7. 有下列说法:①圆锥和圆柱的底面都是圆;②正方体是四棱柱,四棱柱是正方体;③棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形;④棱锥底面边数与侧棱数相等. 其中说法正确的是.（填序号）

7.①③④

【分析】
要判断每个说法的正确性，需回忆圆柱、圆锥、正方体、四棱柱、棱柱、棱锥的相关定义与特征，逐个分析每个说法后汇总正确序号。
【解析】
1. 分析①：圆锥的底面是圆，圆柱的两个底面也都是圆，因此①正确；
2. 分析②：正方体是特殊的四棱柱，但四棱柱包含正方体、长方体等，并非所有四棱柱都是正方体，因此②错误；
3. 分析③：根据棱柱的定义，棱柱的上下底面是形状、大小完全相同的多边形，因此③正确；
4. 分析④：棱锥的底面为n边形时，侧棱有n条，故底面边数与侧棱数相等，因此④正确。
综上，正确的说法是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
立体图形的认识，棱柱与棱锥的特征
【点评】
本题考查常见立体图形的基础概念，需准确掌握圆柱、圆锥、棱柱、棱锥的特征，以及特殊四棱柱的从属关系，属于基础题型，易出错点为混淆四棱柱与正方体的关系。
【难度系数】
0.6

8. (1)在一个六棱柱中,共有 条棱;
(2)若一个棱柱有 12 条棱,则这个棱柱有 个面.

8.(1)18 (2)6

【分析】
首先明确n棱柱的结构特征：n棱柱有2个完全相同的n边形底面，n个侧面；总棱数为上下底面的棱数（各n条，共2n条）加侧棱（n条），即总棱数=3n；总面数为2个底面加n个侧面，即总面数=n+2。根据题目给出的棱柱类型或棱数，代入对应公式计算即可。
【解析】
(1) 六棱柱对应n=6，根据n棱柱总棱数公式：总棱数=3n，代入得3×6=18，因此六棱柱共有18条棱。
(2) 设该棱柱为n棱柱，已知总棱数为12，根据公式3n=12，解得n=4；再根据n棱柱总面数公式：总面数=n+2，代入n=4得4+2=6，因此这个棱柱有6个面。
【答案】
(1)18 (2)6
【知识点】
棱柱的棱数计算、棱柱的面数计算
【点评】
本题考查棱柱的基本结构，核心是掌握n棱柱的棱数与面数的计算公式，属于基础题型，只要熟记公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

9. 用平面分别截下列几何体:①三棱柱;②三棱锥;③正方体;④圆锥;⑤球. 得到的截面可能是三角形的是.(填序号)

9.①②③④

【分析】要判断平面截几何体能否得到三角形截面，需逐个分析每个几何体的截面可能性：①三棱柱，平面与三个侧面相交可截得三角形；②三棱锥，平面与三个侧面相交必截得三角形；③正方体，平面经过三个面可截得三角形；④圆锥，沿轴截面截可得三角形；⑤球，任意截面都是圆，无法得到三角形。据此找出符合的序号。
【解析】逐个分析各几何体的截面情况：
1. 三棱柱：当平面与三棱柱的三个侧面都相交时，截面为三角形，故①符合；
2. 三棱锥：平面与三棱锥的三个侧面相交，截面为三角形，故②符合；
3. 正方体：当平面经过正方体的三个面时，截面是三角形，故③符合；
4. 圆锥：沿圆锥的轴截面（过顶点和底面直径的平面）截圆锥，截面为三角形，故④符合；
5. 球：无论用何种平面截球，截面都是圆，不可能是三角形，故⑤不符合。
综上，截面可能是三角形的是①②③④。
【答案】①②③④
【知识点】几何体的截面
【点评】本题考查平面截几何体的截面形状，属于基础题，需熟悉常见几何体的截面特征，逐一分析即可得出答案。
【难度系数】0.4

10.(1)在同一平面内,用火柴棒(长度相同)搭4个一样大小的三角形,至少要根火柴棒;
(2)在空间内,用火柴棒(长度相同)搭4个一样大小的三角形,至少要根火柴棒.

10.(1)9 (2)6

【分析】
要解决这两个问题，需分别考虑平面和空间中搭建三角形时火柴棒的共用情况：
(1)同一平面内，单个三角形需3根火柴，4个独立三角形共需12根，通过共用边可减少火柴数量。最优方式是构造大等边三角形，各边用2根火柴，再连接三边中点（各1根火柴），形成4个小等边三角形，利用共用边减少总根数。
(2)空间内，可利用立体结构，正四面体有4个全等的等边三角形面，仅需6条棱（每条1根火柴）即可搭成，比平面更少。
【解析】
(1)同一平面内：
① 单个三角形需3根火柴，若4个三角形独立，共需3×4=12根；
② 为减少火柴数，构造边长为2根火柴的大等边三角形，其内部连接三边中点（各1根火柴），形成4个边长为1根火柴的小等边三角形；
③ 总火柴数：大三角形的3边各2根（共3×2=6），加上3条中位线（共3×1=3），合计6+3=9根。
(2)空间内：
正四面体的4个面均为全等的等边三角形，其棱数为6条，每条棱用1根火柴即可搭建，因此至少需要6根火柴。
【答案】
(1)9 (2)6
【知识点】
平面图形搭建、空间图形搭建、三角形的边
【点评】
本题考查平面与空间中图形搭建的火柴棒计数，核心是利用共用边（平面）或立体结构（空间）优化火柴棒数量，需区分平面与空间的不同特性，培养空间想象与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5

11. 如图是五个几何体.

(1)将每个几何体的顶点数($V$)、面数($F$)和棱数($E$)填入下表.

(2)观察(1)中表格里的数据,猜想几何体的顶点数($V$)、面数($F$)和棱数($E$)之间的关系.
(3)伟大的数学家欧拉证明了(2)中的关系式(称为“欧拉公式”).
①若已知一个几何体的顶点数 $V=196$,棱数 $E=294$,试求这个几何体的面数;
②是否存在某个几何体,它有 10 个面,30 条棱和 20 个顶点? 试说明理由.

11.解:(1)如下表所示：
| | 顶点数(V) | 面数(F) | 棱数(E) |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方体 | 8 | 6 | 12 |
| 正八面体 | 6 | 8 | 12 |
| 正十二面体 | 20 | 12 | 30 |
(2)$V+F-E=2$.
(3)①因为$V+F-E=2,V=196,E=294$,
所以$196+F-294=2$,
解得$F=100$,
即这个几何体的面数为100.
②不存在.理由如下：
由题意,得$F=10,E=30,V=20$.
因为$V+F-E=20+10-30=0≠2$,
所以不存在这样的几何体.

【分析】
本题围绕空间几何体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的关系展开，解题思路如下：(1) 先明确正方体、正八面体、正十二面体的结构特征，分别数出每个几何体的顶点、面、棱的数量，填入表格；(2) 观察表格中三组数据的V、F、E，计算V+F-E的值，归纳出三者的关系；(3) 利用猜想得到的欧拉公式V+F-E=2，解决两个问题：①将已知的V和E代入公式，解方程求F；②将给定的V、F、E代入公式，验证是否满足等式，若不满足则不存在这样的几何体。
【解析】
(1) 分别计数三个几何体的顶点、面、棱数，结果如下表：
| 几何体 | 顶点数(V) | 面数(F) | 棱数(E) |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方体 | 8 | 6 | 12 |
| 正八面体 | 6 | 8 | 12 |
| 正十二面体 | 20 | 12 | 30 |
(2) 计算三组数据的V+F-E：正方体：8+6-12=2；正八面体：6+8-12=2；正十二面体：20+12-30=2，因此猜想关系为$V+F-E=2$；
(3) ① 已知$V=196$，$E=294$，代入欧拉公式$V+F-E=2$，得$196 + F - 294 = 2$，解得$F=100$，即该几何体的面数为100；
② 假设存在这样的几何体，将$V=20$，$F=10$，$E=30$代入公式，得$V+F-E=20+10-30=0≠2$，不满足欧拉公式，因此不存在这样的几何体。
【答案】
11.解:(1)如下表所示：
| | 顶点数(V) | 面数(F) | 棱数(E) |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方体 | 8 | 6 | 12 |
| 正八面体 | 6 | 8 | 12 |
| 正十二面体 | 20 | 12 | 30 |
(2)$V+F-E=2$.
(3)①因为$V+F-E=2,V=196,E=294$,
所以$196+F-294=2$,
解得$F=100$,
即这个几何体的面数为100.
②不存在.理由如下：
由题意,得$F=10,E=30,V=20$.
因为$V+F-E=20+10-30=0≠2$,
所以不存在这样的几何体.
【知识点】
欧拉公式、空间几何体的结构
【点评】
本题通过具体几何体的数据推导欧拉公式，再应用公式解决问题，重点考查对欧拉公式的理解与运用，解题关键是准确计数几何体的顶点、面、棱数，熟练掌握欧拉公式的形式，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7