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3. 为了节约用水,某水厂规定:某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨,那么这个月该单元居民只交10元水费.如果超过x吨,那么这个月除了仍要交10元水费外,超过那部分按每吨$\frac{x}{100}$元交费.
(1) 该单元居民8月份用水80吨,超过了"规定的x吨",则超过的用水量为
(2) 下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况:
根据上表数据,则x吨是多少?
(1) 该单元居民8月份用水80吨,超过了"规定的x吨",则超过的用水量为
(80-x)
吨,超过部分应交水费$\frac{x}{100}(80-x)$
元(用含x的式子表示).(2) 下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况:
根据上表数据,则x吨是多少?
答案
(1) $(80-x)$ $\frac{x}{100}(80-x)$
(2)60吨
(2)60吨
解析
【分析】
第(1)问根据“超过的用水量=总用水量-规定用水量”，结合超过部分的单价即可表示出对应水费；第(2)问先通过10月的交费情况确定x的范围，再根据9月的交费规则列出关于x的一元二次方程，求解后结合x的范围筛选出合理的解。
【解析】
(1) 总用水量为80吨，规定用水量为x吨，因此超过的用水量为$(80 - x)$吨；超过部分的单价为$\frac{x}{100}$元/吨，所以超过部分应交水费为$\frac{x}{100}(80 - x)$元。
(2) 分析10月：10月用水50吨，交费10元，说明50吨未超过规定用水量x吨，即$x ≥ 50$；
分析9月：9月用水85吨，交费25元，超过10元，说明85吨超过了规定用水量x吨，根据收费规则列方程：
$10 + \frac{x}{100}(85 - x) = 25$
整理得：$\frac{x(85 - x)}{100} = 15$，两边乘100得：$85x - x^2 = 1500$，移项化为标准一元二次方程：$x^2 - 85x + 1500 = 0$；
因式分解得：$(x - 60)(x - 25) = 0$，解得$x = 60$或$x = 25$；
结合$x ≥ 50$，舍去$x = 25$，因此$x = 60$吨。
【答案】
(1) $(80 - x)$，$\frac{x}{100}(80 - x)$；(2)60吨
【知识点】
分段计费问题，一元二次方程应用
【点评】
本题结合实际收费规则考查一元二次方程的应用，关键是理解分段收费的逻辑，同时需根据表格数据确定未知数的取值范围，筛选出合理的解，难度适中。
【难度系数】
0.5
第(1)问根据“超过的用水量=总用水量-规定用水量”，结合超过部分的单价即可表示出对应水费；第(2)问先通过10月的交费情况确定x的范围，再根据9月的交费规则列出关于x的一元二次方程，求解后结合x的范围筛选出合理的解。
【解析】
(1) 总用水量为80吨，规定用水量为x吨，因此超过的用水量为$(80 - x)$吨；超过部分的单价为$\frac{x}{100}$元/吨，所以超过部分应交水费为$\frac{x}{100}(80 - x)$元。
(2) 分析10月：10月用水50吨，交费10元，说明50吨未超过规定用水量x吨，即$x ≥ 50$；
分析9月：9月用水85吨，交费25元，超过10元，说明85吨超过了规定用水量x吨，根据收费规则列方程：
$10 + \frac{x}{100}(85 - x) = 25$
整理得：$\frac{x(85 - x)}{100} = 15$，两边乘100得：$85x - x^2 = 1500$，移项化为标准一元二次方程：$x^2 - 85x + 1500 = 0$；
因式分解得：$(x - 60)(x - 25) = 0$，解得$x = 60$或$x = 25$；
结合$x ≥ 50$，舍去$x = 25$，因此$x = 60$吨。
【答案】
(1) $(80 - x)$，$\frac{x}{100}(80 - x)$；(2)60吨
【知识点】
分段计费问题，一元二次方程应用
【点评】
本题结合实际收费规则考查一元二次方程的应用，关键是理解分段收费的逻辑，同时需根据表格数据确定未知数的取值范围，筛选出合理的解，难度适中。
【难度系数】
0.5
4. 某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3、4月共生产再生纸800吨,其中4月再生纸产量比3月的2倍少100吨.
(1) 求4月再生纸的产量;
(2) 若4月每吨再生纸的利润为1000元,5月再生纸产量比上月增加$m\%$,5月每吨再生纸的利润比上月增加$\frac{m}{2}\%$,且5月再生纸项目的利润达到66万元,求m的值;
(3) 若4月每吨再生纸的利润为1200元,4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月再生纸项目的利润比上月增加了25%,求6月每吨再生纸的利润.
(1) 求4月再生纸的产量;
(2) 若4月每吨再生纸的利润为1000元,5月再生纸产量比上月增加$m\%$,5月每吨再生纸的利润比上月增加$\frac{m}{2}\%$,且5月再生纸项目的利润达到66万元,求m的值;
(3) 若4月每吨再生纸的利润为1200元,4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月再生纸项目的利润比上月增加了25%,求6月每吨再生纸的利润.
答案
(1)500吨 (2)20 (3)1500元
解析
【分析】
第(1)问：已知3、4月再生纸总产量及4月产量与3月的数量关系，设3月产量为未知数，通过总产量列一元一次方程求解，再计算4月产量；
第(2)问：利用第(1)问的4月产量，结合5月产量、每吨利润的增长率，根据“总利润=产量×每吨利润”列一元二次方程，舍去不符合实际的解得到m的值；
第(3)问：设利润的月平均增长率为a（与6月产量增长率相同），根据“6月利润比5月增加25%”的关系，化简方程后求出6月每吨利润。
【解析】
(1) 设3月再生纸产量为$ x $吨，则4月产量为$ (2x - 100) $吨，根据题意：
$ x + (2x - 100) = 800 $
解得$ 3x = 900 $，即$ x = 300 $，
则4月产量为$ 2×300 - 100 = 500 $吨；
(2) 4月产量为500吨，5月产量为$ 500(1 + m\%) $吨，5月每吨利润为$ 1000(1 + \frac{m}{2}\%) $元，总利润66万元=660000元，根据题意：
$ 500(1 + m\%) × 1000(1 + \frac{m}{2}\%) = 660000 $
化简得：$ 500000×(1 + 0.015m + 0.00005m^2) = 660000 $
整理为：$ m^2 + 300m - 6400 = 0 $
因式分解得$ (m - 20)(m + 320) = 0 $，
解得$ m = 20 $（$ m = -320 $不符合增长率要求，舍去）；
(3) 设利润的月平均增长率为$ a $，则6月产量增长率也为$ a $，4月每吨利润1200元，6月每吨利润为$ 1200(1+a)^2 $元；
由“6月利润比上月增加25%”，得：
$ 5月利润×(1+a)^2 = 1.25×5月利润 $
约去5月利润（不为0），得$ (1+a)^2 = 1.25 $，
故6月每吨利润为$ 1200×1.25 = 1500 $元；
【答案】
(1)500吨；(2)20；(3)1500元
【知识点】
一元一次方程应用；一元二次方程应用；增长率问题
【点评】
本题为实际生产中的数学应用问题，分三小问逐步考查方程的应用，关键是找准各问的等量关系，注意舍去不符合实际意义的解，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
第(1)问：已知3、4月再生纸总产量及4月产量与3月的数量关系，设3月产量为未知数，通过总产量列一元一次方程求解，再计算4月产量；
第(2)问：利用第(1)问的4月产量，结合5月产量、每吨利润的增长率，根据“总利润=产量×每吨利润”列一元二次方程，舍去不符合实际的解得到m的值；
第(3)问：设利润的月平均增长率为a（与6月产量增长率相同），根据“6月利润比5月增加25%”的关系，化简方程后求出6月每吨利润。
【解析】
(1) 设3月再生纸产量为$ x $吨，则4月产量为$ (2x - 100) $吨，根据题意：
$ x + (2x - 100) = 800 $
解得$ 3x = 900 $，即$ x = 300 $，
则4月产量为$ 2×300 - 100 = 500 $吨；
(2) 4月产量为500吨，5月产量为$ 500(1 + m\%) $吨，5月每吨利润为$ 1000(1 + \frac{m}{2}\%) $元，总利润66万元=660000元，根据题意：
$ 500(1 + m\%) × 1000(1 + \frac{m}{2}\%) = 660000 $
化简得：$ 500000×(1 + 0.015m + 0.00005m^2) = 660000 $
整理为：$ m^2 + 300m - 6400 = 0 $
因式分解得$ (m - 20)(m + 320) = 0 $，
解得$ m = 20 $（$ m = -320 $不符合增长率要求，舍去）；
(3) 设利润的月平均增长率为$ a $，则6月产量增长率也为$ a $，4月每吨利润1200元，6月每吨利润为$ 1200(1+a)^2 $元；
由“6月利润比上月增加25%”，得：
$ 5月利润×(1+a)^2 = 1.25×5月利润 $
约去5月利润（不为0），得$ (1+a)^2 = 1.25 $，
故6月每吨利润为$ 1200×1.25 = 1500 $元；
【答案】
(1)500吨；(2)20；(3)1500元
【知识点】
一元一次方程应用；一元二次方程应用；增长率问题
【点评】
本题为实际生产中的数学应用问题，分三小问逐步考查方程的应用，关键是找准各问的等量关系，注意舍去不符合实际意义的解，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
