5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=60°$,$AD$,$CE$分别平分$∠ BAC$,$∠ ACB$.求证:$AC=AE+CD$.

5. 证明:如答图,在 $AC$ 上截取 $AF=AE$,连接 $OF$.
$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ EAO=∠ FAO.$
在$△ AEO$ 与$△ AFO$ 中,$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠ EAO=∠ FAO,\\ AO=AO, \end{cases}$
$\therefore △ AEO≌△ AFO(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ AOE=∠ AOF.$
$\because AD,CE$ 分别平分$∠ BAC,∠ ACB,$
$\therefore ∠ ECA+∠ DAC=\frac{1}{2}∠ ACB+\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ BAC)=\frac{1}{2}(180°-∠ B)=60°,$
则$∠ AOC=180°-(∠ ECA+∠ DAC)=180°-60°=120°,$
$\therefore ∠ AOC=∠ DOE=120°,∠ AOE=∠ COD=∠ AOF=60°,$
则$∠ COF=60°,\therefore ∠ COD=∠ COF.$
在$△ FOC$ 和$△ DOC$ 中,$\begin{cases} ∠ COF=∠ COD,\\ CO=CO,\\ ∠ FCO=∠ DCO, \end{cases}$
$\therefore △ FOC≌△ DOC(\mathrm{ASA}),\therefore DC=FC.$
$\because AC=AF+FC,\therefore AC=AE+CD.$

【分析】
要证明一条线段等于另外两条线段的和，属于线段和差类证明问题，常用截长补短法求解。本题采用截长法更简便：在较长线段AC上截取一段等于AE，只需证明剩下的线段等于CD即可。结合题目给出的角平分线条件，可先利用SAS证明第一组三角形全等，再结合三角形内角和定理推导角的等量关系，用ASA证明第二组三角形全等，最终通过线段代换得到结论。
【解析】
证明：如答图，在 $AC$ 上截取 $AF=AE$，连接 $OF$。
$\because AD$ 平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ EAO=∠ FAO$。
在$△ AEO$ 与$△ AFO$ 中，
$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠ EAO=∠ FAO,\\ AO=AO, \end{cases}$
$\therefore △ AEO≌△ AFO(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠ AOE=∠ AOF$。
$\because AD,CE$ 分别平分$∠ BAC,∠ ACB$，
$\therefore ∠ ECA+∠ DAC=\frac{1}{2}∠ ACB+\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ BAC)=\frac{1}{2}(180°-∠ B)=60°$，
则$∠ AOC=180°-(∠ ECA+∠ DAC)=180°-60°=120°$，
$\therefore ∠ AOC=∠ DOE=120°$，$∠ AOE=∠ COD=∠ AOF=60°$，
则$∠ COF=60°$，$\therefore ∠ COD=∠ COF$。
在$△ FOC$ 和$△ DOC$ 中，
$\begin{cases} ∠ COF=∠ COD,\\ CO=CO,\\ ∠ FCO=∠ DCO, \end{cases}$
$\therefore △ FOC≌△ DOC(\mathrm{ASA})$，$\therefore DC=FC$。
$\because AC=AF+FC$，$\therefore AC=AE+CD$。
【答案】
证明:如答图,在 $AC$ 上截取 $AF=AE$,连接 $OF$。
$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ EAO=∠ FAO$。
在$△ AEO$ 与$△ AFO$ 中,$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠ EAO=∠ FAO,\\ AO=AO, \end{cases}$
$\therefore △ AEO≌△ AFO(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ AOE=∠ AOF$。
$\because AD,CE$ 分别平分$∠ BAC,∠ ACB,$
$\therefore ∠ ECA+∠ DAC=\frac{1}{2}∠ ACB+\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ BAC)=\frac{1}{2}(180°-∠ B)=60°,$
则$∠ AOC=180°-(∠ ECA+∠ DAC)=180°-60°=120°,$
$\therefore ∠ AOC=∠ DOE=120°,∠ AOE=∠ COD=∠ AOF=60°,$
则$∠ COF=60°,\therefore ∠ COD=∠ COF$。
在$△ FOC$ 和$△ DOC$ 中,$\begin{cases} ∠ COF=∠ COD,\\ CO=CO,\\ ∠ FCO=∠ DCO, \end{cases}$
$\therefore △ FOC≌△ DOC(\mathrm{ASA}),\therefore DC=FC$。
$\because AC=AF+FC,\therefore AC=AE+CD$。
【知识点】
1. 全等三角形判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是线段和差证明的典型题，核心解题思路为用截长补短法构造全等三角形，解题过程中需要结合角平分线性质、三角形内角和定理推导角的等量关系，通过两次全等完成线段的等量代换，是三角形全等章节的常考题型。
【难度系数】
0.6

6. 如图，$∠ AOB=90°$，$OC$平分$∠ AOB$，把含$30°$角的三角尺的直角顶点放在$OC$的任意一点$P$上，并使三角尺的两条直角边分别与$OA$，$OB$相交于点$E$，$F$，$PE$与$PF$相等吗？请你给出证明.

6. 解:相等. 证明:如答图,过点 $P$ 作$PM⊥ OB$ 于点 $M$,$PN⊥ OA$ 于点 $N$.
$\because OC$ 平分$∠ AOB,$
$\therefore ∠ POM=∠ PON.$
$\because PM⊥ OB,PN⊥ OA,$
$\therefore ∠ PMO=∠ PNO=90°.$
在$△ POM$ 和$△ PON$ 中,
$\begin{cases} ∠ POM=∠ PON,\\ ∠ PMO=∠ PNO,\\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore △ POM≌△ PON(\mathrm{AAS}),$
$\therefore PM=PN.$
$\because ∠ PMO=∠ PNO=∠ MON=90°,$
$\therefore ∠ MPN=360°-3×90°=90°.$
$\because ∠ MPN=∠ EPF=90°,$
$\therefore ∠ MPF=∠ NPE.$
在$△ PMF$ 和$△ PNE$ 中,$\begin{cases} ∠ FPM=∠ EPN,\\ PM=PN,\\ ∠ PMF=∠ PNE, \end{cases}$
$\therefore △ PMF≌△ PNE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore PF=PE.$

【分析】
要证明线段PE和PF相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知OC是∠AOB的角平分线，我们可以利用角平分线的性质，过点P向OA、OB分别作垂线，得到两条等长的垂线段PM、PN；再结合三角尺的直角为90°，推导得到两个三角形的对应角相等，进而证明三角形全等，即可得出PE=PF的结论。
【解析】
过点$P$作$PM⊥ OB$ 于点 $M$,$PN⊥ OA$ 于点 $N$。
$\because OC$ 平分$∠ AOB,$
$\therefore ∠ POM=∠ PON.$
$\because PM⊥ OB,PN⊥ OA,$
$\therefore ∠ PMO=∠ PNO=90°.$
在$△ POM$ 和$△ PON$ 中,
$\begin{cases} ∠ POM=∠ PON,\\ ∠ PMO=∠ PNO,\\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore △ POM≌△ PON(\mathrm{AAS}),$
$\therefore PM=PN.$
$\because ∠ PMO=∠ PNO=∠ MON=90°,$
$\therefore ∠ MPN=360°-3×90°=90°.$
$\because ∠ MPN=∠ EPF=90°,$
$\therefore ∠ MPN-∠EPM=∠EPF-∠EPM$，即$∠ MPF=∠ NPE.$
在$△ PMF$ 和$△ PNE$ 中,
$\begin{cases} ∠ FPM=∠ EPN,\\ PM=PN,\\ ∠ PMF=∠ PNE, \end{cases}$
$\therefore △ PMF≌△ PNE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore PF=PE.$
【答案】
$PE$与$PF$相等，证明如下：
过点 $P$ 作$PM⊥ OB$ 于点 $M$,$PN⊥ OA$ 于点 $N$.
$\because OC$ 平分$∠ AOB,$
$\therefore ∠ POM=∠ PON.$
$\because PM⊥ OB,PN⊥ OA,$
$\therefore ∠ PMO=∠ PNO=90°.$
在$△ POM$ 和$△ PON$ 中,
$\begin{cases} ∠ POM=∠ PON,\\ ∠ PMO=∠ PNO,\\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore △ POM≌△ PON(\mathrm{AAS}),$
$\therefore PM=PN.$
$\because ∠ PMO=∠ PNO=∠ MON=90°,$
$\therefore ∠ MPN=360°-3×90°=90°.$
$\because ∠ MPN=∠ EPF=90°,$
$\therefore ∠ MPF=∠ NPE.$
在$△ PMF$ 和$△ PNE$ 中,$\begin{cases} ∠ FPM=∠ EPN,\\ PM=PN,\\ ∠ PMF=∠ PNE, \end{cases}$
$\therefore △ PMF≌△ PNE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore PF=PE.$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形综合的典型题型，通过作垂直于角两边的辅助线构造全等三角形，是角平分线相关证明题的常用技巧，能很好地考察对辅助线构造方法和全等判定的掌握程度。
【难度系数】
0.6

7. 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,且$BD=CD$.求证:$∠ B=∠ C$.

7. 证明:如答图,过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$ 于点 $E$,$DF⊥ AC$ 于点 $F$,$\therefore ∠ DEA=∠ DFA=90°.$
$\because AD$ 平分$∠ BAC,$
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD.$
$\because AD=AD,∠ DEA=∠ DFA,$
$\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{AAS}),$
$\therefore DE=DF,又 BD=CD,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ B=∠ C.$

【分析】
要证明∠B=∠C，通常可通过证明两角所在的三角形全等来推导。首先观察现有△ABD和△ACD，已知BD=CD、AD为公共边、∠BAD=∠CAD，属于SSA的条件，无法直接判定全等，因此需要构造新的全等三角形。已知AD是∠BAC的角平分线，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点D分别作AB、AC的垂线DE、DF，可得到DE=DF；再结合已知BD=CD，即可证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，从而得到对应角∠B=∠C。
【解析】
证明：过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$ 于点 $E$，$DF⊥ AC$ 于点 $F$，
$\therefore ∠ DEA=∠ DFA=90°$。
$\because AD$ 平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。
在$△ ADE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}∠DEA=∠DFA \\∠EAD=∠FAD \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE=DF$。
又 $\because BD=CD$，
在$\mathrm{Rt}△ DBE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中：
$\begin{cases}DE=DF \\BD=CD\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ B=∠ C$。
【答案】
$\boldsymbol{∠B=∠C}$
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等证明的典型题，核心是利用角平分线的性质构造辅助线，将已知的角平分线、中点条件转化为全等三角形的对应边相等，进而通过证全等得到角相等，掌握此类作垂线的辅助线技巧是解题关键。
【难度系数】
0.7