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1. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（
A.$(x+2)(x-2)=x^2 -4$
B.$a^2 -2ab +b^2=(a - b)^2$
C.$am + bm +1 = m(a + b) -1$
D.$(x -1)^2 -1=(x -1)(x -1 - \frac{1}{x -1})$
B
）A.$(x+2)(x-2)=x^2 -4$
B.$a^2 -2ab +b^2=(a - b)^2$
C.$am + bm +1 = m(a + b) -1$
D.$(x -1)^2 -1=(x -1)(x -1 - \frac{1}{x -1})$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断一个变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心判断标准：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积的形式；③变形前后等式两边恒等。我们按照这三个标准逐一分析每个选项即可选出正确答案。
【解析】
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
选项B：左边是多项式$a^2-2ab+b^2$，右边$(a-b)^2$是两个整式$(a-b)$的乘积，且等式左右两边恒等，符合因式分解的定义，故B正确；
选项C：右边$m(a+b)-1$是求和的形式，不是几个整式的乘积形式，不属于因式分解，故C错误；
选项D：右边的因式中含有$\frac{1}{x-1}$，分母含有字母，不属于整式，不符合因式分解的要求，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式的概念
【点评】
本题考查因式分解的识别，解题的关键是准确掌握因式分解的三个核心特征，尤其要注意区分因式分解和整式乘法，同时因式分解的结果中的每个因式都必须是整式，且变形前后恒等。
【难度系数】
0.8
要判断一个变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心判断标准：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积的形式；③变形前后等式两边恒等。我们按照这三个标准逐一分析每个选项即可选出正确答案。
【解析】
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
选项B：左边是多项式$a^2-2ab+b^2$，右边$(a-b)^2$是两个整式$(a-b)$的乘积，且等式左右两边恒等，符合因式分解的定义，故B正确；
选项C：右边$m(a+b)-1$是求和的形式，不是几个整式的乘积形式，不属于因式分解，故C错误；
选项D：右边的因式中含有$\frac{1}{x-1}$，分母含有字母，不属于整式，不符合因式分解的要求，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式的概念
【点评】
本题考查因式分解的识别，解题的关键是准确掌握因式分解的三个核心特征，尤其要注意区分因式分解和整式乘法，同时因式分解的结果中的每个因式都必须是整式，且变形前后恒等。
【难度系数】
0.8
2. 下列因式分解正确的是（
A.$3ax^2 - 6ax = 3(ax^2 - 2ax)$
B.$-x^2 + y^2 = (-x + y)(-x - y)$
C.$a^2 + 2ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$
D.$-ax^2 + 2ax - a = -a(x - 1)^2$
D
）A.$3ax^2 - 6ax = 3(ax^2 - 2ax)$
B.$-x^2 + y^2 = (-x + y)(-x - y)$
C.$a^2 + 2ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$
D.$-ax^2 + 2ax - a = -a(x - 1)^2$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断因式分解是否正确，需牢记因式分解的核心要求：①结果必须是几个整式乘积的形式；②每个因式要分解到不能再分解为止。解题时可逐个排查选项，既可以正向分解左边的多项式，也可以反向将右边的乘积展开和左边原式比对，两种方法结合验证即可快速得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$3ax^2 - 6ax$的公因式为$3ax$，完整分解应为$3ax(x-2)$，选项中只提取了公因数3，公因式未提尽，还可继续分解，因此A错误。
B选项：$-x^2 + y^2 = y^2 - x^2$，符合平方差公式结构，分解应为$(y+x)(y-x)$；将选项右边$(-x + y)(-x - y)$展开得$x^2 - y^2$，与原式不相等，因此B错误。
C选项：根据完全平方公式，$(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$，与左边$a^2 + 2ab + 4b^2$的中间项不符，因此C错误。
D选项：先提取公因式$-a$，得$-a(x^2 - 2x + 1)$，再根据完全平方公式，$x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$，因此最终分解结果为$-a(x-1)^2$，与选项一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础考查题，解题的关键是熟练掌握提公因式的要领，以及平方差、完全平方公式的结构特征，判断时用“反向展开比对”的方法可以有效避免公式误用的问题。
【难度系数】
0.8
要判断因式分解是否正确，需牢记因式分解的核心要求：①结果必须是几个整式乘积的形式；②每个因式要分解到不能再分解为止。解题时可逐个排查选项，既可以正向分解左边的多项式，也可以反向将右边的乘积展开和左边原式比对，两种方法结合验证即可快速得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$3ax^2 - 6ax$的公因式为$3ax$，完整分解应为$3ax(x-2)$，选项中只提取了公因数3，公因式未提尽，还可继续分解，因此A错误。
B选项：$-x^2 + y^2 = y^2 - x^2$，符合平方差公式结构，分解应为$(y+x)(y-x)$；将选项右边$(-x + y)(-x - y)$展开得$x^2 - y^2$，与原式不相等，因此B错误。
C选项：根据完全平方公式，$(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$，与左边$a^2 + 2ab + 4b^2$的中间项不符，因此C错误。
D选项：先提取公因式$-a$，得$-a(x^2 - 2x + 1)$，再根据完全平方公式，$x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$，因此最终分解结果为$-a(x-1)^2$，与选项一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础考查题，解题的关键是熟练掌握提公因式的要领，以及平方差、完全平方公式的结构特征，判断时用“反向展开比对”的方法可以有效避免公式误用的问题。
【难度系数】
0.8
3. 下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（
A.$a^2 -1$
B.$a^2 +4$
C.$a^2 +2a +1$
D.$a^2 -4a -4$
C
）A.$a^2 -1$
B.$a^2 +4$
C.$a^2 +2a +1$
D.$a^2 -4a -4$
答案
3. C
解析
【分析】
要判断哪个多项式能用完全平方公式因式分解，首先得明确完全平方公式的结构特征：完全平方公式为两数的平方和加上或减去两数乘积的2倍，等于这两个数和或差的平方，对应的多项式是三项式，满足“首平方、尾平方，首尾两倍在中央”的特点。解题时先排查不符合项数的选项，再逐一验证剩余选项是否满足完全平方公式的结构要求即可。
【解析】
首先回忆完全平方公式的形式：$m^2\pm2mn+n^2=(m\pm n)^2$，能用该公式因式分解的多项式需满足：①为三项式；②有两项是同号的平方项；③第三项是两个平方项底数乘积的2倍。
逐一分析选项：
选项A：$a^2-1$是两项式，不符合完全平方公式的项数要求，不能用完全平方公式因式分解；
选项B：$a^2+4$是两项式，没有乘积2倍的中间项，不符合要求，不能用完全平方公式因式分解；
选项C：$a^2+2a+1$中，$a^2$和$1=1^2$是两个同号的平方项，$2a=2× a×1$是两个底数乘积的2倍，符合完全平方公式结构，可分解为$(a+1)^2$；
选项D：$a^2-4a-4$中，常数项是$-4$，不是平方项（平方项符号为正），不符合要求，不能用完全平方公式因式分解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 因式分解-公式法
【点评】
本题考查对完全平方公式结构特征的理解与应用，解题核心是牢记完全平方公式的形式，准确判断多项式的项数、各项的符号与形式，属于基础题型，熟练掌握公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个多项式能用完全平方公式因式分解，首先得明确完全平方公式的结构特征：完全平方公式为两数的平方和加上或减去两数乘积的2倍，等于这两个数和或差的平方，对应的多项式是三项式，满足“首平方、尾平方，首尾两倍在中央”的特点。解题时先排查不符合项数的选项，再逐一验证剩余选项是否满足完全平方公式的结构要求即可。
【解析】
首先回忆完全平方公式的形式：$m^2\pm2mn+n^2=(m\pm n)^2$，能用该公式因式分解的多项式需满足：①为三项式；②有两项是同号的平方项；③第三项是两个平方项底数乘积的2倍。
逐一分析选项：
选项A：$a^2-1$是两项式，不符合完全平方公式的项数要求，不能用完全平方公式因式分解；
选项B：$a^2+4$是两项式，没有乘积2倍的中间项，不符合要求，不能用完全平方公式因式分解；
选项C：$a^2+2a+1$中，$a^2$和$1=1^2$是两个同号的平方项，$2a=2× a×1$是两个底数乘积的2倍，符合完全平方公式结构，可分解为$(a+1)^2$；
选项D：$a^2-4a-4$中，常数项是$-4$，不是平方项（平方项符号为正），不符合要求，不能用完全平方公式因式分解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 因式分解-公式法
【点评】
本题考查对完全平方公式结构特征的理解与应用，解题核心是牢记完全平方公式的形式，准确判断多项式的项数、各项的符号与形式，属于基础题型，熟练掌握公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
