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题型一 分式乘除运算,注意约分
1.计算:
(1)$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2} ÷ \frac{2a - 2b}{a + b}$
(2)$( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ) ÷ \frac{1}{x^2 - 1}$
1.计算:
(1)$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2} ÷ \frac{2a - 2b}{a + b}$
(2)$( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ) ÷ \frac{1}{x^2 - 1}$
答案
1.解:(1)原式=$\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)^2}×\frac{a+b}{2(a-b)}=\frac{1}{2}$.
(2)原式=$\frac{2}{(x+1)(x-1)}×(x+1)(x-1)=2$.
(2)原式=$\frac{2}{(x+1)(x-1)}×(x+1)(x-1)=2$.
解析
【分析】
这两道题属于分式运算基础题，解题思路清晰：①分式除法要先转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；②先对分子、分母中的多项式用提公因式法、公式法因式分解；③约去分子分母的公因式即可得到最简结果。第(2)题带括号，需先计算括号内的分式减法，通分合并后再按除法规则运算。
【解析】
(1) 先对分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法：
原式=$\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)^2} × \frac{a+b}{2(a-b)}$
约去分子分母的公因式$a+b$、$a-b$，得：
原式=$\frac{1}{2}$
(2) 先计算括号内的分式减法，取公分母$(x-1)(x+1)$通分：
括号内=$\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{(x-1)(x+1)}$
再将除法转化为乘法，对$x^2-1$因式分解：
原式=$\frac{2}{(x+1)(x-1)} × (x+1)(x-1)$
约去公因式$(x+1)(x-1)$，得：
原式=2
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$2$
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式混合运算
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，核心考查分式运算的基本规则，解题关键是先将除法转化为乘法，遇到多项式先因式分解再约分，计算时注意通分、因式分解的正确性，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
这两道题属于分式运算基础题，解题思路清晰：①分式除法要先转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；②先对分子、分母中的多项式用提公因式法、公式法因式分解；③约去分子分母的公因式即可得到最简结果。第(2)题带括号，需先计算括号内的分式减法，通分合并后再按除法规则运算。
【解析】
(1) 先对分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法：
原式=$\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)^2} × \frac{a+b}{2(a-b)}$
约去分子分母的公因式$a+b$、$a-b$，得：
原式=$\frac{1}{2}$
(2) 先计算括号内的分式减法，取公分母$(x-1)(x+1)$通分：
括号内=$\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{(x-1)(x+1)}$
再将除法转化为乘法，对$x^2-1$因式分解：
原式=$\frac{2}{(x+1)(x-1)} × (x+1)(x-1)$
约去公因式$(x+1)(x-1)$，得：
原式=2
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$2$
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式混合运算
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，核心考查分式运算的基本规则，解题关键是先将除法转化为乘法，遇到多项式先因式分解再约分，计算时注意通分、因式分解的正确性，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
2.计算：
(1)$\frac{2a^2}{a-b} - \frac{2b^2}{a-b}$；
(2)$\frac{x^2+1}{x-1} - \frac{2x}{x-1}$；
(3)$\frac{3}{m+2} - \frac{6m}{m^2-4}$；
(4)
(1)$\frac{2a^2}{a-b} - \frac{2b^2}{a-b}$；
(2)$\frac{x^2+1}{x-1} - \frac{2x}{x-1}$；
(3)$\frac{3}{m+2} - \frac{6m}{m^2-4}$；
(4)
答案
2.解:(1)原式=$\frac{2(a^2 - b^2)}{a - b}=2a + 2b$；
(2)原式=$\frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}=\frac{(x - 1)^2}{x - 1}=x - 1$；
(3)原式=$\frac{3(m - 2)}{(m + 2)(m - 2)} - \frac{6m}{(m + 2)(m - 2)}$
$=\frac{-3(m + 2)}{(m + 2)(m - 2)}=\frac{3}{2 - m}$；
(4)原式=$\frac{2x}{(x - 8y)(x + 8y)} - \frac{x + 8y}{(x - 8y)(x + 8y)}$
$=\frac{x - 8y}{(x - 8y)(x + 8y)}=\frac{1}{x + 8y}$.
(2)原式=$\frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}=\frac{(x - 1)^2}{x - 1}=x - 1$；
(3)原式=$\frac{3(m - 2)}{(m + 2)(m - 2)} - \frac{6m}{(m + 2)(m - 2)}$
$=\frac{-3(m + 2)}{(m + 2)(m - 2)}=\frac{3}{2 - m}$；
(4)原式=$\frac{2x}{(x - 8y)(x + 8y)} - \frac{x + 8y}{(x - 8y)(x + 8y)}$
$=\frac{x - 8y}{(x - 8y)(x + 8y)}=\frac{1}{x + 8y}$.
解析
【分析】
这是异分母分式的减法计算，解题思路如下：第一步先对第一个分式的分母因式分解，观察$x^2-64y^2$符合平方差公式的形式，可分解为$(x-8y)(x+8y)$；第二步确定两个分式的最简公分母为$(x-8y)(x+8y)$；第三步将第二个分式通分，化为和第一个分式同分母的分式；第四步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，注意去括号时的符号变化；第五步对得到的结果的分子因式分解，约去分子分母的公因式，得到最简分式。
【解析】
首先利用平方差公式分解第一个分式的分母：$x^2-64y^2=(x-8y)(x+8y)$
通分，将两个分式化为同分母分式：
原式$=\frac{2x}{(x - 8y)(x + 8y)} - \frac{x + 8y}{(x - 8y)(x + 8y)}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{2x-(x+8y)}{(x - 8y)(x + 8y)}$
化简分子：
$=\frac{2x-x-8y}{(x - 8y)(x + 8y)}=\frac{x - 8y}{(x - 8y)(x + 8y)}$
约去分子分母的公因式$x-8y$：
$=\frac{1}{x + 8y}$
【答案】
$\frac{1}{x+8y}$
【知识点】
平方差公式，分式通分，分式减法运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题核心是先通过因式分解确定最简公分母，通分后按照同分母分式的运算规则计算，最后要将结果约分为最简分式，计算过程中要注意去括号时的符号不要出错。
【难度系数】
0.7
这是异分母分式的减法计算，解题思路如下：第一步先对第一个分式的分母因式分解，观察$x^2-64y^2$符合平方差公式的形式，可分解为$(x-8y)(x+8y)$；第二步确定两个分式的最简公分母为$(x-8y)(x+8y)$；第三步将第二个分式通分，化为和第一个分式同分母的分式；第四步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，注意去括号时的符号变化；第五步对得到的结果的分子因式分解，约去分子分母的公因式，得到最简分式。
【解析】
首先利用平方差公式分解第一个分式的分母：$x^2-64y^2=(x-8y)(x+8y)$
通分，将两个分式化为同分母分式：
原式$=\frac{2x}{(x - 8y)(x + 8y)} - \frac{x + 8y}{(x - 8y)(x + 8y)}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{2x-(x+8y)}{(x - 8y)(x + 8y)}$
化简分子：
$=\frac{2x-x-8y}{(x - 8y)(x + 8y)}=\frac{x - 8y}{(x - 8y)(x + 8y)}$
约去分子分母的公因式$x-8y$：
$=\frac{1}{x + 8y}$
【答案】
$\frac{1}{x+8y}$
【知识点】
平方差公式，分式通分，分式减法运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题核心是先通过因式分解确定最简公分母，通分后按照同分母分式的运算规则计算，最后要将结果约分为最简分式，计算过程中要注意去括号时的符号不要出错。
【难度系数】
0.7
3.计算：
(1)$(1+\dfrac{1}{x})÷\dfrac{x^2 -1}{x}$；
(2)$1-\dfrac{a - b}{a + 2b}÷\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 +4ab +4b^2}$；
(3)$(x-\dfrac{2x -1}{x})÷(1-\dfrac{1}{x})$；
(4)$(x - y +\dfrac{4xy}{x - y})(x + y -\dfrac{4xy}{x + y})$。
(1)$(1+\dfrac{1}{x})÷\dfrac{x^2 -1}{x}$；
(2)$1-\dfrac{a - b}{a + 2b}÷\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 +4ab +4b^2}$；
(3)$(x-\dfrac{2x -1}{x})÷(1-\dfrac{1}{x})$；
(4)$(x - y +\dfrac{4xy}{x - y})(x + y -\dfrac{4xy}{x + y})$。
答案
3.解:(1)原式=$\frac{x + 1}{x}·\frac{x}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{1}{x - 1}$；
(2)原式=$1-\frac{a - b}{a + 2b}·\frac{(a + 2b)^2}{(a + b)(a - b)}$
$=1-\frac{a + 2b}{a + b}=-\frac{b}{a + b}$；
(3)原式=$\frac{x^2 - 2x + 1}{x}·\frac{x}{x - 1}=x - 1$；
(4)原式=$\frac{(x - y)^2 + 4xy}{x - y}·\frac{(x + y)^2 - 4xy}{x + y}$
$=\frac{(x + y)^2}{x - y}·\frac{(x - y)^2}{x + y}=x^2 - y^2$.
(2)原式=$1-\frac{a - b}{a + 2b}·\frac{(a + 2b)^2}{(a + b)(a - b)}$
$=1-\frac{a + 2b}{a + b}=-\frac{b}{a + b}$；
(3)原式=$\frac{x^2 - 2x + 1}{x}·\frac{x}{x - 1}=x - 1$；
(4)原式=$\frac{(x - y)^2 + 4xy}{x - y}·\frac{(x + y)^2 - 4xy}{x + y}$
$=\frac{(x + y)^2}{x - y}·\frac{(x - y)^2}{x + y}=x^2 - y^2$.
解析
【分析】
分式混合运算遵循固定运算顺序：①先算括号内的运算，整式与分式加减时，可将整式看作分母为1的分式，通分后转化为同分母分式加减计算；②遇到除法运算，先转化为乘法运算，即乘以除式的倒数；③将分子、分母中的多项式优先因式分解，再约去公因式，最终化简为最简分式或整式，运算过程中注意符号处理，避免出错。
【解析】
(1) 先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分：
原式=$\frac{x + 1}{x}·\frac{x}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{1}{x - 1}$
(2) 先计算除法运算，将除法转化为乘法，因式分解约分后再计算减法：
原式=$1-\frac{a - b}{a + 2b}·\frac{(a + 2b)^2}{(a + b)(a - b)}$
$=1-\frac{a + 2b}{a + b}=\frac{a+b-(a+2b)}{a+b}=-\frac{b}{a + b}$
(3) 分别计算两个括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分计算：
原式=$\frac{x^2 - 2x + 1}{x}·\frac{x}{x - 1}=\frac{(x-1)^2}{x}·\frac{x}{x-1}=x - 1$
(4) 分别计算两个括号内的加减运算，通分后将分子因式分解，再约分计算：
原式=$\frac{(x - y)^2 + 4xy}{x - y}·\frac{(x + y)^2 - 4xy}{x + y}$
$=\frac{x^2-2xy+y^2+4xy}{x-y}·\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{x+y}$
$=\frac{(x + y)^2}{x - y}·\frac{(x - y)^2}{x + y}=(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{x-1}$；(2)$-\dfrac{b}{a+b}$；(3)$x-1$；(4)$x^2-y^2$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础常规题，重点考查分式运算的顺序、通分约分的技巧以及常见因式分解的方法，只要熟练掌握运算规则，注意运算细节，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
分式混合运算遵循固定运算顺序：①先算括号内的运算，整式与分式加减时，可将整式看作分母为1的分式，通分后转化为同分母分式加减计算；②遇到除法运算，先转化为乘法运算，即乘以除式的倒数；③将分子、分母中的多项式优先因式分解，再约去公因式，最终化简为最简分式或整式，运算过程中注意符号处理，避免出错。
【解析】
(1) 先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分：
原式=$\frac{x + 1}{x}·\frac{x}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{1}{x - 1}$
(2) 先计算除法运算，将除法转化为乘法，因式分解约分后再计算减法：
原式=$1-\frac{a - b}{a + 2b}·\frac{(a + 2b)^2}{(a + b)(a - b)}$
$=1-\frac{a + 2b}{a + b}=\frac{a+b-(a+2b)}{a+b}=-\frac{b}{a + b}$
(3) 分别计算两个括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分计算：
原式=$\frac{x^2 - 2x + 1}{x}·\frac{x}{x - 1}=\frac{(x-1)^2}{x}·\frac{x}{x-1}=x - 1$
(4) 分别计算两个括号内的加减运算，通分后将分子因式分解，再约分计算：
原式=$\frac{(x - y)^2 + 4xy}{x - y}·\frac{(x + y)^2 - 4xy}{x + y}$
$=\frac{x^2-2xy+y^2+4xy}{x-y}·\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{x+y}$
$=\frac{(x + y)^2}{x - y}·\frac{(x - y)^2}{x + y}=(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{x-1}$；(2)$-\dfrac{b}{a+b}$；(3)$x-1$；(4)$x^2-y^2$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础常规题，重点考查分式运算的顺序、通分约分的技巧以及常见因式分解的方法，只要熟练掌握运算规则，注意运算细节，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
