例$ 1$：一根绳子长$\dfrac{5}{6}$米，第一次用去全长的$\dfrac{1}{2}，$第二次用去全长的$\dfrac{1}{5}，$这时还剩下$\dfrac{1}{4}$米。　　
$（1）$用了两次后还剩下全长的几分之几$？$　　
$（2）$两次一共用去多少米$？$　　
分析：$（1）$本题求剩下长度占全长的分率，全长是单位$“1”，$只要用单位$“1”$依次减去第一次和第二次用去的分率即可。　　
$（2）$求两次一共用去多少米，就是求具体的数量，要用绳子的总米数减去剩下的米数。　　

答案：$（1）1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{10}$　　
答：用了两次后还剩下全长的$\dfrac{3}{10}。$　　
$（2）\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}（$米$）$　　
答：两次一共用去$\dfrac{7}{12}$米。　　

【分析】
（1）要计算用了两次后剩下全长的几分之几，需把绳子全长看作单位“1”，由于第一次和第二次用去的都是全长的分率，直接用单位“1”依次减去两次用去的分率，就能得到剩下的分率。
（2）要求两次一共用去的具体长度，已知绳子总长度和剩下的长度，根据“总长度-剩下的长度=用去的长度”，用总长度减去剩下的长度即可得出结果。
【解析】
（1）计算剩下全长的分率：
$\begin{aligned}1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5}&=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5}\\&=\dfrac{5}{10} - \dfrac{2}{10}\\&=\dfrac{3}{10}\end{aligned}$
答：用了两次后还剩下全长的$\dfrac{3}{10}$。
（2）计算两次一共用去的长度：
$\begin{aligned}\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}&=\dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12}\\&=\dfrac{7}{12}（米）\end{aligned}$
答：两次一共用去$\dfrac{7}{12}$米。
【答案】
（1）$\dfrac{3}{10}$；（2）$\dfrac{7}{12}$米
【知识点】
1. 分数减法应用
2. 单位“1”的确定
【点评】
本题重点考查分数在实际问题中的应用，核心是区分分率与具体数量。第一问借助单位“1”计算分率，第二问通过总长度与剩余长度的差值求具体用去的长度，解题时要注意分数通分计算的准确性。
【难度系数】
0.7

练习 1：小芳和哥哥一起骑车去外婆家。他们先用 10 分钟行了全程的$\dfrac{1}{4}$，又用了$\dfrac{1}{3}$小时行了全程的$\dfrac{2}{3}$，最后用了$\dfrac{1}{6}$小时行完全程。
（1）他们一共行了多少小时？
（2）他们最后$\dfrac{1}{6}$小时行了全程的几分之几？

10分$=\frac{1}{6}$时$ \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}($时) 答：他们一共行了$\frac{2}{3}$小时。$​(2)1-\frac {1}{4}-\frac {2}{3}=\frac {1}{12}​$答：他们最后$​\frac {1}{6}​$小时行了全程的$​\frac {1}{12}​$

【分析】
（1）要计算一共行驶的时间，首先需要统一时间单位，题目中给出的10分钟要换算成以小时为单位的分数，再将三段行驶时间相加即可。
（2）把全程看作单位“1”，要求最后$\frac{1}{6}$小时行驶的全程占比，用单位“1”减去前两段行驶的全程占比，剩下的就是最后一段的占比。
【解析】
（1）先进行时间单位换算：
因为1小时=60分钟，所以10分$=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$时
再计算总行驶时间：
$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$
$=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}$
$=\frac{4}{6}$
$=\frac{2}{3}$（时）
答：他们一共行了$\frac{2}{3}$小时。
（2）把全程看作单位“1”，计算最后$\frac{1}{6}$小时行驶的全程占比：
$1-\frac{1}{4}-\frac{2}{3}$
$=\frac{12}{12}-\frac{3}{12}-\frac{8}{12}$
$=\frac{12-3-8}{12}$
$=\frac{1}{12}$
答：他们最后$\frac{1}{6}$小时行了全程的$\frac{1}{12}$。
【答案】
（1）$\frac{2}{3}$小时；（2）$\frac{1}{12}$
【知识点】
分数加减法、时间单位换算、单位“1”的应用
【点评】
本题主要考查分数的加减法运算及时间单位换算，解题时需注意统一单位，同时明确将全程看作单位“1”来解决分数占比问题，锻炼学生的基础运算能力和实际问题的分析应用能力。
【难度系数】
0.7

例 2：佳苑小区周日开展免费体检活动，现有 A，B 两个体检预约平台，使用 A 平台的人数占总人数的$\dfrac{5}{7}$，使用 B 平台的人数占$\dfrac{4}{7}$，并且每人至少使用其中一个平台。两个平台都使用的人数占总人数的几分之几？
分析：把总人数看作单位“1”，如图：$\dfrac{5}{7} + \dfrac{4}{7} ＞ 1$，比 1 多的、重复计算的部分，就是两个预约平台都使用的人数。

答案：$\dfrac{5}{7} + \dfrac{4}{7} - 1 = \dfrac{2}{7}$
答：两个平台都使用的人数占总人数的$\dfrac{2}{7}$。

【分析】
这是一道分数类的重叠问题，解题思路如下：
1. 先将总人数看作单位“1”，由于每人至少使用其中一个平台，使用A平台的人数占比与使用B平台的人数占比之和会大于单位“1”，多出来的部分就是被重复计算的、两个平台都使用的人数，这部分人在统计A平台和B平台时各被计算了一次。
2. 因此，用使用A、B平台的人数占比之和减去单位“1”，就能得到两个平台都使用的人数占总人数的比例。
【解析】
1. 计算使用A、B平台的人数占比总和：
$\dfrac{5}{7} + \dfrac{4}{7} = \dfrac{9}{7}$
2. 用总和减去总人数对应的单位“1”，得到两个平台都使用的人数占比：
$\dfrac{9}{7} - 1 = \dfrac{9}{7} - \dfrac{7}{7} = \dfrac{2}{7}$
答：两个平台都使用的人数占总人数的$\dfrac{2}{7}$。
【答案】
$\dfrac{2}{7}$
【知识点】
容斥原理、分数加减法
【点评】
本题考查容斥原理在分数应用题中的实际应用，核心是理解“重复计算的部分就是两个平台都使用的人数”，解题时需准确设定单位“1”，熟练掌握分数加减法的计算规则，这类问题是分数应用的基础题型，有助于提升对重叠问题的理解能力。
【难度系数】
0.6

练习 2：学校举行歌咏比赛，奖项分为一、二、三等奖，获一、二等奖的人数占获奖总人数的$\dfrac{2}{3}$，获二、三等奖的人数占获奖总人数的$\dfrac{1}{2}$。获二等奖的人数占获奖总人数的几分之几？

$\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{6}$
答：获二等奖的人数占获奖总人数的$\frac{1}{6}$。