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【例1】在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6$,$AB=10$,以点$C$为圆心,$BC$长为半径作$\odot C$,则点$A$与$\odot C$的位置关系是 (
A.点$A$在$\odot C$内
B.点$A$在$\odot C$上
C.点$A$在$\odot C$外
D.无法确定
A
)A.点$A$在$\odot C$内
B.点$A$在$\odot C$上
C.点$A$在$\odot C$外
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】要判断点A与⊙C的位置关系，需先求出⊙C的半径及点A到圆心C的距离，再根据“点到圆心的距离d与半径r的大小关系”判断：若d＜r，点在圆内；d=r点在圆上；d＞r点在圆外。首先在Rt△ABC中用勾股定理算出BC的长度，再确定半径和点A到圆心的距离，最后比较两者大小即可。
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
BC = √(AB² - AC²) = √(10² - 6²) = √64 = 8。
∵⊙C以C为圆心、BC长为半径，
∴⊙C的半径r=BC=8。
点A到圆心C的距离d=AC=6。
∵d=6 ＜ r=8，
∴点A在⊙C内。
【答案】A
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】本题考查直角三角形勾股定理的应用及点与圆位置关系的判定，属于基础题型，解题关键是掌握点与圆位置关系的判定方法，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
BC = √(AB² - AC²) = √(10² - 6²) = √64 = 8。
∵⊙C以C为圆心、BC长为半径，
∴⊙C的半径r=BC=8。
点A到圆心C的距离d=AC=6。
∵d=6 ＜ r=8，
∴点A在⊙C内。
【答案】A
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】本题考查直角三角形勾股定理的应用及点与圆位置关系的判定，属于基础题型，解题关键是掌握点与圆位置关系的判定方法，难度较低。
【难度系数】0.8
1. 已知$\odot O$的半径为1,点$P$到圆心$O$的距离为$d$.若关于$x$的方程$x^{2}-2x+d=0$有实根,则点$P$ (
A. 在$\odot O$的内部
B. 在$\odot O$的外部
C. 在$\odot O$上
D. 在$\odot O$上或$\odot O$的内部
D
)A. 在$\odot O$的内部
B. 在$\odot O$的外部
C. 在$\odot O$上
D. 在$\odot O$上或$\odot O$的内部
答案
1. D
解析
【分析】
要确定点P的位置，需先根据一元二次方程有实根的条件求出点P到圆心O的距离d的取值范围，再结合点与圆的位置关系判定规则（d＜r时在圆内，d=r时在圆上，d＞r时在圆外），对比d与⊙O半径的大小即可得出结论。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 2x + d = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×d = 4 - 4d$。
因为方程有实根，所以$\Delta ≥ 0$，即：
$4 - 4d ≥ 0$
解得：$d ≤ 1$。
已知⊙O的半径$r = 1$，根据点与圆的位置关系：当$d ≤ r$时，点在圆内或圆上。因此点P在⊙O上或⊙O的内部。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；点与圆的位置关系
【点评】
本题结合一元二次方程根的判别式与点和圆的位置关系，考查基础知识点的综合运用，解题关键是先利用判别式求出d的范围，再结合位置关系规则判断，属于难度适中的基础题。
【难度系数】
0.7
要确定点P的位置，需先根据一元二次方程有实根的条件求出点P到圆心O的距离d的取值范围，再结合点与圆的位置关系判定规则（d＜r时在圆内，d=r时在圆上，d＞r时在圆外），对比d与⊙O半径的大小即可得出结论。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 2x + d = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×d = 4 - 4d$。
因为方程有实根，所以$\Delta ≥ 0$，即：
$4 - 4d ≥ 0$
解得：$d ≤ 1$。
已知⊙O的半径$r = 1$，根据点与圆的位置关系：当$d ≤ r$时，点在圆内或圆上。因此点P在⊙O上或⊙O的内部。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；点与圆的位置关系
【点评】
本题结合一元二次方程根的判别式与点和圆的位置关系，考查基础知识点的综合运用，解题关键是先利用判别式求出d的范围，再结合位置关系规则判断，属于难度适中的基础题。
【难度系数】
0.7
【例2】如图,$AB$、$CD$是$\odot O$的直径,弦$CE// AB$,$\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角的度数为$100°$,则$∠ AOC$的度数为 (
A.$30°$
B.$39°$
C.$40°$
D.$45°$
C
)A.$30°$
B.$39°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，先明确已知条件：AB、CD是⊙O的直径，因此OC=OE=OA（均为圆的半径），弦CE平行于AB，弧$\overset{\frown}{CE}$对应的圆心角∠COE=100°。解题思路：①利用等腰三角形性质，由△OCE的顶角∠COE计算底角∠OCE；②根据平行线的内错角相等，推导∠AOC与∠OCE的关系，进而求出∠AOC的度数。
【解析】
∵ OC、OE都是⊙O的半径，
∴ OC=OE，△OCE为等腰三角形。
已知弧$\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角∠COE=100°，根据等腰三角形内角和定理：
∠OCE = $\frac{180° - ∠COE}{2}$ = $\frac{180° - 100°}{2}$ = 40°。
又
∵ CE//AB，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠AOC = ∠OCE = 40°。
【答案】
C
【知识点】
圆的圆心角、平行线性质、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与平行线结合的基础题型，需综合运用等腰三角形内角计算和平行线的内错角性质，考查学生对基础知识点的综合运用能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，先明确已知条件：AB、CD是⊙O的直径，因此OC=OE=OA（均为圆的半径），弦CE平行于AB，弧$\overset{\frown}{CE}$对应的圆心角∠COE=100°。解题思路：①利用等腰三角形性质，由△OCE的顶角∠COE计算底角∠OCE；②根据平行线的内错角相等，推导∠AOC与∠OCE的关系，进而求出∠AOC的度数。
【解析】
∵ OC、OE都是⊙O的半径，
∴ OC=OE，△OCE为等腰三角形。
已知弧$\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角∠COE=100°，根据等腰三角形内角和定理：
∠OCE = $\frac{180° - ∠COE}{2}$ = $\frac{180° - 100°}{2}$ = 40°。
又
∵ CE//AB，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠AOC = ∠OCE = 40°。
【答案】
C
【知识点】
圆的圆心角、平行线性质、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与平行线结合的基础题型，需综合运用等腰三角形内角计算和平行线的内错角性质，考查学生对基础知识点的综合运用能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
2. 如图,$CD$是$\odot O$的直径,点$A$、$B$在$\odot O$上.若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$∠ AOC=36°$,则$∠ D$的度数为
$18°$
。答案
2. $18°$
解析
【分析】
要计算∠D的度数，需结合圆周角定理和等弧对应的圆心角的性质。首先，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，即可算出∠D的度数。
【解析】
1. 由弧AC = 弧BC，根据“同圆中，等弧所对的圆心角相等”，可得∠BOC = ∠AOC = 36°。
2. 因为∠D是圆周角，它所对的弧为弧BC，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以∠D = ½∠BOC = ½×36° = 18°。
【答案】
18°
【知识点】
圆周角定理，弧与圆心角的关系
【点评】
本题考查圆的基础性质，属于基础题型，核心是运用等弧与圆心角的关系、圆周角定理，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算∠D的度数，需结合圆周角定理和等弧对应的圆心角的性质。首先，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，即可算出∠D的度数。
【解析】
1. 由弧AC = 弧BC，根据“同圆中，等弧所对的圆心角相等”，可得∠BOC = ∠AOC = 36°。
2. 因为∠D是圆周角，它所对的弧为弧BC，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以∠D = ½∠BOC = ½×36° = 18°。
【答案】
18°
【知识点】
圆周角定理，弧与圆心角的关系
【点评】
本题考查圆的基础性质，属于基础题型，核心是运用等弧与圆心角的关系、圆周角定理，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
