【解析】
(1) 提取初中5名选手的决赛成绩为75、80、85、85、100，
则平均分$a=\frac{75+80+85+85+100}{5}=85$，
成绩中85出现次数最多，故众数$b=85$；
提取高中5名选手的决赛成绩为70、75、80、100、100，从小到大排序后第3位的数是80，故中位数$c=80$。
(2) 经计算可得初中部与高中部的平均成绩相同，初中部成绩的中位数高于高中部，说明初中部中等水平选手的成绩更好，因此初中部决赛成绩较好。
(3) 根据方差公式计算初中代表队的方差：
$s_{初中}^2=\frac{1}{5}×[(75-85)^2+(80-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(100-85)^2]$
$=\frac{1}{5}×(100+25+0+0+225)=70$，
$\because s_{初中}^2＜s_{高中}^2$，方差越小成绩波动越小，
$\therefore$ 初中代表队选手成绩较为稳定。
【答案】
(1) $a=85$，$b=85$，$c=80$；
(2) 初中部决赛成绩较好；
(3) $s_{初中}^2=70$，初中代表队选手成绩较为稳定。
【知识点】
平均数与众数，中位数，方差计算与应用
【点评】
本题结合知识竞赛的实际场景，考查了统计特征量的计算与实际应用，解题核心是熟练掌握各统计量的定义和意义，能结合数据特征分析实际问题，计算时需注意避免运算失误。
【难度系数】
0.8
(1) 求解a、b、c需先明确三个统计量的定义：a是初中代表队的平均分，等于初中5名选手成绩总和除以参赛人数5；b是初中代表队成绩的众数，即成绩中出现次数最多的数值；c是高中代表队成绩的中位数，需先将高中5名选手的成绩从小到大排序，取排在第3位的数值即可。
(2) 判断哪个队成绩更好时，先对比两队的平均数，若平均数相同，再对比中位数，中位数更高的队伍整体成绩更优。
(3) 计算初中队方差需用方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，算出结果后和高中队方差比较，方差越小说明成绩波动越小，队伍成绩越稳定。
【解析】
(1) 提取初中5名选手的决赛成绩为75、80、85、85、100，
则平均分$a=\frac{75+80+85+85+100}{5}=85$，
成绩中85出现次数最多，故众数$b=85$；
提取高中5名选手的决赛成绩为70、75、80、100、100，从小到大排序后第3位的数是80，故中位数$c=80$。
(2) 经计算可得初中部与高中部的平均成绩相同，初中部成绩的中位数高于高中部，说明初中部中等水平选手的成绩更好，因此初中部决赛成绩较好。
(3) 根据方差公式计算初中代表队的方差：
$s_{初中}^2=\frac{1}{5}×[(75-85)^2+(80-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(100-85)^2]$
$=\frac{1}{5}×(100+25+0+0+225)=70$，
$\because s_{初中}^2＜s_{高中}^2$，方差越小成绩波动越小，
$\therefore$ 初中代表队选手成绩较为稳定。
【答案】
(1) $a=85$，$b=85$，$c=80$；
(2) 初中部决赛成绩较好；
(3) $s_{初中}^2=70$，初中代表队选手成绩较为稳定。
【知识点】
平均数与众数，中位数，方差计算与应用
【点评】
本题结合知识竞赛的实际场景，考查了统计特征量的计算与实际应用，解题核心是熟练掌握各统计量的定义和意义，能结合数据特征分析实际问题，计算时需注意避免运算失误。
【难度系数】
0.8
